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高三年级数学学科 试题
考生须知：
1.本试题卷共 4 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟.
2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.
4.考试结束后，只需上交答题卷.
选择题部分
一、选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的)
1.已知全集U = R，集合 A={x x 1,或x 3}，
B ={x y = log 2(3 x)}，则如图中阴影部分表示的集合为
A． ( 1,3) B． (3,+ )
C． ( ,3] D． ( 1,3] 第 1 题图
1 3
2.复数 z1 = i ，复数 z2 满足 z1 z2 =1，则下列关于 z2 的说法错误的是
2 2
1 3
A． z2 = + i B． z2 =1
2 2
3
C． z2 的虚部为 i D． z2 在复平面内对应的点在第二象限
2
3.2022 年 11 月 30 日，我国神舟十五号载人飞船圆满发射，并成功对接空间站组合体，据中国载
人航天工程办公室消息，神舟十六号等更多的载人飞船正在测试准备中.第**号载人飞船将从四
名男航天员 A,B,C,D 与两名女航天员 E,F 中选择 3 人执行飞天任务（假设每位航天员被选中的
可能性相同），则其中有且仅有一名女航天员的概率为
1 2 3 4
A. B． C． D．
3 5 5 5

4.将函数 f (x) = sin( x + )图像上所有点的横坐标变为原来的 ( 0)倍，纵坐标不变，得到的
3

函数 y = g(x) 图像与h(x) = cos(2x + ) ( )的图像重合，则有
2

A．h(x) = cos(2x + ) B． g(x) = sin( 2x + )
6 3

C． x = 是函数h(x) 的对称轴 D． ( ,0)是函数h(x) 的对称中心
3 12
2
5.已知 p,q 是关于 x的一元二次方程ax (b+ 2)x+ 4a = 0的两根，其中a,b R ，则
(ap2 bp + 4a) (aq2 bq + 4a)的值
A．仅与a有关 B．仅与b 有关 C．与a,b均有关 D．是与a,b无关的定值
x2 y2
6.已知椭圆 + =1的左右焦点分别为F1, F2， P 为椭圆上异于长轴端点的动点，G ， I 分别
4 3
为 PF1F2的重心和内心，则PI PG =
1 4
A． B． C． 3 D．2
2 3
高三年级数学试题 第1页 共 4 页
1 1 11 1
7.设a = ，b = tan e2022，c = sin e2023，则
2022 2022 2023
A．c b a B．c a b C．a c b D．a b c
8.2022 年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似于伯努利双纽线，定义在平面直角坐标系 xOy 中
( 2O为坐标原点)，把到定点F1( c,0)和 F2(c,0)距离之积等于c (c 0)的点的轨迹称为双纽
线，记为 ，已知 P(x0 , y0 )为双纽线 上任意一点，有下列命题：
①双纽线 2 2 2 2 2 2 的方程为 (x + y ) = 2c (x y )；
1 2
② F1PF2面积最大值为 c ；
2
c c
③ y0 ；
2 2
④ PO 的最大值为 2c . 第 8 题图
其中所有正确命题的序号是
A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④
二、选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)
9.正方体 ABCD A1B1C1D1中，BD1与平面 AB1C，平面 A1C1D的分别交
于点 E, F ，则有
A．BD1 ⊥ B1C
B．BE = EF = FD1
C．B1C与 DD1 所成角为60

D．B1C与平面B

1BDD1所成角为30 第 9 题图
10.定义：设 f (x)是 f (x) 的导函数， f (x)是函数 f (x)的导数，若方程
f (x) = 0有实数解 x0 ，则称点 (x0 , f (x0 ))为函数 y = f (x) 的“拐点”.经过探究发现：任何一
个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图像的对称中心.已知函数
f (x) = ax3
5
+ bx2 + (ab 0) 的对称中心为 (1,1)，则下列说法中正确的有
3
1
A．a = ,b = 1
3
B．函数 f (x) 既有极大值又有极小值
C．函数 f (x) 有三个零点
1
D．过 ( 1, )可以作三条直线与 y = f (x) 图像相切 y
3
2
11.如图，过抛物线C : x = 4y 焦点F 的直线 l 与抛物线交
于 A, B 两点，弦 AB 的中点为M ，过 A, B, M 分别作
准线 l1的垂线，垂足分别为 A1, B1, N .则有
A．以 AB 为直径的圆与 l1相切于点 N
B．NF ⊥ AB x
1 1
C． + =1
FA FB
第 11题图
2
NF 16
D． + 的最小值为 8
4 AB
高三年级数学试题 第2页 共 4 页
12.设定义在 R 上的函数 f (x) 与 g(x)的导函数分别为 f (x)和 g (x) ， 若 f (x) g(4 x) = 2，
g (x) = f (x 2)， 且 f (x + 2)为奇函数， 则下列说法中一定正确的是
A. 函数 f (x) 的图象关于点 (1,0) 对称 B. g(3)+ g(5) = 4
2023 2023
C. f (k) = 0 D. g(k) =0
k=1 k=1
非选择题部分
三、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
2 n 4
13.已知 (1+ x+ x ) 的展开式中各项系数和为 27，则含 x 项的系数为 .（用具体数字作
答）
.已知 为圆 ： x2 + y214 P(1,1) O = 4内一点， AB,CD 是过点P 且互相垂直的两条弦，则四边形
ABCD面积 S 的最大值为 .
15.三棱锥 A BCD内接于半径为 30 的球O，且 AB = 2 14 ，则三棱锥 A BCD体积的最大
值为 .
ax 1 3
16.已知曲线 y = e 与 y = ln x 的两条公切线的夹角正切值为 ，则 a 3 =
a 4
四、解答题(本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
n 1 1
17.设数列{an}的前n项和 Sn 满足： S + a = ， n N
，记
n n bn = a + . n
n(n+1) n(n+1)
（1）证明：{bn}是等比数列，并求{an}的通项公式；
（2）求 Sn 的最大值.
18.如图，平面四边形 ABCD中， AD = 5,CD = 3, ADC =120
. ABC
a +b sin A sin C
的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c ，且满足 = .
c sin A sin B
（1）求四边形 ABCD的外接圆半径 R ；
第 18 题图
（2）求 ABC内切圆半径 r 的取值范围.
2
19.已知四边形 ABCD中， ABC = CAD = 90 ， AB = BC = AD = 2 ，O是 AC 的中
2
点，将△ABC 沿 AC 翻折至 APC .
（1）若 PD = 6 ，证明：PO⊥平面 ACD .
（2）若D 到平面PAC 的距离为 3 ，求平面
PAC 与平面 ACD夹角的大小.
第 19题图
20.近年来，各平台短视频、网络直播等以其视听化自我表达、群圈化分享推送、随时随地传播、
碎片化时间观看等特点深受人们喜爱，吸引了眼球赚足了流量，与此同时，也存在功能失范、
网红乱象、打赏过度、违规营利、恶意营销等问题.为促使短视频、网络直播等文明、健康，有
序发展，依据《网络短视频平台管理规范》、《网络短视频内容审核标准细则》等法律法规，某
市网信办、税务局、市场监督管理局联合对属地内短视频制作、网络直播进行审查与监管.
（1）对短视频、网络直播的整体审查包括总体规范、账户管理、内容管理等三个环节，三个环节
均通过审查才能通过整体审查。设某短视频制作团队在这三个环节是否通过审查互不影响，
4 13 1
且各环节不能通过审查的概率分别为 , , .①求该团队不．能通过整体审查的概率；②设25 48 5
高三年级数学试题 第3页 共 4 页
该团队通过整体审查后，还要进入技术技能检测环节，若已知该团队最终通过整体审查和技
术技能检测的概率为35%，求该团队在已经通过整体审查的条件下通过技术技能检测的概
率；
（2）某团队为提高观众点击其视频的流量，通过观众对其视频的评论分析来优化自己的创作质
量，现有 100 条评论数据如下表：
时间
对视频作品否满意 合计
改拍前视频 改拍后视频
满意 28 57 85
不满意 12 3 15
合计 40 60 100
试问是否有 99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联？
2 n(ad bc)
2
参考公式： = ，n = a+b+c+d
(a+b)(c+ d)(a+ c)(b+ d)
P ( 2 xa ) = 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
x2 y2
21.已知点F 为双曲线 : =1的右焦点，过F 的任一直线 l 与 交于 A, B 两点，直线
4 12
l1 : x =1.
（1）若M (x, y) 为曲线 上任一点，且M 到直线 l1的距离为d ， y
MF
求 的值.
d
（2）若M ( 4,6) 为曲线 上一点，直线MA, MB 分别与直线 l1交
于 D, E 两点，问以线段DE 为直径的圆是否过定点？若是，求
出定点坐标；若不是，请说明理由.
x
22.已知函数 f (x) = (x +1) ln x a(x 1). 第 21题图
（1）当a = 0时,求 f (x) 在 x =1处的切线方程；
（2）若 x 1时， f (x) 0 恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a 0时，令 g(x) = f (x)+ 2(a 1)x a + 2，记 g(x)的唯一零点为 x0 ，若 x1 +a = sin x1，证
x
明：e 1 x0 .
高三年级数学试题 第4页 共 4 页高三年级数学学科 参考答案及解析
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。
1.答案：A。
解析： B ={x y = log = ( ,3) ， A = ( , 1] [3,+ )， 由图可知阴影2(3 x)} CR A= ( 1,3)
部分表示的集合是 (CR A) B = ( 1,3)，故选：A。
1 1 3
2.答案：C。解析： z2 = = + i ，所以 ABD正确，C错误。
z1 2 2
C1C2 3
3.答案：C。解析：P = 2 4 =
C36 5
4.答案：B。
1
解析：由题意， = ，所以 g(x) = sin( 2x + ) ，又 sin( 2x + ) = cos[ (2x + )] =
2 3 3 2 3

cos( 2x)= cos(2x )，所以h(x) = cos(2x )，
6 6 6

g( ) = 0， g( ) =1，所以 ( ,0)为对称中心， x = 为对称轴。
3 12 3 12
5.答案：D。
方法一： (ap2 bp + 4a) (aq2 bq + 4a)=a2 ( pq)2 abp2q +4a2 p2 abpq2
+b2 pq abp + 4a2q2 4abq a
2
+16 =32a
2 abpq( p + q) +4a2 ( p2 + q2 ) +b2 pq 4ab( p + q)，
b+ 2
由韦达定理， p + q = ， pq = 4 ，代入可得 (ap2 bp + 4a)
a
(aq2 bq + 4a)=16。
方法二：由韦达定理， pq = 4 ，又ap2 (b+ 2) p+ 4a = 0，所以ap2 bp + 4a = 2p，同理
aq2 bq+ 4a = 2q ，所以 (ap2 bp + 4a) (aq2 bq + 4a)=4 pq =16。
6.答案：B。
解析：过 I 分别作 PF F 三边的垂线，垂足分别为 A, B,C1 2 ，则PB = PC ，F1A= F1C ，
PF + PF F F 1
F2 A= F2B，所以PB = PC =
1 2 1 2 = a c 。所以PI PG = (PF1 + PF2 ) PI =
2 3
1 1 1 1
(PF1 PI + PF2 PI) = (PF1 PC + PF2 PB) = ( PF1 PC + PF2 PB ) = PB ( PF1 + PF2 ) =
3 3 3 3
1 4
(a c) 2a = 。
3 3
7.答案：B。
1
x 1 1 2023
解析：可证明e x +1对任意 x R均成立。取 x = ，有e2022 +1= ，所以
2022 2022 2022
1 1 1
1 1 1 1 2022 2023
e2022 。再取 x = ，可得e 2023 1 = ，即e2023 ，所以
2023 2022 2023 2023 2023 2022
高三年级数学学科 参考答案及解析 第1页 共 9 页
1
1 1
e2023 ，又当 x (0, )时，sin x x tan x 。所以
2023 2022 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
sin e2023 e2023 e2022 tan e2022 tan e2022 ，即
2023 2023 2022 2023 2023 2022
c a b。
8.答案：D。
2 2 2 2 2
解析：由定义 PF1 PF = c
2 ，即 (x + c) + y (x c) + y = c ，即
2
(x2 + y2 + c2 + 2cx) (x2 + y2 + c2 2cx) = c4 ，即 (x2 + y2 + c2)2 4c2x2 = c4 ，整理可得
(x2 + y2)2 = 2c2
1 1 2
(x2 y2)，①正确。 S F PF = PF1 2 1 PF2 sin F1PF2 = c sin F1PF2 2 2
1 1 1
c2 2
c c
，②正确。又 S F PF = F1F2 y0 = c y c ，所以 y1 2 0 0 ，③正确。 F1PF22 2 2 2 2
2 2 2
中， F1F2 = PF1 + PF2 2 PF1 PF2 cos F1PF2 ，所以
2 2 2 2PF1 + PF2 = 4c + 2c
2 cos F1PF2，又在 F 中有： (2 PO )
2 + F F =
1PF2 1 2
2 2 2
2( PF1 + PF2 ) ，可得 PO = c
2 + c2 cos F PF 21 2 2c ，所以 PO 2c，④正确。
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9.答案：A,B,D。
10.答案：A,B。

' f
''(1) = 0, 1
解析： f (x) = 3ax2 + 2bx ， f ''(x) = 6ax+ 2b，由题意： 解得a = ,b = 1。A正
f (1) =1 3
1
f (x) = x3 x2
5
确。 + ， f '(x) = x2 2x ，当 x ( ,0) 时， f '(x) 0， f (x) 递增；当
3 3
x (0,2)时， f '(x) 0， f (x) 递减；当 x (0,+ ) 时， f '(x) 0， f (x) 递增；B正确。又
5 1
f (0) = 0 ， f (2) = 0 ，所以函数只有 1个零点，C错误。设切点为T (x0 , y0)，则切线方
3 3
1 5 1
程为 y ( x
3 2 2
0 x0 + ) = (x0 2x0 )(x x0 )，又切线过 ( 1, )，则
3 3 3
1 1
( x3 x2
5
0 0 + ) = (x
2
0 2x0 )( 1 x )
3 2
0 ，化简得 x0 3x0 2 = 0 ，即 (x0 +1) (x0 2) = 0，所
3 3 3
以只有两条切线，D错。
高三年级数学学科 参考答案及解析 第2页 共 9 页
11.答案：A,B,C。
y
AA1 + BB1 AF + BF AB
解析： MN = = = ，说明 N
2 2 2
在以 AB 为直径的圆上，又MN ⊥ l ，所以 A正确；设 l 的1
方程为 y = kx+1与C : x2 = 4y 联立可得 x
C : x2 4kx 4 = 0，所以 xA + xB = 4k, xA x ，B = 4 第 11题图
x2 x2 x + x 1 1 1
y y = A B =1， F (0,1) ， N ( A B , 1)A B ，则 kNF = = ，所以
4 4 2 xA + xB k 0
2
1 1 1 1 yA + yB + 2kNF k = 1，所以 NF ⊥ AB，B正确。 + = + = =1，C
FA FB yA +1 yB +1 yA yB + yA + yB +1
1 1
正确。 + =1，则 FA + FB = FA FB 。Rt ANB中， AN ⊥ NB， NF ⊥ AB，由射
FA FB
2
NF 16 AF FB 16 AF FB2 16
影定理可得 NF = AF FB，则 + = + = +
4 AB 4 AF + FB 4 AF FB
AF FB 16
2 =4，当且仅当 FA FB =8时取到，而 FA FB [4,+ )，D错误。
4 AF FB
12.答案：B,C。
'
解析： g (x) = f '(x 2) ，则 g(x) = f (x 2)+ a，则 g(4 x) = f (2 x)+ a，又
f (x) g(4 x) = 2，所以 f (x) = f (2 x)+ a + 2，令 x =1，可得a+2 = 0，即a = 2。所以
f (x) = f (2 x)，所以 函数 f (x) 的图象关于 x =1对称，A错误。又 f (x + 2)为奇函数，则
y = f (x) 图像关于 (2,0) 对称，且 f (2+ x)+ f (2 x) = 0 ， y = f (x) 的周期T = 4，定义域为
R ， f (x + 2)为奇函数，过原点，所以 f (2) = 0，又 f (1) + f (3) = 0， f (4) + f (0) = 0，所以
2023
f (4) = 0，则 f (k) = f (1) + f (2) + f (3) = 0，所以 C正确。又 g(x) = f (x 2) 2，则 g(x)
k=1
是周期T = 4的函数。 g(3)+ g(5) = f (1) 2+ f (3) 2 =
2023
4，所以 B正确。 g(k) = f ( 1) 2 + f (0) 2 + f (1) 2 + + f (2021) 2 = 4046，D错
k=1
误。
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.答案：6
高三年级数学学科 参考答案及解析 第3页 共 9 页
n
解析：令 x =1，可得3 = 27
4 1 2 2
，所以n = 3，则 (1+ x+ x2)n 中含 x 项的系数为C3C2 +C3 =6。
14.答案：6
解析：设圆心O到直线 AB,CD 的距离分别为d1,d ，则2
1
AB = 2 4 d 2 ， CD = 2 4 d 2 ，所以 S = AB CD1 2 =
2
2 4 d 2 2 2 2 2 2 2 21 4 d2 =2 16 - 4(d1 + d2 )+ d1d2 ，又d1 + d2 = 2 ，
2 2 2
d 2 d 2
(d1 + d 2
)
1 2 =1，所以 S 6
4
98 6
15. 答案：
3
解析：如图，取 AB 的中点为M ，则OM = 30 14 = 4，设O到CD的距离为d M0 ，点 到
2
直线CD的距离为d ， A, B 两点到平面MCD的距离分别为h1,h ，则2 CD = 2 30 d0 ，
1 2 2 2
d d0 + 4，所以 S MCD 2 30 d0 (d0 + 4) = (30 d0 ) (d0 +4) ，令
2
f (x) = (30 x2) (x+ 4)2 ，则 f '(x) = 4(x+5)(x+ 4)(x 3)，所以当 x = 3时，
fmax (x) = f (3) = 21 49，所以 S ，所以 MCD 7 21
1 1 1 98 6
VABCD = S MCD (h1 + h2 ) S MCD AB 7 21 2 14 =
3 3 3 3 ，当且仅当
MC = MD = 70 ，且 AB ⊥平面MCD时取等号。
2
16.答案：
e3
1
解析： y = eax与 y = ln x 互为反函数，图像关于直线 y = x 对称，如图所示，由题意，
a
2 tan 3 1 1
tan 2 = = ，解得 tan = 或 tan = 3，又 为锐角，所以 tan = 。由对称
1 tan 2 4 3 3
1+ tan
性，不妨取 AD 直线进行研究，则 = + ， k = tan = tan( + ) = =2。设切点 A 的
4 4 1 tan
横坐标为 x ax ax ax1，切点 D 的横坐标为 x2。 A(x
1 1 1
1,e )， kAD = ae = 2。 lAD : y e = 2(x x1)，即
ax
y = 2x+ e 1 2x1。所以
1 1
B(x2 , ln x2 )， kAD = = 2。
a ax2
1
lAD : y ln x2 = 2(x x2 )，即
a
1
y = 2x + ln x2 2x2 。
a
ax 1 ax
e 1 2x = ln x1 2 2x2 ，则ae
1 2ax1 = ln x2 2ax2，
a
即 2 2ax1 = ln x2 1 ， 则 2ax1 + ln x2 = 3 ， 所 以
高三年级数学学科 参考答案及解析 第4页 共 9 页
2ax +ln x
e 1 2 = e3 2ax1 3 ax1 2 3
1 2
( )2 = e3 a3
2
，即 x ， ， ，所以 = 。 2e = e x2 (e ) = e
2a a e3
四、解答题：本题共 6小题，共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
n 1 n 2
17.解析：（1）证明： S + a = ①，当n 2时，有 S + a = ②， n n n 1 n 1
n(n+1) (n 1)n
n 1 n 2 2
①-②可得：2an = a + ，所以n 1 2an + =
n(n+1) n(n 1) n(n+1)
2 n 1 n 2 1
a + + = a + ，即2bn = bn 1，所以{bn}是等比数列。n 1 n 1
n(n+1) n(n+1) n(n 1) n(n 1)
1 1 1 1
2a1 = S1 +a = 0，a = 0，b1 = a1 + = ，所以b = ，则 = 1 1 n an = bn
2 2 2n n(n+1)
1 1
。
2n n(n+1)
n 1 1 1 n
（2） S = a n(n +1)n n = 。要求 Sn 的最大值，可分析 an 的符号，先比较2 与
n(n+1) n +1 2
n
2n f (n+1) 2n 4
的大小。令 f (n) = ，可以比较 f (n) 与 1的大小， = =2 ，
n(n+1) f (n) n+ 2 n + 2
4 16
f (1) f (2) = f (3) f (4) = 1= = f (5) f (6) ，
5 15
1 1 1 1 11
所以当n 4时， ，当n 5时， ，所以 S4最大，此时 S4 = 。
2n n +1 2n n +1 80
AC218.解析：（1） ACD中， = AD
2 + DC 2 2AD DC cos120 =49，所以 AC = 7，由正弦
a +b sin A sin C a c 2 2 2 1
定理， = = ，可得b = a + c ac，再由余弦定理，cos B = ，又
c sin A sin B a b 2

B (0, )，所以 B = 。 ADC =120 ，所以 ABC + ADC =180 ，所以 A, B,C, D 四点共
3
b 7 14 3
圆，则四边形 ABCD的外接圆半径就等于 ABC外接圆的半径。又 2R = = = ，
sin B 3 3
2
7 3
所以 R = 。
3
a2 + c2
1 1
（2） ac = 49，则 (a+ c)2 = 49+3ac 。 S ABC = acsin B = (a +b+ c) r ，则
2 2
3 ac 1 (a+ c)2 49 1
r = = = (a + c 7)。在 ABC中，由正弦定理，
2 7 + a + c 2 3 7+ a + c 2 3
a c b 14 3 14 3 14 3
= = = ，所以a = sin A，c = sin C ，则a + c =
sin A sin C sin B 3 3 3
高三年级数学学科 参考答案及解析 第5页 共 9 页
14 3 14 3 14 3 3 1
(sin A+ sin C)= [sin A+ sin(120 A)]= (sin A+ cos A+ sin A) =
3 3 3 2 2
14 3 3 3 3 1 2
( sin A+ cos A) =14(sin A + cos A ) =14sin( A+ )，又 A (0, )，所以
3 2 2 2 2 6 3
5 1 7 3
A+ ( , )，所以sin( A+ ) ( ,1]，14sin( A+ ) (7,14]，所以 r (0, ]。
6 6 6 6 2 6 6
19.解析：（1） PAD 中，PA= 2 ， AD = 2， PD = 6 ，所以PD2 = PA2 + AD2 ，则
PA⊥ AD，又 AD⊥ AC，所以 AD ⊥平面PAC ， PO 平面PAC ，所以 AD⊥ PO。又
PO⊥ AC，所以PO⊥平面 ACD。
（2）取CD中点F ，连接OF ， PF ，在 POF 中过F 作 FG 垂直于 PO，垂足为G 。
OF ∥ AD ，则OF ⊥ AC，则 AC⊥平面 POF ，又 FG 平面POF ，所以 AC⊥ FG ，又FG
⊥ PO，所以FG⊥平面PAC ，所以FG 就是点F 到平面PAC 的距离。D 到平面PAC 的距离为
3
3 ，又 F 为CD中点，所以 F 到平面 PAC 的距离为 。
2
3
Rt OFG中，sin GOF = ，所以 GOF = ，所以平面
2 3

PAC 与平面 ACD所成角大小为 。
3
4 13 1 51
20.解析：（1）①由题意该团队不能通过审查的概率为：1 (1 )(1 )(1 ) = 。
25 48 5 100
49
②假设该团队通过审查的事件为 A 。通过技术技能检测的事件为B ，则由题意P(A) = ，
100
35 P(AB) 35 5
P(AB) = ，则 P(B A) = = = 。
100 P(A) 49 7
2 100 (28 3 57 12)
2
= 11.765 10.828
（2）根据题意得 85 15 40 60 ，
所以有 99.9%的把握可以认为观众对该视频的满意度与该视频改拍相关程度有关联。
MF (x 4)2 + y2 (x 4)2 + 3x2 12 4x2 8x + 4
21.解析：（1） = = = =2.
d x 1 x 1 x 1
（2）方法一：设直线 l 的方程为 x = my + 4，与双曲线方程3x2 y2 =12联立得
2 2 24m(3m 1)y + 24my+36 = 0，设 A(xA, y yA), B(xB , yB )，则 A + yB = ，
3m2 1
36 yA 6 5(y 6)yA yB = 。直线MA的方程为 y 6 = (x + 4) ，令 x =1，可得 y
A
D = + 6
3m2 1 xA + 4 xA + 4
(5+ 6m) yA +18 (5+ 6m) yA +18 (5+ 6m) y +18= ，所以 D(1, )，同理E(1, B ) 。由对称性可知，定
myA +8 myA +8 myB +8
高三年级数学学科 参考答案及解析 第6页 共 9 页
(5+ 6m) y +18
点 P 一定在 x轴上，不妨设为 P(a,0)，则 PD = (1 a, A )，
myA +8
(5+ 6m) y +18 (5+ 6m) y +18 (5+ 6m) y +18
PE = (1 a, B ) (1 a)2，则PD PE A= +
B =
myB +8 myA +8 myB +8
(5+ 6m) 2 y y +18 (5+ 6m)(y + y )+182
(1 a)2 + A B A B = (1 a)2 +
m2 yA yB +8m(yA + yB )+ 64
2 36 24m(5+ 6m) 18 (5+ 6m) +182
3m2 1 3m2 1 =
2 36 24mm 8m + 64 y
3m2 1 3m2 1
(1 a)2 +
36(5+6m) 2 18 24m (5+6m) +182 (3m2 1)
=
36m2 8m 24m+64 (3m2 1)
9 16-81m2
(1 a)2 + = (1 a)2 -9=0，所以
9m2 16
(a 1)2 = 9 ，则a = 2，或a = 4。所以，线段DE
为直径的圆过定点 P( 2,0) ，或 P(4,0)。
AF MF
方法二：由（1）结论可知： = 2 = ，则有 x
AA1 MN
AF AA1
= ， 再 由 AA1D ∽ MND ， 可 得
MF MN
AD AA1 AF AD
= ，所以 = ，说明 FD 是
DM MN MF DM
AFM 的角平分线，则 AFD = DFM 。同理可得

FE是 BFM 的角平分线，则 BFE = MFE 。所以 EFD = 90 ，即FD ⊥ FE。
由对称性可知， ( 2,0)也满足条件。
' 1 '
22.解析：（1）当a = 0时， f (x) = (x +1) ln x， f (x) = ln x +1+ ， f (1) = 2，
x
f (1) = 0，则切线方程为 y 0 = 2(x 1) ，即 y = 2(x 1) 。
a(x 1)
（2）方法一：当 x 1时, f (x) = (x +1) ln x a(x 1) 0恒成立，即 ln x 0 恒成立，
x +1
a(x 1) ' 1 2a x
2 + (2 2a)x+1
令 h(x) = ln x ，则h (x) = = ，记
x +1 x (x +1)2 x(x+1)2
(x) = x2 + (2 2a)x+1， = 4a(a 2)
①当0 a 2时， 0， (x) 0恒成立，即h '(x) 0恒成立，所以h(x) 递增，则
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h(x) h(1) = 0 。
②当a 0时，2 2a 0， (x) 0恒成立，即h '(x) 0恒成立，所以h(x) 递增，则
h(x) h(1) = 0 。
③当a 2， = 4a(a 2) 0，设 (x) = 0的两根为 x , x ，则1 2 x1 + x2 = 2a 2 0，
x x =1，则0 x 1 x ，所以 x (1, x )时， (x) 0，即1 2 1 2 2 h
'(x) 0，则h(x) 递减，
h(1) = 0，则 x (1, x )时，h(x) 0，矛盾。 2
综上所述，a 2。
方法二：参变分离+洛必达法则
(x +1) ln x (x +1) ln x
f (x) 0 a 在 (1,+ )恒成立，设h(x) = ，且 x (1,+ ) ，则
x 1 x 1
1
x 2ln x
' x 1 ' (x 1)
2
h (x) = ，再设u(x) = x 2ln x ， x (1,+ ) ，则u (x) = 0，u(x) 在
(x 1)2 x x
2
(1,+ )递增，u(x) u(1) = 0 ，即h '(x) 0，所以h(x) 在 (1,+ ) 上单调递增，而 lim h(x) =
x→1+
1
ln x +1+
lim x = 2 ，所以a 2。
x→0+ 1
方法三：拉格朗日中值定理
(x +1) ln x (x +1) ln x
f (x) 0 a 在 (1,+ )恒成立，则F (x) = (x +1) ln x，则
x 1 x 1 =
F (x) F (1) F (x) F (1) ' 1 '' x 1
，所以a ，由于F (x) = ln x +1= 0 ， F (x) = 0 ，所以
x 1 x 1 x x2
F (x) F (1) '
F (x)为下凸函数，则 F (1) = 2，所以a 2。
x 1
1
（3） g(x) = f (x)+ 2(a 1)x a + 2 = (x +1) ln x + (a 2)x + 2，则 g ' (x) = ln x + + a 1，
x
'' 1 1 x 1g (x) = = ，当 x (0,1)时， g ''(x) 0 ， g ' (x) 在 (0,1) 递减；当 x (1,+ ) 时，
x x2 x2
g ''(x) 0， g ' (x) 在 (1,+ )递增； g '(x) g '(1) = a 0，所以 g(x)在 (0,+ )递增，因为
g(1) = a a 2，当a = 0时， g(x)存在唯一零点 x =1；当a 1时， g(1) = a 1，取m = e 10 。
此时， g(m) = (m+1) ln m+ (a 2)m+ 2 =
a 2
mln m+ ln m+am 2m+2 ln m+ a + 2 = ln e + a + 2 = 0，所以由零点存在定理可知，存在
x0 (m,1)，使得 g(x g(x)0 ) = 0。综上， 存在唯一零点。
(x +1) ln x 2
g(x0) = (x0 +1)ln x0 + (a 2)x0 + 2 = 0， x0 1，所以a =
0 0 + 2 ，因为
x0
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(x +1) ln x 2
x +a = sin x ，所以a = sin x x ，则 0 0 + 2 =1 1 1 1 sin x x ，令 ，则1 1 t = ln x0
x0
(ett +1)t 2x0 = e , t 0，所以 + 2 =sin x x ，下面证明1 1 t x 。 1
et
设 F (x) = sin x x，则F '(x) = cos x 1 0 ，所以 F (x)在 R 上递减，又 F (0) = 0 ，所以当
(ex +1)x 2
x 0时， F (x) 0，所以 x 。设1 0 G(x) = + 2 =
ex
x + 2
x + 2, x 0，则G '(x) = e x (x+1) 1，G ''(x) = xe x 0，所以G '(x)在 ( ,0]递
ex
增，G '(x) G '(0) = 0，所以G(x)在 ( ,0]递减。
x + 2
再设 H (x) =G(x) F (x) = + 2 sin x ， x 0，所以H '(x) = e x (x+1) cos x ，
ex
H ''(x) = xe x + sin x x xe x 0，所以H '(x)在 ( ,0]递增，H '(x) H '(0) = 0， H (x)在
( ,0]递减，所以H (x) H (0) = 0，所以G(x) F (x) ，当 x = 0时取等号。
综上， F (x),G(x)在 ( ,0]递减，且G(x) F(x),G(0) = F(0) = 0，G(t) = F(x ) ，所以1
x
t x e 1 x1 ，即 x1 ln x0 0，所以 0 。
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