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专题三 不等式与合情推理
命题分析
1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
2.在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上.
考点突破
考点一 不等式的性质及解法
1.一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2.简单分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3.不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)＞a对一切x∈I恒成立 f(x)min＞a；f(x)＜a对一切x∈I恒成立 f(x)max＜a.
(2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立 f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
考法全练
1.已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有(　　)
A.＞　　 B.sin ax＞sin by C.logax＞logby D.ax＞by
答案：D
解析：对于A选项，不妨令x＝8，y＝3，a＝5，b＝4，显然＝＜＝，A选项错误；对于B选项，不妨令x＝π，y＝，a＝2，b＝，此时sin ax＝sin 2π＝0，sin by＝sin ＝，显然sin ax＜sin by，B选项错误；对于C选项，不妨令x＝5，y＝4，a＝3，b＝2，此时logax＝log35，logby＝log24＝2，显然logax＜logby，C选项错误；对于D选项，因为a＞b＞1，所以当x＞0时，ax＞bx，又x＞y＞0，所以当b＞1时，bx＞by，所以ax＞by，D选项正确．综上，选D.
2.设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为(　　)
A. (2，3) B. [2，4) C. [2，3] D. (2，3]
答案：B
解析：不等式[x]2－5[x]＋6≤0可化为([x]－2)·([x]－3)≤0，解得2≤[x]≤3，即不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为2≤[x]≤3.根据[x]表示不超过x的最大整数，得不等式的解集为2≤x＜4.故选B.
3.已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．
解析：设3α－β＝m(α－β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n－m)β，则解得因为－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，所以－π＜2(α－β)＜π，故－π＜3α－β＜2π.
答案：(－π，2π)
4.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：作出函数f(x)的大致图象如图所示，令g(x)＝5－mx，则g(x)恒过点(0，5)，由f(x)≤g(x)恒成立，由数形结合得－≤－m≤0，解得0≤m≤.
答案：
考点二 基本不等式及其应用
利用不等式求最值的4个解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值．即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．
考法全练
1.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2　 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4
答案：D
解析：因为log4(3a＋4b)＝log2，所以log22(3a＋4b)＝log2，所以log2(3a＋4b)＝log2，所以log2(3a＋4b)＝2log2，所以log2(3a＋4b)＝log2ab，所以3a＋4b＝ab，即＋＝1，故a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥7＋4.故选D.
2.已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都为正实数．若a⊥b，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.2
答案：C
解析：因为a⊥b，所以a·b＝x－1＋3y＝0，即x＋3y＝1.又x，y为正实数，所以＋＝(x＋3y)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.
3.已知a＞b＞0，则a＋＋的最小值为(　　)
A. B.4 C.2 D.3
答案：D
解析：因为a＞b＞0，所以a＋＋＝≥＋＝2＋＝3，当且仅当a＝，b＝时等号成立．
4.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
答案：
解析：由a－3b＋6＝0，得a＝3b－6，所以2a＋＝23b－6＋≥2＝2×2－3＝，当且仅当23b－6＝，即b＝1时等号成立．
5.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
答案：30
解析：由题意知一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.
考点三 线性规划问题
常见的3种目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
考法全练
1.设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为(　　)
A.－2　 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝x，平移该直线，当直线经过C(1，0)时，在y轴上的截距最小，z最大，此时z＝3×1－0＝3，故选C.
2.设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，即三角形ABC(含边界)，由得点A(2，1)，由得点C(1，2)，又直线OA的斜率为kOA＝，直线OC的斜率为kOC＝2，而直线y＝kx表示过原点O的直线，因此根据题意可得kOA≤k≤kOC，即≤k≤2，故选C.
3.若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)
A. B. C.－ D.－
答案：D
解析：画出约束条件对应的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数z＝x2＋2x＋y2＝(x＋1)2＋y2－1的几何意义是平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的平方再减去1，观察图形可得，平面区域内的点到定点(－1，0)的距离的最小值为，故z＝x2＋2x＋y2的最小值为zmin＝－1＝－，故选D.
4.已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|－1≤a≤1} B.{a|a≤－1} C.{a|a≤－1或a≥1} D.{a|a≥1}
答案：A
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，所以目标函数z＝ax＋y的图象经过点A(3，9)时，z取得最大值，经过点B(3，－3)时，z取得最小值，由图象得，－1≤－a≤1，所以－1≤a≤1，故选A.
5.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为(　　)
A.1 800元 B.2 100元 C.2 400元 D.2 700元
答案：C
解析：设生产甲产品x桶，生产乙产品y桶，每天的利润为z元．根据题意，有z＝300x＋400y.作出所表示的可行域，为图中阴影部分中的整点，作出直线3x＋4y＝0并平移，当直线经过点A(0，6)时，z有最大值，zmax＝400×6＝2 400，故选C.
考点四 合情推理
1.破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)．
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．
(3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2.破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．
考法全练
1.已知13＋23＝，13＋23＋33＝，13＋23＋33＋43＝，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝(　　)
A.8　 B.9 C.10 D.11
答案：C
解析：13＋23＝＝，
13＋23＋33＝＝，
13＋23＋33＋43＝＝，
…
由此归纳可得13＋23＋33＋43＋…＋n3＝，
因为13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，所以＝3 025，所以n2(n＋1)2＝(2×55)2，所以n＝10，故选C.
2.平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为(　　)
A. B. C. D.
答案：C
解析：设空间中三棱锥OABC的三条两两垂直的侧棱OA，OB，OC的长分别为a，b，c，不妨设三个侧面的面积分别为S△OAB＝ab＝S1，S△OAC＝ac＝S2，S△OBC＝bc＝S3，则ab＝2S1，ac＝2S2，bc＝2S3.
过O作OD⊥BC于D，连接AD，由OA⊥OB，OA⊥OC，且OB∩OC＝O，得OA⊥平面OBC，所以OA⊥BC，又OA∩OD＝O，所以BC⊥平面AOD，
又BC 平面OBC，
所以平面OBC⊥平面AOD，
所以点O在平面ABC内的射影O′在线段AD上，连接OO′.
在直角三角形OBC中，OD＝.
因为AO⊥OD，所以在直角三角形OAD中，
OO′＝＝＝＝
＝＝，故选C.
3.有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”则张老师的生日是________．
答案：8月4日
解析：根据甲说的“我不知道，但你一定也不知道”，可排除5月5日、5月8日、9月4日、9月6日、9月9日；根据乙听了甲的话后说的“本来我不知道，但现在我知道了”，可排除2月7日、8月7日；根据甲接着说的“哦，现在我也知道了”，可以得知张老师生日为8月4日．
习题精练
选择题
1.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值与最大值的和为(　　)
A.7　 B.8 C.13 D.14
答案：D
解析：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0，当直线经过点A(1，2)时，z＝2x＋y取得最小值4，当经过点B(3，4)时，z＝2x＋y取得最大值10，故z的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.
2.已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)
A.8 B.9 C.12 D.16
答案：B
解析：由4x＋y＝xy得＋＝1，则x＋y＝(x＋y)＝＋＋1＋4≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝3，y＝6时取“＝”，故选B.
3.设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1)∪(2，＋∞) B. (－∞，－)∪(，＋∞)
C. (－∞，－)∪(2，＋∞) D. (－∞，－1)∪(，＋∞)
答案：C
解析：法一：因为当x＞0时，函数f(x)单调递增；当x≤0时，f(x)＝0，故由f(x2－2)＞f(x)得，或解得x＞2或x＜－，所以x的取值范围是(－∞，－)∪(2，＋∞)，故选C.
法二：取x＝2，则f(22－2)＝f(2)，所以x＝2不满足题意，排除B，D；取x＝－1.1，则f((－1.1)2－2)＝f(－0.79)＝0，f(－1.1)＝0，所以x＝－1.1不满足题意，排除A，故选C.
4.若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. (0，＋∞) B. [－1，＋∞) C. [－1，1] D. [0，＋∞)
答案：B
解析：法一：当x＝0时，不等式1≥0恒成立，当x＞0时，x2＋2ax＋1≥0 2ax≥－(x2＋1) 2a≥－，又－≤－2，当且仅当x＝1时，取等号，所以2a≥－2 a≥－1，所以实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
法二：设f(x)＝x2＋2ax＋1，函数图象的对称轴为直线x＝－a，当－a≤0，即a≥0时，f(0)＝1＞0，所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥0恒成立；当－a＞0，即a＜0时，要使f(x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，需f(－a)＝a2－2a2＋1＝－a2＋1≥0，得－1≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－1，＋∞)，故选B.
5.甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)
A.甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B.甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C.甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D.甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
答案：C
解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.
6.若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B＝，记A B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，若A B＝x－1，则x的取值范围为(　　)
A. [1－，1] B. [1，1＋] C. [1－，1] D. [1，1＋]
答案：B
解析：由A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，得A B＝max{x－1，(x＋1)(x－2)，|x－1|}＝x－1，则化简，得由①，得1－≤x≤1＋.由②，得x≥1.所以不等式组的解集为1≤x≤1＋，则x的取值范围为[1，1＋]．故选B.
7.某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是(　　)
A.逆时针方向匀速前跑 B.顺时针方向匀速前跑
C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动
答案：C
解析：令操场的周长为C，则学生B每隔50秒看一次，学生A都距上一次学生B观察的位置(弧长)，并在上一次位置的后面，故学生B“感觉”到学生A的运动是顺时针方向匀速后退的，故选C.
8.已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为　(　　)
A.2＋ B.5＋2 C.8＋ D.2
答案：A
解析：作出约束条件所对应的可行域，如图中阴影部分．因为a＞0，b＞0，所以－＜0.所以目标函数z＝ax＋by在点A(1，1)处取得最小值2，即2＝a×1＋b×1，所以a＋b＝2.所以＋＝×(a＋b)＝≥(4＋2)＝2＋.故选A.
9.设x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最大值为，则a的值为(　　)
A.－ B.0 C.1 D.－或1
答案：C
解析：法一：由z＝2x＋y存在最大值，可知a＞－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，由得把代入2x＋y＝得a＝1，故选C.
法二：由z＝2x＋y存在最大值，可知a＞－1，显然a＝0不符合题意．作出不等式组所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x＋y＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x＋y－2＝0与ax－y－a＝0的交点时，z取得最大值，由得把代入ax－y－a＝0得a＝1，故选C.
10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为　(　　)
甲 乙 原料限额
A/吨 3 2 12
B/吨 1 2 8
A.15万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
答案：D
解析：设生产甲产品x吨，乙产品y吨，获利润z万元，由题意可知z＝3x＋4y，画出可行域如图中阴影部分所示，直线z＝3x＋4y过点M时，z＝3x＋4y取得最大值，由得所以M(2，3)，故z＝3x＋4y的最大值为18，故选D.
11.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹应表示为(　　)
答案：C
解析：由算筹的定义，得
8　　　 　　7　　　 　　7　　 　　　1
(千位)横式　(百位)纵式　(十位)横式　(个位)纵式，所以8 771用算筹应表示为，故选C.
12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则＝(　　)
A.3 B. C.6 D.2
答案：A
解析：令 ＝x(x＞0)，两边平方，得3＋2＝x2，即3＋2x＝x2，解得x＝3，x＝－1(舍去)，故＝3，选A.
二、填空题
13.在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案：
解析：由于(x－a)*(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，则不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1≥0恒成立，所以a2－a－1≤x2－x恒成立，又x2－x＝－≥－，则a2－a－1≤－，解得－≤a≤.
14.设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
答案：2
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，
由图可知当0≤－k<时，直线y＝－kx＋z经过点M(4，4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2(舍去)；当－k≥时，直线y＝－kx＋z经过点(0，2)时z最大，此时z的最大值为2，不合题意；当－k<0时，直线y＝－kx＋z经过点M(4，4)时z最大，所以4k＋4＝12，解得k＝2，符合题意．综上可知k＝2.
15.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
答案：乙
解析：由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．
16.记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为______．
答案：
解析：因为x＞0，y＞0，所以问题转化为t2≤(2x＋y)·＝≤＝＝2，当且仅当x＝y时等号成立，所以0＜t≤，所以t的最大值为.
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2023版高考二轮专题复习学案 专题三 不等式与合情推理 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
专题三 不等式与合情推理
命题分析
1.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．
2.在全国课标卷中很少直接考查“推理与证明”，特别是合情推理，而演绎推理，则主要体现在对问题的证明上.
考点突破
考点一 不等式的性质及解法
1.一元二次不等式的解法
先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2.简单分式不等式的解法
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3.不等式恒成立问题的解题方法
(1)f(x)＞a对一切x∈I恒成立 f(x)min＞a；f(x)＜a对一切x∈I恒成立 f(x)max＜a.
(2)f(x)＞g(x)对一切x∈I恒成立 f(x)的图象在g(x)的图象的上方．
(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法，一定要搞清谁是自变量，谁是参数．一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．利用分离参数法时，常用到函数单调性、基本不等式等．
考法全练
1.已知x，y∈R，且x＞y＞0，若a＞b＞1，则一定有(　　)
A.＞　　 B.sin ax＞sin by C.logax＞logby D.ax＞by
2.设[x]表示不超过x的最大整数(例如：[5.5]＝5，[－5.5]＝－6)，则不等式[x]2－5[x]＋6≤0的解集为(　　)
A. (2，3) B. [2，4) C. [2，3] D. (2，3]
3.已知角α，β满足－＜α－β＜，0＜α＋β＜π，则3α－β的取值范围是________．
4.已知函数f(x)＝若不等式f(x)≤5－mx恒成立，则实数m的取值范围是________．
考点二 基本不等式及其应用
利用不等式求最值的4个解题技巧
(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．
(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，可以通过凑系数后得到和或积为定值，从而可利用基本不等式求最值．
(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用基本不等式求最值．即化为y＝m＋＋Bg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．
(4)“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积，通过变形构造和或积为定值的代数式求其最值．
考法全练
1.若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是(　　)
A．6＋2　 B．7＋2 C．6＋4 D．7＋4
2.已知向量a＝(x－1，3)，b＝(1，y)，其中x，y都为正实数．若a⊥b，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.2
3.已知a＞b＞0，则a＋＋的最小值为(　　)
A. B.4 C.2 D.3
4.已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．
5.某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．
考点三 线性规划问题
常见的3种目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by，求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为y＝－x＋，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝|PM|2.
(3)斜率型：形如z＝，设动点P(x，y)，定点M(a，b)，则z＝kPM.
考法全练
1.设变量x，y满足约束条件则z＝3x－2y的最大值为(　　)
A.－2　 B.2 C.3 D.4
2.设不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx经过区域M内的点，则实数k的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
3.若x，y满足约束条件则z＝x2＋2x＋y2的最小值为(　　)
A. B. C.－ D.－
4.已知实数x，y满足若目标函数z＝ax＋y的最大值为3a＋9，最小值为3a－3，则实数a的取值范围是(　　)
A.{a|－1≤a≤1} B.{a|a≤－1} C.{a|a≤－1或a≥1} D.{a|a≥1}
5.某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A原料2千克，B原料3千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在每天消耗A，B原料都不超过12千克的条件下，生产这两种产品可获得的最大利润为(　　)
A.1 800元 B.2 100元 C.2 400元 D.2 700元
考点四 合情推理
1.破解归纳推理题的思维3步骤
(1)发现共性：通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)．
(2)归纳推理：把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．
(3)检验，得结论：对所得的一般性命题(猜想)进行检验，一般地，“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧．
2.破解类比推理题的3个关键
(1)会定类，即找出两类对象之间可以确切表述的相似特征．
(2)会推测，即用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的猜想．
(3)会检验，即检验猜想的正确性．要将类比推理运用于简单推理之中，在不断的推理中提高自己的观察、归纳、类比能力．
考法全练
1.已知13＋23＝，13＋23＋33＝，13＋23＋33＋43＝，…，若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝(　　)
A.8　 B.9 C.10 D.11
2.平面内直角三角形两直角边长分别为a，b，则斜边长为，直角顶点到斜边的距离为.空间中三棱锥的三条侧棱两两垂直，三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，类比推理可得底面积为，则三棱锥顶点到底面的距离为(　　)
A. B. C. D.
3.有甲、乙二人去看望高中数学老师张老师，期间他们做了一个游戏，张老师的生日是m月n日，张老师把m告诉了甲，把n告诉了乙，然后张老师列出来如下10个日期供选择：2月5日，2月7日，2月9日，5月5日，5月8日，8月4日，8月7日，9月4日，9月6日，9月9日．看完日期后，甲说：“我不知道，但你一定也不知道．”乙听了甲的话后，说：“本来我不知道，但现在我知道了．”甲接着说：“哦，现在我也知道了．”则张老师的生日是________．
习题精练
选择题
1.设x，y满足约束条件则z＝2x＋y的最小值与最大值的和为(　　)
A.7　 B.8 C.13 D.14
2.已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝xy，则x＋y的最小值为(　　)
A.8 B.9 C.12 D.16
3.设函数f(x)＝则满足不等式f(x2－2)＞f(x)的x的取值范围是(　　)
A. (－∞，－1)∪(2，＋∞) B. (－∞，－)∪(，＋∞)
C. (－∞，－)∪(2，＋∞) D. (－∞，－1)∪(，＋∞)
4.若关于x的不等式x2＋2ax＋1≥0在[0，＋∞)上恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. (0，＋∞) B. [－1，＋∞) C. [－1，1] D. [0，＋∞)
5.甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是(　　)
A.甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B.甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C.甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D.甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
6.若max{s1，s2，…，sn}表示实数s1，s2，…，sn中的最大者．设A＝(a1，a2，a3)，B＝，记A B＝max{a1b1，a2b2，a3b3}．设A＝(x－1，x＋1，1)，B＝，若A B＝x－1，则x的取值范围为(　　)
A. [1－，1] B. [1，1＋] C. [1－，1] D. [1，1＋]
7.某班级有一个学生A在操场上绕圆形跑道逆时针方向匀速跑步，每52秒跑完一圈，在学生A开始跑步时，在教室内有一个学生B，往操场看了一次，以后每50秒他都往操场看一次，则该学生B“感觉”到学生A的运动是(　　)
A.逆时针方向匀速前跑 B.顺时针方向匀速前跑
C.顺时针方向匀速后退 D.静止不动
8.已知变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最小值为2，则＋的最小值为　(　　)
A.2＋ B.5＋2 C.8＋ D.2
9.设x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最大值为，则a的值为(　　)
A.－ B.0 C.1 D.－或1
10.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为　(　　)
甲 乙 原料限额
A/吨 3 2 12
B/吨 1 2 8
A.15万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元
11.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹(一根根同样长短和粗细的小棍子)来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种(如图所示)．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3 266用算筹表示就是，则8 771用算筹应表示为(　　)
12．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”．它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式1＋中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程1＋＝x求得x＝.类比上述过程，则＝(　　)
A.3 B. C.6 D.2
二、填空题
13.在R上定义运算：x*y＝x(1－y)，若不等式(x－a)*(x＋a)≤1对任意的x恒成立，则实数a的取值范围是________．
14.设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________.
15.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．
16.记min{a，b}为a，b两数的最小值．当正数x，y变化时，令t＝min，则t的最大值为______．
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2023版高考二轮专题复习学案 专题三 不等式与合情推理 1/1

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