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双参数最值问题
知识与方法
含参问题一直是高考中的重点与难点. 高考真题及模拟题中常出现“恒成立”为背景的 双参数的范围或最值问题. 处理此类问题, 常用有以下方法:
消元法
零点比大小法
零点比大小是指将函数 与函数 的零点比较大小, 进而解决问题. 图 象上看, 是观察直线 与曲线 的横截距的大小关系. 此方法要求 函数具有凹凸性, 可以解决形如“已知 (或 恒成立, 求 的最值”的问 题,一般有如下两种形式:
(1) 若 恒成立, 为上凸函数, 如下左图, 则 ;
(2) 若 恒成立, 为下凸函数, 如下右图, 则 .
由(1)或(2)得出 的大小,进而可以求得 的最值.
3. 赋值法
对比不等式与目标式的结构, 发现当自变量取某个值时恰好构造出目标式.
赋值法是零点比大小法方法的优化和改进,能快速解决线性表达式型、比值型的客观题 . 点睛意领会“等比例赋值法”进行恰到好处的赋值.
典型例题
若 恒成立, 求 的最小值 .
【答案】
【解析】解法 1: 消元法
设 ,则 ,
令 得 单调递增, 故存在唯一 使得 , 即
当 时, 单调递减当 时, 单调递增,
故 .
所以 , 即 ,
,,
当 单调递减; 当 单调递增,
故 . 所以 的最小值为 .
解法 :赋值法
令 (等比例赋值法), 解得 (舍 ), 则 .
当 时, 由 知 是 的极值点,
所以 , 解得 .下面证明: 当 时, .
证明:令 .
则 ,
当 时, 递增; 当 时, 递减.
所以 , 即 恒成立.
综上可知, 的最小值为 .
【点睛】求线性表达式型 为常数) 的最值时, 赋值的要点在于把原不等式变 成关于 的二元一次不等式, 然后根据 的系数比与 相等求出 (简称等比例赋值法 ).
【例2】若函数 在区间 上单调递增, 则 的最小值为 .
【答案】
【解析】 对 恒成立, 即 对 恒成立, 与目标式 比较, 令 , 得 ,因此令 (等比例赋值法),
则 . ( 时等号成立)
所以 的最小值为 .
【点睛】这里用了等比【例】赋值法, 要点睛意等号成立的条件. 由已知得 对 恒成立, 与目标式 比较, 令 , 得 , 因此令 . 当 时, 由 知 是 的极值点, 所以 .
比值型
【例3】已知函数 , 若不等式 对 恒成立, 则 的最小值为 .
【答案】- .
【解析】解法 1 : 消元法
显然 , 易知 为 的极大值点,
所以只需 , 即 , 所以 .
今 ,则 , 点睛意到 ,
易知 为 的极小值点, .所以 , 故 的最小值为 .
解法 2:零点比大小
, 即
函数 与 的零点分别为
由图可知: , 故 的最小值为 .
解法 3 : 赋值法
, 令 , 则 .
故 的最小值为 .
【点睛 1】求比值型的最值时, 赋值的要点在于把原不等式改写成一边只含有目标式分子、 分母的线性结构, 再令另一边为 0 , 找到 .
【点睛 2】观察不等式 与目标式 的结构, 进行恰到好处的赋值. 只需 让 , 便得 , 进而可求得 的最值. 解方程 , 可得 , 从而有上面的解法.
【点睛 3】本题我们用了消元法、零点比大小和赋值法, 显然赋值法最为简捷.
【例4】已知不等式 恒成立, 其中 为自然常数, 则 的最大值 为 .
【答案】
【解析】赋值法
, 令 , 得 , 则 , 故 的最大值为 .
乘积型
【例5】 若 恒成立, 求 的最大值.
【答案】
【解析】解法 1 : 消元法
,
令 , 则 ,
(1)若 , 则 , 则 在 上单增,
当 时, ,与 矛盾, 舍去.
(2)若 , 由 得 ,
所以 在 单减, 在 单增, 则
,即 ，
则
令 , 则
所以 在 单增, 单减, 所以 ,
(3) 当 时, ,
综上: 最大值为 .
解法 2: 消元法
,即
若 , 则 ,
令
所以当 时, , 则 不成立
(2) 若 , 则 ；令 ,
由 得 , 则 在 单减, 单增,
所以 ,
令 , 则 ,
所以 在 单增, 单减, 所以
(3) 当 时, ,
综上: 最大值为 .
【点睛】根据所求目标, 在 都在变的情况下, 求 的最大值, 把 移到一边, 同乘
以 , 构造出 , 在等式的右边成功地消灭了变量 .
【例6】已知函数 , 当实数 时, 对于 都有 恒成立, 则 的最大值为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 , 易知 为极小值点, 则 0 , 所以 , 则 , 令 , 易得 . 故 的最大值为 .
强化训练
1.已知不等式 对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 .
【答案】1-e
【解析】解法 零点比大小
恒成立,
直线 在函数 图象的上方,
直线 在 轴上的截距为 ,
函数 在 处的切线为 ,
则 , 故
解法 2 : 赋值法
取 ,便有
2.已知函数 , 若 恒成立, 则 的取值 范围是当 取得最小值时, .
【答案】
【解析】赋值法
, 即 .
令，解得或则由 , 得 ; 由 , 得 .
所以 的取值范围是 .当 时, ,
可知 是函数 的极值点 (或对称轴), 所以 , 易得 .
3.已知不等式 对 恒成立, 则 的最大值为 .
【答案】
【解析】赋值法，令，可得
4.若对于任意正实数 , 都有 (e 为自然对数的底数) 成立, 则 的最小值是 .
【答案】0
【解析】令 , 代入得: ,
以下说明 时满足条件,
当 时, 令 ,
则 , 令 , 解得: ,
可知当 时, , 当 时, ,
故对任意正实数 , 都有 ,
故 时, , 满足题意, 故 的最小值是 0 ,
故答案为: 0 .
5.已知不等式 , 且 对任意实数 恒成立, 则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】解法 1:零点比大小
由 得 ,
考虑 与 在 轴上的截距,
只需 .
解法 2 : 赋值法
令 即 , 结合 , 立得 .
6.已知函数 , 若 时, 恒有 , 则 的最大值为（）
A. B. C. D. e
【答案】C
【解析】因为函数 , 则 , 由题可知, 对 , 恒 有 成立, 令 , 则 当 时, 函数 在 上单调递增, 且 时, , 不符合题意;
当 时, , 当 时, 令 ,
所以函数 在 上单调递增, 且在 上单调递减;
所以
,
故 ,
令 , 则 , 且 ,
当 时, , 函数 单调递增; 当 时, , 函数
单调递减,
所以 , 故 ,
综上所述, 的最大值为 .
7.设函数 , 若 恒成立, 则 的最大值为 .
【答案】
【解析】 恒成立, 即 恒成立,
, 所以 , 于是 .
8.已知 , 函数 ( 为自然对数的底数), 若存在一 条直线与曲线 和 均相切, 则 最大值是
【答案】e
【解析】 , 设切点分别为 , 则切线方程分别为 ,
由题意存在一条直线与曲线 和 均相切, 所以可得 ,
且 ;
因为 , 且 ,
所以 ;
令 , 则 .
当 时, ; 当 时, 单调递增; 当 时,
单调递减;
故当 时取得最大值 .
故答案为: .
切线放缩
知识与方法
1. 切线放缩
对于含有指数、对数或三角函数等超越式的函数或不等式问题, 有时我们可以利用导数 的几何意义进行以直代曲, 即考虑函数 图象上某点 处的切线 , 结合函 数的凹凸性进行切线放缩, 使问题便于解决.
特别地, 当 为下凸函数时, 则 ; 当 为上凸函数时, 则 . 两个不等式中等号成立的条件刚好是 .
将 放大或缩小为 , 得到 或 , (其中 为 在 处的切线 叫做切线放缩.
对某些求函数的最小值或证明不等式的问题, 巧用切线放缩, 会有意想不到的效果.
2. 常用的切线不等式
(1) .
【点睛】在 中, 将 换成 , 即得 ;
在 中, 将 换成 , 即得 ;
在 中, 将 换成 , 即得 ;
在 中, 将 换成 , 即得 .
典型例题
逆用求导法则型
若 是实数, 是自然对数的底数, , 则 .
【答案】-
【解析】结合不等式 (当且仅当 时等号成立),
可得: (1),
结合不等式 (当且仅当 时等号成立),
则 , 所以
(1) (2) 两式相加, 即得:
又已知 ,
所以 , 于是(1)与 (2) 中的等号同时成立,
所以 , 解得 所以 .
故答案为: .
【点睛】本题利用了夹逼法. 根据切线不等式 与 , 并结合已知条件, 通过夹逼由不等式得到了方程, 最后点睛意到两个不等式中等号成立的条件, 解方程组即 可得到答案.
【例2】已知函数 , 若对任意的 恒成立, 则求实数 的 取值范围是 .
【答案】
【解析】解法 :切线放缩, 利用
对任意的 恒成立,
等价于 在 上恒成立.
因为 ,
所以 . 当且仅当 时等号成立 (方程显然有解),
即 , 所以 .
故答案为: .
解法 2: 隐零点
因为 , 所以对任意的 恒成立, 等价于
在 上恒成立.
令 , 则只需 即可, 则 ,
再令 , 则 , 所以 在
上单调递增, 因为 ,
所以 有唯一的零点 , 且 ,
所以当 时, , 当 时, ,
所以 在 上单调递减, 在 上单调递增,
因为 , 所以 ,
即 ，
设 , 则 , 所以函数 在 上单调递
增,
因为 , 所以 , 即 ,
所以 , 则有 ,
所以实数 的取值范围为 . 故答案为: .
【例3】已知 成等比数列, 且 , 若 , 则（）
A.
B.
C.
D.
【答案】
【解析】(利用 由 , 可得 , 所以 , 故公比 . 若 , 则 , 而 , 即 , 矛盾; 所以 , 所以 , 所以 , 故选 .
多变量轮换式的切线放缩
【例4】, 已知数列 满足 , 且满足 , 则
A. 有最大值 6030
B. 有最大值 6027
C. 有最小值 6027
D. 有最小值 6030
【答案】A
【解析】由 , 得 , 所以 在 处的切线方程为 , 下证 . 而 .
因为 , 所以 成立, 故 .
所以当 时, 有 ,
.
故 最大值 6030 .
【点睛】本题利用函数 在 处的切线进行放缩, 思路如下: 点睛意到 , 当 时, 有 , 即 是各元相 等时候的平衡点, 于是求出函数在平衡点
的切线方程 , 可得 .
双参数最值的切线放缩
【例5】已知不等式 对一切正数 恒成立, 则 的最小值为
【解析】 恒成立,直线 在函数
图象的上方,
直线 在 轴上的截距为 ,
函数 在 处的切线为 ,
则 , 故
【点睛】本题利用两函数的零点比较大小, 其实就是切线放缩.
强化训练
1.已知函数 , 直线 与 的图象相切, 与 的 图象也相切, 则直线的 方程是 .
【答案】
【解析】 与 互为反函数, 其图象如图,
其公共点为 ,
由 , 得 , 所以 ,
曲线 在 处的切线方程为 ,
由 , 得 , 所以 ,
曲线 在 处的切线方程为 ,
所以曲线 与曲线 的公切线为 .
故答案为: .
2.已知实数 满足 (e 为自然对数的底数), 则 的最小值是 .
【答案】
【解析】设 , 则 , 可知 , 即 ;
由不等式性质可知 , 当且仅当
时取等号;
又因为 ,
即有: ,
所以 ; 即 ;
所以
当且仅当 时取等号, 故 的最小值是 , 答案为 .
3.函数 , 若 使得 , 则 .
【答案】-1-
【解析】令 ,
令 ,
故 在 上是减函数 上是增函数,
故当 时, 有最小值 ,
而 . ( 当且仅当 , 即 时, 等号成立);双参数最值问题
知识与方法
含参问题一直是高考中的重点与难点. 高考真题及模拟题中常出现“恒成立”为背景的 双参数的范围或最值问题. 处理此类问题, 常用有以下方法:
消元法
零点比大小法
零点比大小是指将函数 与函数 的零点比较大小, 进而解决问题. 图 象上看, 是观察直线 与曲线 的横截距的大小关系. 此方法要求 函数具有凹凸性, 可以解决形如“已知 (或 恒成立, 求 的最值”的问 题,一般有如下两种形式:
(1) 若 恒成立, 为上凸函数, 如下左图, 则 ;
(2) 若 恒成立, 为下凸函数, 如下右图, 则 .
由(1)或(2)得出 的大小,进而可以求得 的最值.
3. 赋值法
对比不等式与目标式的结构, 发现当自变量取某个值时恰好构造出目标式.
赋值法是零点比大小法方法的优化和改进,能快速解决线性表达式型、比值型的客观题 . 点睛意领会“等比例赋值法”进行恰到好处的赋值.
典型例题
若 恒成立, 求 的最小值 .
【例2】若函数 在区间 上单调递增, 则 的最小值为 .
比值型
【例3】已知函数 , 若不等式 对 恒成立, 则 的最小值为 .
【例4】已知不等式 恒成立, 其中 为自然常数, 则 的最大值 为 .
乘积型
【例5】 若 恒成立, 求 的最大值.
【例6】已知函数 , 当实数 时, 对于 都有 恒成立, 则 的最大值为（）
A. B. C. D.
强化训练
1.已知不等式 对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 .
2.已知函数 , 若 恒成立, 则 的取值 范围是当 取得最小值时, .
3.已知不等式 对 恒成立, 则 的最大值为 .
4.若对于任意正实数 , 都有 (e 为自然对数的底数) 成立, 则 的最小值是 .
5.已知不等式 , 且 对任意实数 恒成立, 则 的最大值为（）
A. B. C. D.
6.已知函数 , 若 时, 恒有 , 则 的最大值为（）
A. B. C. D. e
7.设函数 , 若 恒成立, 则 的最大值为 .
8.已知 , 函数 ( 为自然对数的底数), 若存在一 条直线与曲线 和 均相切, 则 最大值是 .
切线放缩
知识与方法
1. 切线放缩
对于含有指数、对数或三角函数等超越式的函数或不等式问题, 有时我们可以利用导数 的几何意义进行以直代曲, 即考虑函数 图象上某点 处的切线 , 结合函 数的凹凸性进行切线放缩, 使问题便于解决.
特别地, 当 为下凸函数时, 则 ; 当 为上凸函数时, 则 . 两个不等式中等号成立的条件刚好是 .
将 放大或缩小为 , 得到 或 , (其中 为 在 处的切线 叫做切线放缩.
对某些求函数的最小值或证明不等式的问题, 巧用切线放缩, 会有意想不到的效果.
2. 常用的切线不等式
(1) .
【点睛】在 中, 将 换成 , 即得 ;
在 中, 将 换成 , 即得 ;
在 中, 将 换成 , 即得 ;
在 中, 将 换成 , 即得 .
典型例题
逆用求导法则型
若 是实数, 是自然对数的底数, , 则 .
【例2】已知函数 , 若对任意的 恒成立, 则求实数 的 取值范围是 .
【例3】已知 成等比数列, 且 , 若 , 则（）
A.
B.
C.
D.
多变量轮换式的切线放缩
【例4】, 已知数列 满足 , 且满足 , 则
A. 有最大值 6030
B. 有最大值 6027
C. 有最小值 6027
D. 有最小值 6030
双参数最值的切线放缩
【例5】已知不等式 对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 .
强化训练
1.已知函数 , 直线 与 的图象相切, 与 的 图象也相切, 则直线的 方程是 .
2.已知实数 满足 (e 为自然对数的底数), 则 的最小值是 .
3.函数 , 若 使得 , 则 .

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