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第29讲 等高线问题
知识与方法
对于函数，若，则直线叫做函数的等高线．函数的等高线问题，一般涉及的参数较多，基本的处理策略是通过统一变量，化为一元函数来研究．
典型例题
【例1】已知函数，，若成立，则的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
【答案】
【解析】解法1：消元构造函数
由，可得，所以，令，则点睛意到，且在上单调递增，所以在单调递减，在单调递增．
所以．故的最小值为．
解法2：换元统一变量
令，，则，．所以．
令，则，，所以在上单调递增．观察知，则时，，单调递减；时，，单调递增．所以，所以的最小值为，故选．
解法3：平移图象
已知，，设，
设函数与的图象相切于点，则，
解得，即．
令，则．
所以为增函数，又，
于是函数有唯一零点，
因此．进而得．
故的最小值为．
【例2】已知函数，，当对恒成立时，的最大值为，则_______．
【答案】
【解析】对恒成立，即，
得，所以，
显然，于是．
因为的最大值(最大值大于函数的半个周期)，
∴或，
解得或(舍去)．
两种情况分别对应下图：
【点睛】本题通过解不等式，将其化简为，然后分两种情况寻找满足题意的条件，点睛意图象分析的重要作用，这里考虑了等高线(如上图所示)．
【例3】已知函数，若，则的最大值为( )
A、 B、 C、 D、
【答案】
【解析】解法1：
由题意得，，，即，，
易得在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，时，，
作出函数的图象如图所示．
由图可知，当时，有唯一解，
故，且．所以．
设，，则，令，解得，
易得在上单调递增，在上单调递减，
所以，即的最大值为，故选．
解法2：
由题意可得：，，即，，
故分别为函数，与函数图象交点的横坐标；
又由对称性可知，点坐标为，代入函数可得．
下同解法1．
【例4】已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
【答案】
【解析】函数的定义域为，，所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，又，所以时，；
同时，若存在，，使得成立，
则且，所以，即，又，所以，
故，令，，则，
令，解得，令，解得，
所以在单调递减，在单调递增，所以．
故选：．
【例5】 (多选)已知函数，的图象与直线分别交于两点，则( )
A、图象上任一点与曲线上任一点连线线段的最小值为
B、存在使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C、函数不存在零点
D、存在使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
【答案】
【解析】在函数，，上分别取点，，
则，而点睛，故选项不正确；
因为，，则，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
令，即，即，则满足方程，
所以存在使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，选项正确；
构造函数，可得，
函数在上为增函数，
由于，，
则存在，使得，可得，
当时，；当时，．
所以
，
所以函数没有零点，选项正确；
设曲线在点处的切线与曲线相切于点，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
所以，消去得，
令，则，
函数在上为減函数，因为，，
则存在，使得，且．
当时，，当时，．
所以函数在上为减函数，
因为，，
由零点存定理知，函数在上有零点，
即方程有解．
所以存在使得曲线在点处的切线也是曲线的切线．
故选：．
强化训练
1.已知函数，若存在互不相等实数，有，则的取值范围是_______，的取值范围是______________．
【答案】；
【解析】作出函数，图象如下，存在互不相等实数，有，所以直线与函数的图象有四个交点，
由图象可得：；
不妨设，则，即，
由得：，即；所以；同理可得；
所以，
令，，因为，所以，
则，当时，，
所以函数在上单调递增，
故，即，
所以．
即的取值范围是．
故答案为：；．
2.已知，若存在实数满足．且，则的取值范围为；的最大值为______________．
【答案】，
【解析】的图象如图所示，由图象知：，，，所以，
令，，则
因为在上单调递增，所以，
所以在上单调递减，又因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以．
3.已知函数，，若，，则的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由题意，，得，
所以，即，
又，得
因为在上单调递增，
所以综上知：，
所以，
今，则
所以，得，得；
故在上单调递减，在上单调递增．
所以，
故选：．
导数中的整数解问题
知识与方法
导数中整数解问题是一般含参问题的特殊化．可延用一般策略，但更常用半分离技术解决．通常情况下可利用半分离方法将问题转化为直线与曲线的位置关系，而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式(组)求出参数的取值范围．
整数解的问题，关键是找出相应的整数解，再求出参数的取值范围．
典型例题
【例1】设函数，其中，若存在唯一的正整数使得，则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
【答案】
【解析】因为，故，因为，，故．又，若，则，故恒成立且不恒为零，所以恒成立且不恒为零，故在为增函数，因为存在唯一的正整数使得，故，解得．
若，则，，与题设矛盾，故舍去．
故选：．
【点睛】本题根据函数解析式可得，求出后就，分别讨论，前者可得为上的增函数，结合，可判断出，从而得到的取值范围，后者可得到与题设矛盾的结果，，两者结合可得实数的取值范围．
【例2】已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则的取值范围是( )
A、 B.
C. D.
【答案】C
【解析】 ,
,
当 时, 函数单调递增, 不成立;
当 时, 函数在 上单调递增, 在 上单调递减;
有且只有两个整数 使得 , 且 , 故 且
即 解得 ;
故选: .
【点睛】本题求导得到 , 计算 , 讨论 两种情况, 得 到函数单调区间, 得到 且 , 计算得到答案.
【例3】已知函数 有两个零点 , 且存在唯一的整数 , 则实 数 的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】
【解析】由题意 , 得 ,
设
令 , 解得
当 时, 单调递增; 当 时, 单调递减;
故当 时, 函数取得极大值, 且
又 时, ; 当 时, , 故 ;
作出函数大致图象, 如图所示:
又 ,
因为存在唯一的整数 , 使得 与 的图象有两个交点,
由图可知: , 即 .
故选: .
【点睛】本题可知 , 构造函数 , 利用导数研究函数 的单调性及极值, 又 时, ; 当 时, , 作出函数 的图 象, 利用数形结合思想即可求解.
【例4】已知函数 的导函数为 , 且对任意的实数 都有 (e 是自然对数的底数), 且 , 若关于 的不等式 的解集中恰有两 个整数, 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答新】
【解析】由 可知 , 所以 , 则 , 所以 , 因为 , 所以 , 所以 , , 由 得 , 此时 单调递增, 由 得 或 , 此时 单调递减, 所以 时, 取得极大值为 ,当 时, 取得极小值 ,
又因为 , 且 时, ,
的解集中恰有两个整数等价于 在 下方的图象 只有 2 个横坐标为整数的点, 结合函数图象可得:
, 解得 ,
所以 时, 的解集中恰有两个整数 ,
故实数 的取值范围是 .
故选: .
【点睛】本题由 的解集中恰有两个整数, 需求出 解析式, 所以对已知条 件 变形可得 , 即 , 结 合 丁求出 的解集中恰有两个整数等价于 在 下方的图象只有 2 个横坐标为整数的点, 对 求导, 数 形结合即可求出实数 的取值范围.
【例5】函数 , 其中 , 若有且只有一个整数 , 使得 , 则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 已知函数 , 则 有且只 有一个整数解.
令 , 则 ,当 时, , 当 时, ,
所以 在 上递减, 在 上递增,所以当 时, 取得最小值 .
设 , 则 恒过点 .在同一坐标系中分别作出 和 的简图,因为 , 所以 , 所以 , 依题意得 即 , 解得 , 又 , 所以 .
故选: .
【点睛】本题由 有且只有一个整数解, 令 , 在同一坐标系中分别作出其图象, 数形结合可得结果.
【例6】在关于的不等式 (其中 为自然对数 的底数 的解集中, 有且仅有一个大于 2 的整数,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
【答案】
【解析】 等价于 , 令 故 的图象在 图象的上方有且只有一个横坐标大于 2 且为整数的点.又 ,当 时, , 当 时, , 当 时, ,故 在 为减函数, 在 为增函数, 在 为减函数,而 恒成立, 的图象为过 的动直线,故 的图象如图所示:
其中 ,当 时, , 故 ,
因为 的图象在 图象的上方有且只有一个横坐标大于 2 且为整数的点, 故 .
当 时, 的图象在 图象的上方有无穷多个横坐标大于 2 且为整数的点, 此 时不合题意,舍.
故选: .
【点睛】本题原不等式可化为 , 令 , 在坐标平面中画出它们的图象, 结合图象可得所求的参数的取值范围. 遇到较为复杂 的函数不等式的整数解问题, 可根据不等式的结构特点转化为两个函数图象的位置关 系问题 (其中一个函数的图象为动直线), 图象刻画时点睛意利用导数研究其性质.
强化训练
1.若不等式 在区间 内的解集中有且仅有三个整数, 则 实数 的取值范围是 ( ).
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】不等式 , 即 ,
令 , 则 .
令 , 得 或 , 得 ,
所以 在 上单调递增, 在 上单调递减, 所以 , 且 . 如图所示
当 时, 至多有一个整数解.
当 时, 在区间 内的解集中有且仅有三个整数,
只需 , 即
解得 .
故选:C
2.已知函数 , 若不等式 的解集中恰 有两个整数, 则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】由 , 可得 ,
设 , 则 ,令 ,
则 , 所以 在 上单调递增.由于 , 所以 ,所以 在 单调递减: 在 单调递增.
要使不等式 的解集中恰有两个整数,即 的解集中恰有两个整数, 此二整数位 2 和 3 .所以 ,解得 .
3.已知函数 , 若关于 的方程 有且仅有两 个不同的整数解, 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】方程 等价于
或 或
即 或 或
所以 .因为 , 所以 ,
所以当 时, , 单调递减; 当 时, 单调递增.
所以当 时, 取得最小值, 且 .
画出函数 的图象, 如下图所示.于是可得, 当 时, 恒成立.
由图象可得, 要使方程 有且仅有两个不同的整数解, 只需 , 即 , 解得 , 所以实数 的取值范围是 . 故选 .
4.已知函数 , 关于 的不等式 只有 2 个整数解, 则实数 的取值范围是 .
【答案】
【解析】作出函数 的图象:
(1)若 , 由 , 可得 或 ,
显然 没有整数解, 则 有 2 个整数解, 由图可知: ;
(2) 若 , 由 , 可得 或 ,
显然 没有整数解, 而 有无数多个整数解, 不符题意, 舍去; (3)若 , 由 , 可得 , 有无数多个整数解, 不符题意, 舍去. 综上可知 .
5.已知关于 的不等式 有且仅有两个正整数解 (其中 为自然对数的底数), 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】当 时, 由 可得 , 显然当 时, 不等式 , 在 恒成立, 不符合题意;
当 时, 令 , 则 在 上单调递增,
令 , 则 ,所以 在 上单调递增,
因为 , 且 有两个正整数解, 所以 即 解得 , 故选 .
6.已知函数 , 若 的解集中恰有一个整数, 则 的取值范围 为（）
A. B. C. D.
【答案】
【解析】 , 即 , 即 , 因为 , 所以 .
令 , 则 .当 时, ; 当 时, .
所以 在 上单调递减, 在 上单调递增.画出 的大致图象, 如图所示.
当直线 与 图象相切时, 设切点为 ,则 , 解得 , 故 .当直线 过点 时, , 故 的取值范围为 .第29讲 等高线问题
知识与方法
对于函数，若，则直线叫做函数的等高线．函数的等高线问题，一般涉及的参数较多，基本的处理策略是通过统一变量，化为一元函数来研究．
典型例题
【例1】已知函数，，若成立，则的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
【例2】已知函数，，当对恒成立时，的最大值为，则_______．
【例3】已知函数，若，则的最大值为( )
A、 B、 C、 D、
【例4】已知函数，，若存在，，使得成立，则的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
【例5】 (多选)已知函数，的图象与直线分别交于两点，则( )
A、图象上任一点与曲线上任一点连线线段的最小值为
B、存在使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C、函数不存在零点
D、存在使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
强化训练
1.已知函数，若存在互不相等实数，有，则的取值范围是_______，的取值范围是______________．
2.已知，若存在实数满足．且，则的取值范围为；的最大值为______________．
3.已知函数，，若，，则的最小值为( )
A、 B、 C、 D、
导数中的整数解问题
知识与方法
导数中整数解问题是一般含参问题的特殊化．可延用一般策略，但更常用半分离技术解决．通常情况下可利用半分离方法将问题转化为直线与曲线的位置关系，而直线过定点，只需将直线旋转即可得到临界位置，进而列出不等式(组)求出参数的取值范围．
整数解的问题，关键是找出相应的整数解，再求出参数的取值范围．
典型例题
【例1】设函数，其中，若存在唯一的正整数使得，则的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
【例2】已知函数，若有且只有两个整数使得，且，则的取值范围是( )
A、 B.
C. D.
【例3】已知函数 有两个零点 , 且存在唯一的整数 , 则实 数 的取值范围是
A. B. C. D.
【例4】已知函数 的导函数为 , 且对任意的实数 都有 (e 是自然对数的底数), 且 , 若关于 的不等式 的解集中恰有两 个整数, 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【例5】函数 , 其中 , 若有且只有一个整数 , 使得 , 则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【例6】在关于的不等式 (其中 为自然对数 的底数 的解集中, 有且仅有一个大于 2 的整数,则实数 的取值范围为
A. B. C. D.
强化训练
1.若不等式 在区间 内的解集中有且仅有三个整数, 则 实数 的取值范围是 ( ).
A. B. C. D.
2.已知函数 , 若不等式 的解集中恰 有两个整数, 则实数 的取值范围是 .
3.已知函数 , 若关于 的方程 有且仅有两 个不同的整数解, 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
4.已知函数 , 关于 的不等式 只有 2 个整数解, 则实数 的取值范围是 .
5.已知关于 的不等式 有且仅有两个正整数解 (其中 为自然对数的底数), 则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
6.已知函数 , 若 的解集中恰有一个整数, 则 的取值范围 为（）
A. B. C. D.

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