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第28讲 导数中的“距离”问题
知识与方法
导数中的“距离”问题是指形如下面的问题：
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
典型例题
一曲一直型
【例1】若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．
【答案】
【解析】解法1：利用相切
表示两点，间的距离，
其中在直线上，在曲线上，
平移直线，与曲线相切于点，
由得，令，所以，，
到直线的距离，故，
于是的最小值为2，
故，所以的取值范围是．
解法2：利用柯西不等式
当且仅当，即时，取得最小值2．
故．
解法3：主元法，利用判别式
由得对任意的恒成立，
所以判别式，
，
即任意的恒成立，
令，则，
当时，单调递减；
当时，单调递增，
于是，所以，故．
【例2】设，若关于的不等式有解，则实数的值为( )
A、 B、 C、0 D、
【答案】
【解析】解法1：利用相切
表示两点，间的距离．
在直线上，在曲线上，
因为，如图，
且不等式有解，则，
此时，由，所以．
解法2：权方和不等式
由权方和不等式及得
当且仅当且时等号成立，．
【点睛】解法2用到了权方和不等式：(当且仅当时取等号)．
【例3】若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
【答案】
【解析】，
即恒成立，下面求的最小值．
解法1：
表示两点，间的距离，如图所示，
平移直线与相切，易得，所以．
解法2：，
，
当且仅当即时，等号成立，故．
两曲型
【例4】已知为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值_______．
【答案】．
【解析】点睛意到与互为反函数，图像关于直线对称，
故问题转化为：“已知为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值．”
显然，的最小值是最小值的2倍．
平移直线与曲线相切，
易求得切点坐标为，点到直线的距离为，
则所求的最小值为．
【点睛】本题点睛意到与互为反函数，图像关于直线对称，将问题转化为类型1中的“一曲一直”型，平移直线或者利用切线不等式放缩均可解决问题．
【例5】设是曲线上的动点，是曲线上的动点，则的最小值为_______．
【答案】
【解析】设，，
则
所以，当且仅当时，．
【点睛】．
综合应用
【例6】设．当变化时，的最小值为_______．
【答案】
【解析】解法1：几何意义导数
设，分别是函数，图象上的动点，
则．
点到抛物线的准线的距离，
等于点到焦点的距离，即，故．
所以，
当三点共线时取等号，故只需求的最小值．
记，则，
当时，；当时，，
所以，从而，当，时取等号．
【点睛1】解法1结合几何意义将目标转化为函数图像上的点与函数图像上的点之间的距离，进而通过拋物线的定义转化为焦点与图像上的动点的距离的最小值，最后通过构造函数，利用导数求出函数的最值．
解法2：几何意义权方和不等式
设，分别是函数，图象上的动点，则．点到抛物线的准线的距离，等于点到焦点的距离，即，故．
所以，
(当且仅当时取等号)
所以．
【点睛2】解法2在求解拋物线上焦点与上动点的距离的最小值时，利用权方和不等式求最小值，方法巧妙快捷．二维形式权方和不等式为：当且仅当时取等号．
【例7】已知为曲线上一点，为直线上一点，为的中点，则点到圆上一点的最短距离为__________．
【答案】
【解析】解法1：
圆方程化为，圆心，半径，则所求为，
设，，则，
．
其中在曲线上，在直线上，
将直线平移至，使得与曲线相切于，
则的最小值即为到的距离．
由，，则，解得，故，
于是，故，得所求最小值为．
解法2：
圆方程化为，圆心，半径，则所求为，延长至，
使得，则是的中位线，所以，
设，则在直线上，
于是，
化简得点的轨迹为直线，
将直线平移至，
使得与曲线相切于，
则的最小值即为到的距离．
由，则，
解得，故，于是，
故，得所求最小值为．
【例8】已知点，点在曲线上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为（）
A、 B、 C、 D、
【答案】
【解析】延长至，使得，则是的中位线，
所以，设，
则在直线上，于是14，
化简得点的轨迹为直线，
将直线平移至，使得与曲线相切于，
则到直线的距离即为的最小值，，
由得或(舍)，
当即时，，故．
强化训练
1.若存在，，使成立，则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
【答案】
【解析】解法1：
转化为两点，间的距离
解法2：
利用权方和不等式或柯西不等式和
所以，当且仅当即，时等号成立，故选．
2.设，其中，，若存在正数，使得成立，则实数的值为( )
A、 B、 C、 D、1
【答案】
【解析】由权方和不等式及得，，
因为存在正数，使得成立，又，故，于是，解得．
3.已知函数，若关于的不等式有解，则实数的值为 .
【答案】
【解析】由权方和不等式及得，，当且仅当且时等号成立，．
4.设分别在曲线与上，求的最小值．
【答案】
【解析】设，，
则，
所以，当且仅当，时，．
5.已知点是直线上的动点，点是拋物线上的动点．设点为线段的中点，为原点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】设，，则，，则点的轨迹方程为，于是问题转化为原点到直线的距离最小值，所以，故的最小值为．
6.已知函数，若存在，使得，则实数的值为 .
【答案】
【解析】函数，函数可以看作是动点与动点之间距离的平方，动点在函数的图象上，在直线的图象上，问题转化为求直线上的动点到曲线的最小距离，由得，，解得，所以曲线上点到直线的距离最小，最小距离，则，根据题意，要使，则，此时恰好为垂足，由，解得．故答案为：．
7.(多选)已知，，记，则( )
A、的最小值为 B、当最小时，
C、的最小值为 D、当最小时
【答案】
【解析】由和，则的最小值，可转化为函数图象上的点到直线的距离的最小值的平方，又由，可得，因为与直线平行的直线的斜率为，所以，解得，则切点的坐标为，所以到直线上的距离，即函数上的点到直线上的点的距离的最小值为，所以的最小值为，又过且与直线垂直的直线为，即，联立方程组，解得，即当最小时，．故选：．
8.已知实数满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为_______．
【答案】
【解析】因为实数满足，所以，，，
所以点在曲线上，点在曲线上，的几何意义就是曲线上的点到曲线上的点的距离的平方，因为，令，解得，所以切点为，该切点到直线的距离，就是所求两曲线间的最小距离，所以的最小值为．
9.已知函数在上单调递增，则的取值围是________．
【答案】
【解析】，
即恒成立，
表示两点，间的距离，
，，所以．
10.已知，函数(e是自然对数的底数)，当取得最小值时，则实数的值为( )
A、4 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由权方和不等式及得， ，
当且仅当且时等号成立，此时．
11.若，则的最小值为______，此时______．
【答案】，．
【解析】设，，点在函数图像上，点在直线上，求的最小值，可转化为函数图像上的点与直线上的点的距离的最小值的平方，由，可得，与直线平行的直线的斜率为，令，得，所以切点坐标为，切点到直线的距离，即的最小值为，过切点与直线垂直的直线，由，得．
12.已知对任意，，都有成立，求正整数的最大值．
【答案】4
【解析】解法1：结合柯西不等式得，
，
而，于是恒成立．
设，则，且，
由，
所以在上有唯一实数根，且，
当时为减函数，当时为增函数，
所以，，所以，
因为且为正整数，所以，故的最大值为4．
解法2：
对任意的，，都有成立，
即，
所以，则，
而，所以有：恒成立．
下同解法1．第28讲 导数中的“距离”问题
知识与方法
导数中的“距离”问题是指形如下面的问题：
若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
典型例题
一曲一直型
【例1】若对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是_______．
【例2】设，若关于的不等式有解，则实数的值为( )
A、 B、 C、0 D、
【例3】若对任意的实数，函数在上是增函数，则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
【例4】已知为曲线上一点，为曲线上一点，求的最小值_______．
【例5】设是曲线上的动点，是曲线上的动点，则的最小值为_______．
综合应用
【例6】设．当变化时，的最小值为_______．
【例7】已知为曲线上一点，为直线上一点，为的中点，则点到圆上一点的最短距离为__________．
【例8】已知点，点在曲线上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为（）
A、 B、 C、 D、
强化训练
1.若存在，，使成立，则实数的取值范围是( )
A、 B、 C、 D、
2.设，其中，，若存在正数，使得成立，则实数的值为( )
A、 B、 C、 D、1
3.已知函数，若关于的不等式有解，则实数的值为 .
4.设分别在曲线与上，求的最小值．
5.已知点是直线上的动点，点是拋物线上的动点．设点为线段的中点，为原点，则的最小值为 .
6.已知函数，若存在，使得，则实数的值为 .
7.(多选)已知，，记，则( )
A、的最小值为 B、当最小时，
C、的最小值为 D、当最小时
8.已知实数满足，其中是自然对数的底数，那么的最小值为_______．
9.已知函数在上单调递增，则的取值围是________．
10.已知，函数(e是自然对数的底数)，当取得最小值时，则实数的值为( )
A、4 B、 C、 D、
11.若，则的最小值为______，此时______．
12.已知对任意，，都有成立，求正整数的最大值．

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