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第27讲 切点弦结论
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：
(1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y＝f(x)，利用导数法求出函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程，特别是焦点在y轴上的抛物线常用此法求切线．
(2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x(或y)的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程．
圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题．
一、圆相关的切线结论
结论一：点在圆上，过点作圆的切线方程为．
结论二：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论三：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
证明：由上述结论二可得过的圆的切点弦的直线方程为．又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
二、一般圆相关的结论
结论四：点在圆上，过点作圆的切线方程为．
结论五：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论六：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．
三、椭圆相关结论
结论七：点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．
结论八：点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论九：点在椭圆内，过点作椭圆的弦(不过椭圆中心)，分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
证明：由上述结论八可得过的椭圆的切点弦的直线方程为，又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
四、双曲线相关结论
结论十：点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
结论十一：点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论十二：点在双曲线内，过点作双曲线的弦(不过双曲线中心)，分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
五、抛物线相关结论
结论十三：点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．
结论十四：点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论十五：点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
切线方程问题
【例1】若点为曲线1上任意一点．证明：直线与曲线恒有且只有一个公共点．
【解析】证明：(1)当时，由可得．
①当时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．
②当时，直线的方程为，直线与曲线有且只有一个交点．
(2)当时得，代入，消去整理得
． ①
由点为曲线上一点，故，即，
于是方程①可以化简为，解得．
将代入得．说明直线与曲线有且只有一个交点．
综上，不论点在何位置，直线与曲线恒有且只有一个交点，交点即．
【例2】已知抛物线y2＝x的焦点为F，为抛物线上一点．
证明：过点的切线万程为：．
【解析】证明：由已知，切线的斜率存在且不等于0．
设过点的切线方程为，
则联立方程，消去化简可得．
∵直线与抛物线相切，则，得，
而点为抛物线上点，则，代入可得，∴．
，即．
用切点弦结论解决定点、定值问题
【例1】已知椭圆，点为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．
【解析】证明：设切点为，点．
由切线方程结论得直线方程为，直线方程为．
通过点，∴满足方程：．∴直线恒过点．
【例2】过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为，求证：为定值．
【解析】设点，点，点，由是切点可得．
∵两点唯一确定一条直线，∴直线，即．
由截距式可知，．
∵在椭圆上，∴．，即为定值．
用切点弦结论解决最值问题
【例1】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点为，求与(O为抛物线的顶点)面积之和的最小值．
【解析】设点，点．由切点弦结论可知切线的方程为的方程为．
设均过，∴．
故的方程为，由此可得恒过定点．
联立得，．
设，则，∴，当且仅当，即时，等号成立．
∴的最小值为3．
【例2】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．
【解析】设点，点，点．切线的方程为，切线的方程为．点在两切线上，从而满足，
因此切点弦的方程为．直线与抛物线进行方程联立并化简得，从而，
且．
点到直线的距离为，．
，
当时，，，
当且仅当时，两个等号同时成立，∴四边形的最大值为．
用切点弦结论解决范围问题
【例1】经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围．
【解析】设点，点，则直线的方程为，直线的方程为．
∵在直线上，∴．∴直线的方程为．
由，结合，利用，同时消得，
∴，
∴．
又∵点到直线的距离．
，
又，∴记，∴．
【例2】以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，到直线与椭圆文于不同的两点，求的取值范围．
【解析】由题意可得圆．
设点，点，点，由圆的性质可得直线，直线，
代入可得，∴点满足方程．
则到的距离，∴．
下面计算：联立方程．
设点，点，．
∴，
∴．
不妨设．．
设，．
设，，∴在单调递增，
，即第27讲 切点弦结论
平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫作曲线的切点弦方程，切点弦方程是解析几何中的热点问题，而切线往往和导函数相关，近几年高考数学的趋势也是把解析几何和导函数相结合作为压轴题，这类题目综合性强，难度一般较大，圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：
(1)导数法：将圆锥曲线方程化为函数y＝f(x)，利用导数法求出函数y＝f(x)在点(x0，y0)处的切线方程，特别是焦点在y轴上的抛物线常用此法求切线．
(2)判别式法：根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥曲线方程，化为关于x(或y)的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件：判别式△＝0，可解出切线方程．
圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法．下面介绍一些切线和切点弦相关的结论，来帮助快速解题．
一、圆相关的切线结论
结论一：点在圆上，过点作圆的切线方程为．
结论二：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论三：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
证明：由上述结论二可得过的圆的切点弦的直线方程为．又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
二、一般圆相关的结论
结论四：点在圆上，过点作圆的切线方程为．
结论五：点在圆外，过点作圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论六：点在圆内，过点作圆的弦(不过圆心)，分别过作圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为．
三、椭圆相关结论
结论七：点在椭圆上，过点作椭圆的切线方程为．
结论八：点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论九：点在椭圆内，过点作椭圆的弦(不过椭圆中心)，分别过作椭圆的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
证明：由上述结论八可得过的椭圆的切点弦的直线方程为，又弦过点，即，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
四、双曲线相关结论
结论十：点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．
结论十一：点在双曲线外，过点作双曲线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论十二：点在双曲线内，过点作双曲线的弦(不过双曲线中心)，分别过作双曲线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
五、抛物线相关结论
结论十三：点在抛物线上，过点作抛物线的切线方程为．
结论十四：点在抛物线外，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则切点弦的直线方程为．
结论十五：点在抛物线内，过点作抛物线的弦，分别过作抛物线的切线，则两条切线的交点的轨迹方程为直线．
切线方程问题
【例1】若点为曲线1上任意一点．证明：直线与曲线恒有且只有一个公共点．
【例2】已知抛物线y2＝x的焦点为F，为抛物线上一点．
证明：过点的切线万程为：．
用切点弦结论解决定点、定值问题
【例1】已知椭圆，点为直线上的动点，过作椭圆的两条切线，切点分别为，求证：直线过定点．
【例2】过椭圆上异于其顶点的任一点．作圆的切线，切点分别为不在坐标轴上)，若直线的横纵截距分别为，求证：为定值．
用切点弦结论解决最值问题
【例1】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，过直线上一点作抛物线的两条切线，切点为，求与(O为抛物线的顶点)面积之和的最小值．
【例2】如下图所示，过圆上任意一点，作抛物线的两条切线，与抛物线相切于点，与轴分别交于点，求四边形面积的最大值．
用切点弦结论解决范围问题
【例1】经过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，求面积的取值范围．
【例2】以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点，作圆的两条切线，设切点分别为，到直线与椭圆文于不同的两点，求的取值范围．

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