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第26讲 焦点弦结论
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦．圆锥曲线的焦点弦问题涉及离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识．焦点弦是圆锥曲线中比较综合的考点，下面介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用．
椭圆焦点弦结论
结论：和分别为椭圆的左、右焦点，是过左焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，是过右焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，则焦半径公式：，
，，
焦点弦长公式：，．
焦点分弦公式：，．
时，．
同理可求得焦点在轴上的过焦点弦长为．
结论：椭圆过焦点弦长公式：．
【例1】如下图所示，已知倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，推导下面结论：
(1)若(或，求离心率．
(2)求弦的长．
(3)求面积的取值范围．
【例2】直线经过椭圆右焦点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程．
【例3】设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，求椭圆的离心率．
【例4】点分别为椭圆1的左、右焦点，若过点的直线交椭圆于两点，过点的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值．
抛物线焦点弦结论
与抛物线焦点弦长相关的结论：
设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
(1)．
(2)，．
(3)．
(4)；．
若或，则．
(5)．
(6)．
【例1】已知抛物线y2＝4x，焦点为点F，过点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点的横坐标为3，求弦的长度．
【例2】已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若直线的倾斜角为，求的值．
【例3】已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且面积为，求直线的方程．第26讲 焦点弦结论
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦．圆锥曲线的焦点弦问题涉及离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半径和焦点弦长等有关知识．焦点弦是圆锥曲线中比较综合的考点，下面介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用．
椭圆焦点弦结论
结论：和分别为椭圆的左、右焦点，是过左焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，是过右焦点倾斜角为的弦，点在轴上方，则焦半径公式：，
，，
焦点弦长公式：，．
焦点分弦公式：，．
时，．
同理可求得焦点在轴上的过焦点弦长为．
结论：椭圆过焦点弦长公式：．
【例1】如下图所示，已知倾斜角为的直线过椭圆的左焦点，且与椭圆交于，两点，推导下面结论：
(1)若(或，求离心率．
(2)求弦的长．
(3)求面积的取值范围．
【解析】(1)焦半径公式推导：在中，由余弦定理．
由得．同理，在中，．
焦点分弦公式推导：
若，(或)，则，即．
(2)焦点弦公式推导：．
(3)三角形面积公式推导：．
【例2】直线经过椭圆右焦点，且与椭圆交于两点，若，求直线的方程．
【解析】∵直线经过椭圆的右焦点，且，∴直线的斜率存在，设直线的 率为，且，
则直线的方程为，与椭圆的方程联立并消去得，
设点，点，则，
∴，解得．
∴直线的方程为或．
注意：可用焦点弦长公式验证答案：，可得．
解得．
∴直线的方程为或．
【例3】设椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线的倾斜角为，求椭圆的离心率．
【解析】设点的倾斜角为，，∴．
设，则，．
由得．联立得，
又，∴，∴，．
又，∴，，
即，即，．
注意：可用焦点分弦公式推导来验证答入：可得．
【例4】点分别为椭圆1的左、右焦点，若过点的直线交椭圆于两点，过点的直线交椭圆于，两点，且，求的最小值．
【解析】(1)当斜率为0时，．
(2)当斜率不存在时，也有．
(3)当斜率存在且不为0时，设斜率为，则方程为．
设点，点，联立得．
易知，且．
由弦长公式得．
设点，点．
∵，∴直线的斜率为，∴，
∴
．
∵，当且仅当，即时，取等号，．
显然，∴的最小值为．
注意：可用焦点弦长公式验证答案：
．
抛物线焦点弦结论
与抛物线焦点弦长相关的结论：
设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则
(1)．
(2)，．
(3)．
(4)；．
若或，则．
(5)．
(6)．
【例1】已知抛物线y2＝4x，焦点为点F，过点作直线与抛物线交于两点，已知线段的中点的横坐标为3，求弦的长度．
【解析】∵抛物线为，∴，设两点横坐标分别为，
∵线段的中点的横坐标为3，则，即，
∴．
【例2】已知直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于两点，若直线的倾斜角为，求的值．
【解析】∵直线的倾斜角为，∴其斜率，又由于点，∴直线的方程为．
联立，消去得，
设点，点，则．．
用焦点弦公式验证：．
【例3】已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且面积为，求直线的方程．
【解析】设直线的方程为，则，则，∴，
∴．
联立，整理得，∴，∴，
∴，∴直线的方程为．
用抛物线焦点弦的结论验证答案：．

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