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第25讲 弦中点结论与端点弦结论
弦中点结论
所谓弦中点问题就是直线和椭圆相交的弦的中点问题,我们在解决这一类问题的时候,常用的方法是点差法,这是需要掌握的.但进一步地推导,我们可以得出一个关于弦中点的二级结论,即是的中点),我们在解小题时可以直接用,而在解大题时,则需要先证明了才能用,下面进行一个具体的推导：
推导:以椭圆方程为例,设直线与椭圆交于两点,是的中点,则用平方差公式进行分解,则可得到两个量之间的联系,
.
直线的斜率的中点的坐标为
对于双曲线来说,也是类似的推导方式,可得.
用弦中点结论求离心率
【例1】已知椭圆,点为左焦点,点为下顶点,平行于的直线交椭圆于两点,且的中点为点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】(1)一般方法:
设点,点,又因为的中点为点,则.
∵在椭圆上,∴.两式相减得.
∴.
∴,平方可得,∴,故选A.
(2)弦中点结论法:
∵.带入弦中点结论
【例2】已知椭圆的方程为),斜率为的直线与椭圆相交于,两点,且线段的中点为点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【解析】(1)一般方法设，则
两式作差得,
又,线段的中点为,
即
∴该椭圆的离心率为.故选C.
(2)弦中点结论法∵,
带入弦中点结论
用弦中点结论求方程
【例1】直线与曲线交于两点,且线段的中点为,求直线的方程.
【解析】点差法设点,点.
∵是上的点，联立,作差得,
而线段的中点为,∴.从而直线斜率.
直线的方程为,即.
用弦中点结论法验证答案.
∵,带入弦中点结论.
直线的方程为,即.
【例2】已知椭圆,点是椭圆上的两个点,点是线段的中点,求.
【解析】法一:方程联立法
当直线斜率不存在时,线段的中点在轴上,不符合题意.
故可设直线的方程为,并设.
联立方程,消去得,.
由点是线段的中点知,,∴,解得.
∴.∴.
法二:点差法
当直线斜率不存在时,线段的中点在轴上,不符合题意.
设点,点.
将其代入椭圆方程得，
由点是线段的中点知,,
直线斜率为,
直线方程为.
联立,消去得,
用弦中点结论法验证答案.
∵,带入弦中点结论.
∴直线方程为,和椭圆方程联立即可求出弦长.
端点弦结论
我们把椭圆上的点到端点的弦，称之为端点弦，我们在解题的时候，经常会碰到圆锥曲线上的点到两个端点斜率乘积的问题，这类问题可归结为端点弦问题．如，椭圆上任一点到两顶点(同一轴上的)连线的斜率乘积为定值：．
一、椭圆的端点弦结论
结论一：椭圆长轴左、右两顶点分别为．椭圆上不同于点的任一动点，则．
证明：∵点在椭圆上，
∴，则．∴(定值)．
同理可证椭圆短轴两顶点分别为．椭圆上不同于的一动点．
同理可证椭圆：长轴两顶点为．椭圆上不同于的任一动点，．
同理可证椭圆：短轴两顶点为．椭圆上不同于的任一动点，则为定值．
二、双曲线的端点弦结论
结论二：双曲线两顶点分别为，双曲线上不同于上一动点，则．
证明：∵点在双曲线1上，得，则．
∴(定值)．
同理可证双曲线：上一动，点，两顶点分别为，．．
我们把思路反过来，如果一个动点到两个定点的连线的斜率乘积为定值，那么这个动点的轨迹方程是什么呢 很显然是一个椭圆或者双曲线，这就是圆锥曲线的第三定义，总结起来为：平面直角坐标系内一动点到两个定点的连线的斜率之积为不等于0和的常数的轨迹为椭圆(不含两定点)或者是双曲线(不含两定点)．当斜率乘积为负分数时为椭圆(不含两定点)，当斜率积为正数时为双曲线(不含两定点)．特殊地，当斜率乘积为1时是等轴双曲线．
第三定义求轨迹方程问题
【例1】在平面直角坐标系中，已知点，设直线的斜率分别为，且，记点的轨迹为，求的方程．
【解析】设点，则，．整理得．
∵斜率存在，∴，∴的方程：．
端点弦结论应用
【例1】若分别是椭圆1长轴的左、右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围．
【解析】由题意得点，点，设，则．
∴．
∵在椭圆上，∴，∴，∴．
∵，∴，即．
用端点弦结论验证答案：
由端点弦结论得，∴．∵，∴，即．
【例2】如下图所示，若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足．连接，交椭圆于点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点．若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．
【解析】由 圆方程得，可设．
，∴直线方程为：．
联立．
由韦达定理可知．
代入直线可得，．
．
设，∴．
若以为直径的圆恒过直线与的交点，则，
，∴恒成立，时，存在定点．
用端点弦结论验证答案：
由椭圆方程可知，设，
则．若以为直径的圆恒过直线与的交点，则．可得．
由端点弦结论：，得．第25讲 弦中点结论与端点弦结论
弦中点结论
所谓弦中点问题就是直线和椭圆相交的弦的中点问题,我们在解决这一类问题的时候,常用的方法是点差法,这是需要掌握的.但进一步地推导,我们可以得出一个关于弦中点的二级结论,即是的中点),我们在解小题时可以直接用,而在解大题时,则需要先证明了才能用,下面进行一个具体的推导：
推导:以椭圆方程为例,设直线与椭圆交于两点,是的中点,则用平方差公式进行分解,则可得到两个量之间的联系,
.
直线的斜率的中点的坐标为
对于双曲线来说,也是类似的推导方式,可得.
用弦中点结论求离心率
【例1】已知椭圆,点为左焦点,点为下顶点,平行于的直线交椭圆于两点,且的中点为点,则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
【例2】已知椭圆的方程为),斜率为的直线与椭圆相交于,两点,且线段的中点为点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
用弦中点结论求方程
【例1】直线与曲线交于两点,且线段的中点为,求直线的方程.
【例2】已知椭圆,点是椭圆上的两个点,点是线段的中点,求.
端点弦结论
我们把椭圆上的点到端点的弦，称之为端点弦，我们在解题的时候，经常会碰到圆锥曲线上的点到两个端点斜率乘积的问题，这类问题可归结为端点弦问题．如，椭圆上任一点到两顶点(同一轴上的)连线的斜率乘积为定值：．
一、椭圆的端点弦结论
结论一：椭圆长轴左、右两顶点分别为．椭圆上不同于点的任一动点，则．
证明：∵点在椭圆上，
∴，则．∴(定值)．
同理可证椭圆短轴两顶点分别为．椭圆上不同于的一动点．
同理可证椭圆：长轴两顶点为．椭圆上不同于的任一动点，．
同理可证椭圆：短轴两顶点为．椭圆上不同于的任一动点，则为定值．
二、双曲线的端点弦结论
结论二：双曲线两顶点分别为，双曲线上不同于上一动点，则．
证明：∵点在双曲线1上，得，则．
∴(定值)．
同理可证双曲线：上一动，点，两顶点分别为，．．
我们把思路反过来，如果一个动点到两个定点的连线的斜率乘积为定值，那么这个动点的轨迹方程是什么呢 很显然是一个椭圆或者双曲线，这就是圆锥曲线的第三定义，总结起来为：平面直角坐标系内一动点到两个定点的连线的斜率之积为不等于0和的常数的轨迹为椭圆(不含两定点)或者是双曲线(不含两定点)．当斜率乘积为负分数时为椭圆(不含两定点)，当斜率积为正数时为双曲线(不含两定点)．特殊地，当斜率乘积为1时是等轴双曲线．
第三定义求轨迹方程问题
【例1】在平面直角坐标系中，已知点，设直线的斜率分别为，且，记点的轨迹为，求的方程．
端点弦结论应用
【例1】若分别是椭圆1长轴的左、右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围．
【例2】如下图所示，若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足．连接，交椭圆于点，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点．若存在，求出点的坐标．若不存在，请说明理由．

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