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第23讲 存在性问题探究
所谓存在性问题是指圆锥曲线中存在某个量（点、线或参数等）使得某个几何关系成立，这种问题有两种常考题型：
题型一：存在点或者参数，使得某个量为定值．
解题思路：这类问题的解题思路是运用参数无关性来消参，即存在某点使得某个量和所设的参数无关，从而得到定值．
题型二：存在点在曲线上．
解题思路：设出点，带锥曲线方程，看方程是否有解．
解决存在性问题的一些技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
存在点使向量点积为定值
【例1】过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标．若不存在，请说明理由．
【解析】 （1）当直线不与轴重合时，可设直线的方程为：，，．
联立，整理得，
则，
．
假设存在定点，使得为定值，
当且仅当,即时,.(为定值),这时,
(2)当直线与轴重合时,此时,
满足题意.
∴存在定点,使得对于经过点的任意一条直线均有(恒为定值).
存在点使斜率的和或积为定值
【例1】设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点,试问:在轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值 若存在,请求出点的坐标.若不存在,请说明理由.
【解析】若存在满足条件的点.
(1)当直线的斜率存在时,设.联立,
消得.
设,则
∴要使对任意实数为定值,则只有,此时,.
(2)当直线与轴垂直时,若,也有.
故在轴上存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值0.
【例2】过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使得直线的斜率之积为非零常数 若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由.
【解析】依题意可设直线的方程为.
联立得
∴ ,,
则,.
假设存在定点,使得直线,的斜率之积为非零常数,则
要使为非零常数,当且仅当,解得,
时,.时,.
∴存在两个定点和,使直线的斜率之积为常数.
当定点为时,直线的斜率之积为常数.当定，点为时,直线的斜率乘积是.
存在点使角度相等
【例】1设过椭圆:右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问在轴上是否存在与点不重合的定点,使得恒成立 若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由.
【解析】假设存在与不重合的定点,使得恒成立,
设,且,,则
即整理得.
设直线.联立,消去,整理得.
,
∴.
∵.
∴
∴存在与不重合的定，点,使得恒成立,且，点坐标为
【例2】过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点使得为坐标原点) 若存在,求出点的坐标.若不存在,说明理由.
【解析】(1)当直线非轴时,可设直线的方程为,联立得,
整理得.
由1),
设,定点且,
由韦达定理可得,.
由,可知等价于,的斜率互为相反数.
,即,
整理得.从而可得.,
即,
∴当,即时,
(2)当直线为轴时,也符合题意.
综上,存在轴上的定点,满足.
存在点使等式恒成立
【例1】过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点,为坐标原点,问椭圆上是否存在点,使得 若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由.
【解析】(1)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,联立,
得,或.则点或
故此时椭圆上不存在这样的点.
(2)当直线的斜率时,
此时椭圆上不存在符合题意的点,.
(3)当直线的斜率不为0时,设,点.,
直线的方程为.联立,消去得,
故.
则.
则点.又点在椭圆上,则有,
整理得,解得.
∴椭圆上存在点,使得,
此时直线的方程为.
【例2】已知动直线过椭圆右焦点,且与椭圆分别交于两点.试问轴上是否存在定点,使得.恒成立 若存在求出点的坐标.若不存在,说明理由.
【解析】(1)假设在轴上存在定点,使得.
(1)当直线的斜率不存在时,则,,,
由,解得或.
(2)当直线的 率为0时,则,,
由,解得或.
由(1)(2)可得,即点的坐标为
(2)当时,恒成立.
当直线的斜率不存在或斜率为0时,由(1)知结论成立.
当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为,.
直线与椭圆方程联立得.
直线经过椭圆内一点,一定与椭圆有两个交点,且.
综上所述，在轴上存在点,使得恒成立.
【例3】已知椭圆,过右焦点的直线交椭圆于两点,若直线的斜率存在,在线段上是否存在点,使得,若存在,求出的范围.若不存在,请说明理由.
【解析】当直线的斜率存在时,设,直线的方程为,①
又椭圆的方程为,②
由①②可得,
设的中点为,即.
假设存在点,使得,
即在的中垂线上,则,解得.
当时,为椭圆长轴的两个端点,则,点与原点重合.当时,.
综上所述,存在点且.
【例4】过点作直线与抛物线交于不同的两点,设的中点为,问曲线上是否存在一点,使得恒成立 如果存在,求出点的坐标.如果不存在,说明理由.
【解析】由题意两点在抛物线上,设点,点.
设直线的方程为.联立得
设满足条件的点存在,设.
若抛物线上的点满足,则点在以为直径的圆上.即.
∴
由题意即是恒成立,可得.∴,
∴抛物线上存在点,满足
【例】是否存在斜率为2的直线，使得当直线与椭圆有两个不同交点时,能在直线上找到一点,在椭圆上找到一点,满足 若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由.
【解析】设直线的方程为,设,的中点为,联立,消去得,
且故且.
由,知四边形为平行四边形.而点,为线段的中点,因此点,为线段的中点,可得,
又,可得,因此点,不在椭圆上,故不存在满足题意的直线.
存在性使线段关系式为定值
【例1】椭圆的一个焦点到直线的距离为,离心率为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,斜率为的直线过的焦点与交于,与交于.
(1)求椭圆及抛物线的方程.
(2)是否存在常数,使得为常数 若存在,求出的值.若不存在,请说明理由.
【解析】(1)设椭圆,抛物线的公共焦点为.
∴椭圆.
(2)设直线,.
联立
联立
∵是焦点弦,
若为常数,则,
【例2】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于两点,当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在点,使得为定值 若存在,请求出点的坐标,并求出该定值.若不存在,请说明理由.
【解析】(1)依题意可得,
当与轴垂直且为椭圆右焦点时,为通径.
∴椭圆的方程为.
(2)假设存在点,设点.
①若直线与轴重合,则
②若直线与轴垂直,则关于轴对称.
∴设,其中,代入椭圆方程可得
可解得
∴若存在,点,则.
i.若,设,.设直线,与椭圆方程
联立,消去可得
同理，
①
将代入①式可得
∴为定值,定值为2.
ii.若,同理可得为定值2.
综上所述,存在,点,使得为定值2.第23讲 存在性问题探究
所谓存在性问题是指圆锥曲线中存在某个量（点、线或参数等）使得某个几何关系成立，这种问题有两种常考题型：
题型一：存在点或者参数，使得某个量为定值．
解题思路：这类问题的解题思路是运用参数无关性来消参，即存在某点使得某个量和所设的参数无关，从而得到定值．
题型二：存在点在曲线上．
解题思路：设出点，带锥曲线方程，看方程是否有解．
解决存在性问题的一些技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立．
（2）假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
存在点使向量点积为定值
【例1】过点作直线交于两点，试问：在轴上是否存在一个定点，使为定值？若存在，求出这个定点的坐标．若不存在，请说明理由．
存在点使斜率的和或积为定值
【例1】设直线经过椭圆的右焦点且与交于不同的两点,试问:在轴上是否存在点,使得直线与直线的斜率的和为定值 若存在,请求出点的坐标.若不存在,请说明理由.
【例2】过点且斜率不为零的直线交椭圆于两点,在轴上是否存在定点,使得直线的斜率之积为非零常数 若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由.
存在点使角度相等
【例】1设过椭圆:右焦点的动直线与椭圆交于两点,试问在轴上是否存在与点不重合的定点,使得恒成立 若存在,求出定点的坐标.若不存在,请说明理由.
【例2】过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点使得为坐标原点) 若存在,求出点的坐标.若不存在,说明理由.
存在点使等式恒成立
【例1】过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点,为坐标原点,问椭圆上是否存在点,使得 若存在,求出直线的方程.若不存在,请说明理由.
【例2】已知动直线过椭圆右焦点,且与椭圆分别交于两点.试问轴上是否存在定点,使得.恒成立 若存在求出点的坐标.若不存在,说明理由.
【例3】已知椭圆,过右焦点的直线交椭圆于两点,若直线的斜率存在,在线段上是否存在点,使得,若存在,求出的范围.若不存在,请说明理由.
【例4】过点作直线与抛物线交于不同的两点,设的中点为,问曲线上是否存在一点,使得恒成立 如果存在,求出点的坐标.如果不存在,说明理由.
存在性使线段关系式为定值
【例1】椭圆的一个焦点到直线的距离为,离心率为,抛物线的焦点与椭圆的焦点重合,斜率为的直线过的焦点与交于,与交于.
(1)求椭圆及抛物线的方程.
(2)是否存在常数,使得为常数 若存在,求出的值.若不存在,请说明理由.
【例2】在平面直角坐标系中,椭圆的离心率为,直线与轴交于点,与椭圆交于两点,当直线垂直于轴且点为椭圆的右焦点时,弦的长为.
(1)求椭圆的方程.
(2)是否存在点,使得为定值 若存在,请求出点的坐标,并求出该定值.若不存在,请说明理由.

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