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第24讲 证明问题的核心思路
证明问题是比较综合的一类,综合了前面所学的基本考题类型,综合性较强,解决这一类问题的核心在于是否能够准确地把需要证明的问题转化为等式关系,进而来证明等式关系即可.这些关系的转化相信读者在前面的学习中已经掌握得很熟练了,这里需要进一步加强,下面总结一些常考证明问题的一般解题思路.
(1)定值问题证明的解题策略:证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标,通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题去解决.
(2)恒等式证明问题的解题策略:将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题,进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明,
(3)几何图形性质证明的解题策略:利用几何图形性质与向量运算的关系,转化为向量的运算或直线的斜率关系,再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明.
证明三点共线
三点共线问题的证明策略一般有以下几种:
①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线.
②向量法:利用向量共线定理证明三点共线.
反之,若给出以下情形之一:
①.
②存在实数,使.(3)若存在实数,,且,使,等于已知三点共线.
【例1】已知圆的方程为,圆与轴的交点为(点在点的上方),直线与圆相交于两点,若直线与直线交于点,求证:点三点共线.
【例2】点是椭圆的左、右顶点,过点的直线与椭圆交于两点(不与重合),若直线与直线相交于点.求证:点三点共线.
【例3】已知椭圆经过点分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上一点(不在坐标轴上),直线交轴于点为直线上一点,且.,求证:点三点共线.
证明圆的相关问题
1.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种
(1)利用设而不求思想求出圆心坐标,然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解.
(2)向量法:通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系:如已知是圆的直径,是平面内一点,则点在圆内.点在圆外.点在圆上.
(3)方程法:已知圆的方程,点,则
点在圆内.
点在圆上.
点在圆外.
2.四点共圆问题的解题策略
(1)利用四点构成的四边形的对角互补.
(2)利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程,然后证明第四点坐标满足圆的方程.
3.直线和圆问题的解题策略
(1)判定圆心到直线的距离和半径作比较.
(2)圆和直线方程联立,利用判断.
【例1】设椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与交于两点,椭圆的上顶点为.证明:当的斜率为时,点在以为直径的圆上.
【例2】设点分别为椭圆的左、右顶点,设为直线上不同于点的任意一点,若直线分别与椭圆相交于异于的点.证明:点在以为直径的圆内.
【例3】如下图所示,已知椭圆的两焦点分别为,椭圆上的动点满足,点分别为椭圆的左、右顶点,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程及离心率.
(2)若直线与交于点与轴交于点与的交点为,求证：四点共圆.
证明角度问题
证明角度问题的一般解题策略:
(1)向量法:利用向量点积判别一个角度为钝角、锐角还是直角.给出,相当于已知,即是直角;给出,相当于已知是钝角;给出,相当于已知是锐角.
(2)斜率法:利用斜率是否相等或者相反来判别两个角度是否相等.
【例1】椭圆的右焦点为点,过定点的直线交椭圆于两点,连接并延长,交于,求证:.
【例2】圆的切线与椭圆:相交于两点.证明:为钝角.
证明线段问题
有些证明线段问题直接求解线段无法证明,通常需要转化为角度问题来证明.
【例1】过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点,的中点为.求证:
【例2】已知椭圆,左、右焦点分别为,若点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若直线与椭圆交于两个不同的点,直线与轴分别交于两点,求证:.第24讲 证明问题的核心思路
证明问题是比较综合的一类,综合了前面所学的基本考题类型,综合性较强,解决这一类问题的核心在于是否能够准确地把需要证明的问题转化为等式关系,进而来证明等式关系即可.这些关系的转化相信读者在前面的学习中已经掌握得很熟练了,这里需要进一步加强,下面总结一些常考证明问题的一般解题思路.
(1)定值问题证明的解题策略:证明一个量或表达式的值与其中的变化因素无关,这些变化的因素可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等,这类问题的一般解法是使用变化的量表示求证目标,通过运算得知求证目标的取值与变化的量无关.当使用直线的斜率和截距表示直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题去解决.
(2)恒等式证明问题的解题策略:将恒等式转化为常见的弦长、距离之比或向量关系等问题,进而转化为直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明,
(3)几何图形性质证明的解题策略:利用几何图形性质与向量运算的关系,转化为向量的运算或直线的斜率关系,再用直线与圆锥曲线的交点坐标问题,利用设而不求思想及韦达定理即可证明.
证明三点共线
三点共线问题的证明策略一般有以下几种:
①斜率法:若过任意两点的直线的斜率都存在,通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线.
②向量法:利用向量共线定理证明三点共线.
反之,若给出以下情形之一:
①.
②存在实数,使.(3)若存在实数,,且,使,等于已知三点共线.
【例1】已知圆的方程为,圆与轴的交点为(点在点的上方),直线与圆相交于两点,若直线与直线交于点,求证:点三点共线.
【解析】由题意可得.
设,联立,
消去化简得,.
,令,得.
,
∵
三点共线
【例2】点是椭圆的左、右顶点,过点的直线与椭圆交于两点(不与重合),若直线与直线相交于点.求证:点三点共线.
【解析】证明：(1)当直线的斜率不存在时,直线的方程为,不妨设.
∴直线的方程为.令得.
∴,∴点三点共线.
(2)当直线的斜率存在时,设直线方程为.设,
联立消去得,
由题意知恒成立,故.
∴直线的方程为.令,得.
∴.
上式中的分子
,
∴点三点共线.
【例3】已知椭圆经过点分别为椭圆的左、右顶点,为椭圆上一点(不在坐标轴上),直线交轴于点为直线上一点,且.,求证:点三点共线.
【解析】证明：由题意得点.设点,则.
∴直线的方程为,令,得点的坐标为.
设点,由,得(显然.
直线的方程:,①将代入①式得
即点.
故直线的 率存在,且
又∵直线的斜率,
∴,即点三点共线.
证明圆的相关问题
1.点与圆的位置关系的解题策略一般有以下几种
(1)利用设而不求思想求出圆心坐标,然后计算圆心到点的距离并和半径比较得解.
(2)向量法:通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系:如已知是圆的直径,是平面内一点,则点在圆内.点在圆外.点在圆上.
(3)方程法:已知圆的方程,点,则
点在圆内.
点在圆上.
点在圆外.
2.四点共圆问题的解题策略
(1)利用四点构成的四边形的对角互补.
(2)利用待定系数法求出过其中三点的圆的方程,然后证明第四点坐标满足圆的方程.
3.直线和圆问题的解题策略
(1)判定圆心到直线的距离和半径作比较.
(2)圆和直线方程联立,利用判断.
【例1】设椭圆的左、右焦点分别为,过的直线与交于两点,椭圆的上顶点为.证明:当的斜率为时,点在以为直径的圆上.
【解析】证明:由题意得点,点.设点.
直线的方程为:,将直线的方程代入椭线的方程并整理得
.
综上,点在以为直径的圆上.
【例2】设点分别为椭圆的左、右顶点,设为直线上不同于点的任意一点,若直线分别与椭圆相交于异于的点.证明:点在以为直径的圆内.
【解析】证明:由题意得,点,点,设直线的斜率为,点,
则.联立消去可得
即.
设点点在直线上,∴,即.
.∴为锐角.∴为钝角.
∴在以为直径的圆内.
【例3】如下图所示,已知椭圆的两焦点分别为,椭圆上的动点满足,点分别为椭圆的左、右顶点,为坐标原点.
(1)求椭圆的方程及离心率.
(2)若直线与交于点与轴交于点与的交点为,求证：四点共圆.
【解析】(1)由椭圆的定义可得,∴,则.
∴椭圆的方程为,该椭圆的离心率为.
(2)证明：设点,则,则.
设直线的方程为联立得.
即点.而,
∴,则.由已知,
∴四点共圆.
【例4】设动直线与椭圆交于两点,且,求证:动直线与圆相切.
【解析】证明：(1)当动直线的斜率不存在时,设的方程为,
联立得.∵直线与椭圆交于两,点,
∴方程有两个不相等的实数根.且
又∵,∴,即.
∵圆心到直线的距离,∴直线与圆相切.
(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,即,
.
联立得,即.
∵动直线与椭圆交于两点,
∴方程有两个不相等的实数根.
即,
且
∵,
∴
.
化简得.
∵圆心即原点到直线的距离
∴直线与圆相切.
综上所述,动直线与圆相切.
证明角度问题
证明角度问题的一般解题策略:
(1)向量法:利用向量点积判别一个角度为钝角、锐角还是直角.给出,相当于已知,即是直角;给出,相当于已知是钝角;给出,相当于已知是锐角.
(2)斜率法:利用斜率是否相等或者相反来判别两个角度是否相等.
【例1】椭圆的右焦点为点,过定点的直线交椭圆于两点,连接并延长,交于,求证:.
【解析】证明:依题意可知,直线斜率存在,设方程为,
代入整理得.
∵直线与椭圆有两个交点,∴,即.
设点,点,直线,的斜率分别为,
则.
即
【例2】圆的切线与椭圆:相交于两点.证明:为钝角.
【解析】证明：(1)当直线的斜率不存在时,则直线的方程为.
若直线的方程为,联立得,
则点,此时,
当直线的方程为,同理可得出.∴为钝角.
(2)当直线的斜率存在时,设直线的方程为,设点,,
由于直线与圆相切,则,可得.
联立消去得
由韦达定理得
综上所述为钝角.
证明线段问题
有些证明线段问题直接求解线段无法证明,通常需要转化为角度问题来证明.
【例1】过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于两点,的中点为.求证:
【解析】证明:要证,可由直角三角形斜边的中线定理证得,即证.
设点,点,切线的方程为:.
(1)当时,切线的方程代入双曲线中,化简得.
∴.
又
∴
(2)当时,易知上述结论也成立,∴.
综上,,∴.
【例2】已知椭圆,左、右焦点分别为,若点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程.
(2)若直线与椭圆交于两个不同的点,直线与轴分别交于两点,求证:.
【解析】(1)∵..在椭圆上,∴,由解得.
∴椭圆的标准方程为.
(2)证明:由得.
∵直线与椭圆有两个交点,并注意到直线不过点.
解得或.
设点,点,则,
显然直线与的斜率存在,设直线与的斜率分别为,
由（1）题可知,
则

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