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第33讲 函数的切线问题
求切线方程
题型:求曲线在以为切点处的切线方程:.
解题核心:曲线在切点处的函数值等于切线的函数值,曲线在切点处的导数值等于切线斜率,可得方程组,进而得到切线方程,其中为切点,一般有以下两种命题形式:
(1)切点已知:直接求导得到切线的斜率,代人点斜式方程化简即可.
(2)切点末知:需设切点,求出在切点处的导数,然后写出点斜式方程,将所过的点代人直线方程,求解,然后重新代人化简可求出直线方程.
【例1】已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求曲线过点的切线方程.
【例2】已知曲线
(1)求曲线在处的切线方程.
(2)求曲线过点的切线方程.
已知切线方程求参数
先由方程组求出切线方程,其中为切点,再与题目中所给切线方程对照,求出参数.
【例1】已知函数,若曲线在点处的切线方程为,求的值.
【例2】设函数1),若函数的图像与直线相切,求的值.
第34讲 函数的单调性
单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具,通过求解一阶导函数并判定其正负号,进而得到原函数单调性.利用导函数研究函数单调性是导函数这一块知识贯穿始终的东西,如果单独拿出来考查可以分为两类题型:第一类是求导来讨论函数的单调性.第二类是给出函数单调性,然后来求出参数的取值范围,这一类通常把的单调性问题转化为导函数的不等式问题,按照不等式问题的解法来求解即可.
下面是导函数和原函数单调性之间的联系,希望读者认真掌握:
(1)函数在可导,那么在上单调递增.
(2)函数在可导,则在上单调递减.进一步可说,函数在内可导,且在任意子区间内都不恒等于0.
则当时,函数在上单调递增.
函数在上单调递减.
求无参函数的单调区间(因式分解法)
函数没有参数的话是相对较简单的,只需要求导,并判定出导函数的正负号即可判定出原函数的单调性,其中对导函数因式分解后就能判定出每个因式的正负号,进而判定总的导函数的正负号,所以,我们求导后一定要想办法因式分解,下面给出利用导数求函数单调区间的一般步骤:
(1)确定函数的定义域.
(2)求出的导函数,并因式分解.
(3)令,求出的解集,即可分割出的单调增(或减)区间.
(4)列出表格或者进行描述.
【例1】已知,求函数的单调区间.
【例2】已知函数,求的单调增区间.
求无参函数的单调区间(连续求导法)
如果一阶导函数无法因式分解,也无法求出的解,则要考虑多次求导,但一定记住,不论求导多少次,怎么求导,最终一定回归判定一阶导函数的正负号,进而得到原函数的单调性.
【例1】列已知函数1)(其中为自然对数的底数),求的单调区间。
【例2】设,判断函数的单调性.
讨论含参函数的单调性(一次函数型)
当函数含有参数时,函数的图像是不确定的,我们讨论的核心在于讨论不同参数取值范围时函数的单调性是什么,更进一步说,我们讨论的是不同参数下,导函数的正负号如何,在讨论的时候一定要注意定义域问题.以下例题是导函数为一次函数结构的类型,要注意总结方法.
【例1】已知函数,讨论函数的单调区间.
【例2】已知函数,讨论的单调性.
【例3】已知函数,讨论函数在内的单调性.
讨论含参函数的单调性(二次函数型)
如果决定一阶导函数正负号的是一个含参数的二次函数,则我们讨论的逻辑层次是:
(1)讨论二次函数开口.
(2)讨论二次函数的判别式.
(3)讨论两个根大小和是否在定义域范围.具体步骤如下:
讨论在上的正负号.
(1),则,按一次函数讨论.
(2),开口向上,讨论.
①在上,在时单调递增.
②会有两个根:,进一步比较两个根的大小和讨论两个根是否在定义域内(结合开口方向,对称轴和纵截距综合考虑).
(3),开口向下,讨论.
①在上
在时单调递减.
②会有两个根:,进一步比较两个根的大小,讨论两个根是否在定义域内.
注意:如果可以通过因式分解求出两个根,则只需根据开口,比较两个根的大小,讨论两个根是否在定义域内.
【例1】已知函数,求函数的单调区间.
【例2】已知函数,讨论函数的单调性.
【例3】已知函数,,讨论的单调性.
【例4】已知函数,讨论的单调性.
由单调性确定参数的取值范围
已知单调性反解参数取值范围其实就是转化为导函数不等式成立时求解参数取值的问题.如果对不等式不是很熟悉,可以先看后面的章节,再回来看这一部分,我们的解题思路是把原函数单调性问题转化为一阶导函数不等式问题,当函数在内可导,且在任意子区间内都不恒等于0时,转换方式如下:
(1)函数在区间上单调递增在区间上恒成立.
(2)函数在区间上单调递减白在区间上恒成立.
(3)函数在区间上不单调在区间上存在异号零点.
(4)函数在区间上存在单调递增区间,使得成立.
(5)函数在区间上存在单调递减区间,使得成立.
【例1】已知函数,若为上的增函数,求的取值范围.
【例2】已知函数,若函数在定义域上单调递减,求实数的取值范围.第33讲 函数的切线问题
求切线方程
题型:求曲线在以为切点处的切线方程:.
解题核心:曲线在切点处的函数值等于切线的函数值,曲线在切点处的导数值等于切线斜率,可得方程组,进而得到切线方程,其中为切点,一般有以下两种命题形式:
(1)切点已知:直接求导得到切线的斜率,代人点斜式方程化简即可.
(2)切点末知:需设切点,求出在切点处的导数,然后写出点斜式方程,将所过的点代人直线方程,求解,然后重新代人化简可求出直线方程.
【例1】已知曲线.
(1)求曲线在点处的切线方程.
(2)求曲线过点的切线方程.
【解析】(1),则切线的斜率为,
曲线在点处的切线方程为,即.
(2)设过点的切线与曲线相切于点,
曲线在点处切线斜率为,
故切线方程为.又切线过点,
.解得或.故切点为和.
过点的切线方程为或.
过点的切线方程为和.
【例2】已知曲线
(1)求曲线在处的切线方程.
(2)求曲线过点的切线方程.
【解析】(1),
曲线在处的斜率.
时,,
曲线在处的切线方程为,
即.
(2)设过点的切线与该曲线相切于点,
则切线的酙率为,
.整理得.
.
【解析】得或.
所求的切线为和
已知切线方程求参数
先由方程组求出切线方程,其中为切点,再与题目中所给切线方程对照,求出参数.
【例1】已知函数,若曲线在点处的切线方程为,求的值.
【解析】,
【解析】得.
【例2】设函数1),若函数的图像与直线相切,求的值.
【解析】,设 点为,
则切线为,
即.
又切线为,
消得.
设,
易知为减函数,且,
.
第34讲 函数的单调性
单调性是函数的一个重要性质,对函数作图起到决定性的作用,而导数是分析函数单调区间的一个便利工具,通过求解一阶导函数并判定其正负号,进而得到原函数单调性.利用导函数研究函数单调性是导函数这一块知识贯穿始终的东西,如果单独拿出来考查可以分为两类题型:第一类是求导来讨论函数的单调性.第二类是给出函数单调性,然后来求出参数的取值范围,这一类通常把的单调性问题转化为导函数的不等式问题,按照不等式问题的解法来求解即可.
下面是导函数和原函数单调性之间的联系,希望读者认真掌握:
(1)函数在可导,那么在上单调递增.
(2)函数在可导,则在上单调递减.进一步可说,函数在内可导,且在任意子区间内都不恒等于0.
则当时,函数在上单调递增.
函数在上单调递减.
求无参函数的单调区间(因式分解法)
函数没有参数的话是相对较简单的,只需要求导,并判定出导函数的正负号即可判定出原函数的单调性,其中对导函数因式分解后就能判定出每个因式的正负号,进而判定总的导函数的正负号,所以,我们求导后一定要想办法因式分解,下面给出利用导数求函数单调区间的一般步骤:
(1)确定函数的定义域.
(2)求出的导函数,并因式分解.
(3)令,求出的解集,即可分割出的单调增(或减)区间.
(4)列出表格或者进行描述.
【例1】已知,求函数的单调区间.
【解析】的定义域为,
令得或
当变化时，，变化如下表所示：
0 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极大值 单调递增
的单调递增区间为和,单调递减区间为.
【例2】已知函数,求的单调增区间.
【解析】的定义域为,
由得,或.故所求的单调递增区间为,
求无参函数的单调区间(连续求导法)
如果一阶导函数无法因式分解,也无法求出的解,则要考虑多次求导,但一定记住,不论求导多少次,怎么求导,最终一定回归判定一阶导函数的正负号,进而得到原函数的单调性.
【例1】列已知函数1)(其中为自然对数的底数),求的单调区间。
【解析】,令,
令,解得.
令,解得,
在上单调递减,在上单调递增.
的单调递增区间为,无单调递减区间.
【例2】设,判断函数的单调性.
【解析】,
.
设,
.
在上为减函数.
.
.
函数在上为减函数.
讨论含参函数的单调性(一次函数型)
当函数含有参数时,函数的图像是不确定的,我们讨论的核心在于讨论不同参数取值范围时函数的单调性是什么,更进一步说,我们讨论的是不同参数下,导函数的正负号如何,在讨论的时候一定要注意定义域问题.以下例题是导函数为一次函数结构的类型,要注意总结方法.
【例1】已知函数,讨论函数的单调区间.
【解析】,,
当时,在上单调递减.
当时,.当时,单调递减.当时,单调递增.
综上所述,当时,单调递减区间为,无单调递增区间.
当时,单调增区间为,单调减区间为.
【例2】已知函数,讨论的单调性.
【解析】,
当时,,
在上单调递减.
当时,令得.令得.
的单调递减区间为,
单调递增区间为.当时,令得.令得.
的单调递减区间为,单调递增区间为.
【例3】已知函数,讨论函数在内的单调性.
【解析】由题意得,.
.
当时,,此时在内单调递增.
当时,由得,此时单调递增.
由得,此时单调递减.
综上,当时,在内单调递增.
当时,在内单调递减,在内单调递增.
讨论含参函数的单调性(二次函数型)
如果决定一阶导函数正负号的是一个含参数的二次函数,则我们讨论的逻辑层次是:
(1)讨论二次函数开口.
(2)讨论二次函数的判别式.
(3)讨论两个根大小和是否在定义域范围.具体步骤如下:
讨论在上的正负号.
(1),则,按一次函数讨论.
(2),开口向上,讨论.
①在上,在时单调递增.
②会有两个根:,进一步比较两个根的大小和讨论两个根是否在定义域内(结合开口方向,对称轴和纵截距综合考虑).
(3),开口向下,讨论.
①在上
在时单调递减.
②会有两个根:,进一步比较两个根的大小,讨论两个根是否在定义域内.
注意:如果可以通过因式分解求出两个根,则只需根据开口,比较两个根的大小,讨论两个根是否在定义域内.
【例1】已知函数,求函数的单调区间.
分析:（1）首先确定函数定义域和导函数.当时,,得到函数单调递增.当时,分两种情况讨论,根据导函数的符号得到原函数的单调区间.
【解析】(1)由题意得定义域为令,则.
(1)若,则,则,
此时函数在上单调递增.
(2)若或有两个零点,则,其中.
①若,则,此时,
故此时函数在上单调递增.
②若,则,此时当和时,.当时,.
此时函数在和上单调递增,在上单调递减.
综上所述,当时,函数的单调递增区间为.
当时,的单调递增区间为.
当时,单调递增区间为.单调递减区间为.
【例2】已知函数,讨论函数的单调性.
【解析】定义域为,
当时,在上,
此时在定义域上单调苐增.
当时,令有,令有,
此时在上单调递减,在上单调递增.
【例3】已知函数,,讨论的单调性.
【解析】
.
当时,,此时在上单调递减.
当时,由解得或,
是增函数,
此时在和单调递减,单调递增.
【例4】已知函数,讨论的单调性.
【解析】
(1)若恒成立,此时在上单调递增.
（2）若,当时,在上单调递增.当时,此时在上单调递增.当时,此时在上单调递减.
(3)若恒成立,此时在上单调递增.
(4)若,
当时,此时在上单调递增.当时,此时在上单调递减.当时,在上单调递增.
综上,当或时,在上单调递增.当时,在和上单调递增,在上单调递减.当时,在和上单调递增,在上单调递减.
由单调性确定参数的取值范围
已知单调性反解参数取值范围其实就是转化为导函数不等式成立时求解参数取值的问题.如果对不等式不是很熟悉,可以先看后面的章节,再回来看这一部分,我们的解题思路是把原函数单调性问题转化为一阶导函数不等式问题,当函数在内可导,且在任意子区间内都不恒等于0时,转换方式如下:
(1)函数在区间上单调递增在区间上恒成立.
(2)函数在区间上单调递减白在区间上恒成立.
(3)函数在区间上不单调在区间上存在异号零点.
(4)函数在区间上存在单调递增区间,使得成立.
(5)函数在区间上存在单调递减区间,使得成立.
【例1】已知函数,若为上的增函数,求的取值范围.
【解析】.
若在上为增函数,则0恒成立,即恒成立,
设,则,
当时,,
当时,.
在上单调递减,在上单调递增.,故.
实数的取值范围为.
【例2】已知函数,若函数在定义域上单调递减,求实数的取值范围.
【解析】函数的定义域为.
函数在定义域上单调递减,在上恒成立.
在上恒成立,
即在上恒成立.令,则,当时,,此时函数单调递增.
当时,,此时函数单调递减.
当时,函数有极大值,也是最大值.
实数的取值范围为.

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