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第37讲 不等式的证明
不等式问题是导函数考试的重点,也是难点.一方面是导函数的进一步应用,利用导函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性,所以不等式在基础阶段起重要的衔接作用.
在后面的高级课程里面,不等式也是起着关键作用,特别是和放缩法结合来证明不等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展开,要好好体会关于不等式的证明,深刻理解不等式在导函数中的作用.
不等式问题的核心就是合理地构造函数,函数的构造将在后面章节讲解,这里要重点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系,不等式的解是在图像上方时的取值范围.
证明无参不等式
不等式恒(能)成立问题的转换方法:若在区间上有最值,则
(1)恒成立:.
(2)能成立:.
【例1】已知函数.证明:当时,.
【解析】证明：函数,则
令,则,
令得.
当时,,
当时,,
在处取得最小值.
.
.
在单调递增.
.
时,.
【例2】已知函数,求证:.
【解析】证明：由得.整理得,
化简得.
令,
则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
,即恒成立.
恒成立.
【例3】 函数.证明:对任意正实数恒成立.
【解析】证明：由得
对任意正实数恒成立.
设,
则.
当时,;当时,.
在上单调递增,在上单调递减.
时,在处有最大值.
对任意正实数恒成立,即对任意正实数恒成立,
即,原命题得证.
不等式恒成立求参数取值范围——参变分离
参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：
第一步:参变分离.若能参变分离,则将问题转化为:[或恒成立.
第二步:转换为最值..
第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.
【例1】 已知函数若恒成立,求的取值范围.
【解析】恒成立,即在上恒成立.
（1）当时,恒成立.
（2）当时,.
设.
恒成立.
在上单调递减.
.
.
综上所述,.
【例2】已知函数时,,求的取值范围.
【解析】由已知可得在上恒成立,
令,则
令,
则,
.
.
在上单调递增.
.
【例3】已知函数,若恒成立,求的取值范围.
【解析】由已知得,
则当时,恒成立.
令,
则.
令,
则当时,,
在上为减函数.
又,
在上,.在上,.
在上为增函数.在上为减函数.
,
.
【例4】已知函数(为自然对数的底数),若)时,恒成立,求的取值范围.
【解析】恒成立,即恒成立.
(1)当时,对于任意的恒成立.
(2)当时,恒成立.
令,则
.
整理得,
令,注意到
.
再令
则,
在单调递增,,即.
在单调递增.
又,故知在上,.
在上,.
从而在上单调递减,在上单调递增.
.
.
不等式恒成立求参数取值范围——分类讨论
分类讨论法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：
第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).
第二步:把不等式恒成立转化为最值问题.
第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数最值.
已知函数，已知对任意恒成立,求的值.
【解析】依题意,对任意恒成立，
.
当时,,由于0,则恒成立,
在内单调递减.
,
当时,,不符合题意.
(2)当时,令,得.
①当时,1,那么的变化情况如下表所示:
0
单调递减 极小值 单调递增
结合的单调性知:当时,,不符合题意.
②当时,的变化情况如下表所示:
0
单调递增 极大值 单调递减
i.当时,,
,
结合的单调性知当时,,不符合题意.
.当时,,
结合的单调性知当时,,不符合题意.
iii.当时,.由的单调性可知,符合题意.
综上,.
【例2】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若,求的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为,
①若,则,在单调递增.
②若,则由得.
当时,.当(时,.
在单调递减,在单调递增.
③若,则由得.
当时,.
当时,.
在单调递减,在单调递增.
(2)①若,则,.
②若,则由(1)题得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时,.
③若,则由(1)题得,当时,取得最小值,最小值为.从而当且仅当,即时,.
综上,的取值范围为.
【例3】已知函数,当时,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】即为.
令.
根据题意:当时,恒成立,.
(1)若时,
由恒成立,
在上是增函数,
且,不符题意.
(2)若时,
由恒成立,
在上是增函数,
且,不符题意.
（3）当时,
由时,恒有,
在上是减函数.
,即,
解得,故.
综上,的取值范围是.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)当时,,求的取值范围.
【解析】(1)由题意得.
①若在上单调递增.
②若,令,
i.当时,即时,.
即在上单调递增.
ii.当时,即时,
的两根为,且两根均为正.
时,在上单调递增.
时,在上单调递减.
时，在上单调递增.
综上所述,当时,在上单调递增.当时,的单调增区间为
和
单调减区间为.
(2)由(1)题可知当时,在上单调递增,
符合题意.
当时,,则,
当时,,即在单调递减.
不符合题意.
综上所述,的取值范围是.
不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一参变分离
参变分离法解不等式能成立求参数取值范围的步骤：
第一步:参变分离.存在使得能成立,则参变分离,将问题转化为:或恒成立.
第二步:转换为最值..
第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.
【例1】设函数,若存在,使得不等式成立,求的取值范围.
【解析】在上存在使得不等式成立,只需,
由.
当时,是减函数.当时,是增函数.
是在上的最小值.
而
的取值范围为.
【例2】设函数,若存在正数,使得成立,求实数的取值范围.
【解析】存在正数,使得成立,
即,即存在使得.
令,
则,令,
则在上单调递增,且.
当时,,即.
当时,,即
在上单调递减.在上单调递增,
则,故,即实数的取值范围为.
不等式能成立(存在性)求参数取值范围——分类讨论
分论讨论法求不等式能成立的参数取值范围的步聚:
第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).
第二步:把不等式能否成立转化为最值问题.
,
.
第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数的最值.
【例1】已知函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【解析】,
且,令得.
若在区间上存在一点,使得成立,
其充要条件是在区间上的最小值小于0即可.
①当,即时,对成立,
在区间上单调递减.
故在区间上的最小值为.
由得,即.
②当,即时,
i.若,则对成立.
在区间上单调递减.
在区间上的最小值为.
显然,在区间上的最小值小于0不成立.
ii.若,即时,则有
0
单调递减 极小值 单调递增
在区间上的最小值为.
由,
得,解得,即.
综上,由①②可知符合题意.
【例2】 已知函数(为实常数),若存在,使得成立,求实数的取值范围.
【解析】
(1)当即时,,,此时,在上单调增.
的最小值为.
.
(2)当即时,时,在上单调递减.
时，在上单调递增.
的最小值为
(3)当即时,,,此时,在上单调递减.
的最小值为
综上,.第37讲 不等式的证明
不等式问题是导函数考试的重点,也是难点.一方面是导函数的进一步应用,利用导函数研究出函数的单调性和最值,然后利用单调性来证明和解决不等式问题.反过来,也可以利用不等式来判定导函数的正负号进而来研究函数单调性,所以不等式在基础阶段起重要的衔接作用.
在后面的高级课程里面,不等式也是起着关键作用,特别是和放缩法结合来证明不等式,赋值法来找到零点区间等.在后面的极值点偏移和双变量问题都围绕着不等式展开,要好好体会关于不等式的证明,深刻理解不等式在导函数中的作用.
不等式问题的核心就是合理地构造函数,函数的构造将在后面章节讲解,这里要重点掌握证明不等式的核心思路.其次是理解不等式的含义是图像之间的上下位置关系,不等式的解是在图像上方时的取值范围.
证明无参不等式
不等式恒(能)成立问题的转换方法:若在区间上有最值,则
(1)恒成立:.
(2)能成立:.
【例1】已知函数.证明:当时,.
【例2】已知函数,求证:.
【例3】 函数.证明:对任意正实数恒成立.
不等式恒成立求参数取值范围——参变分离
参变分离法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：
第一步:参变分离.若能参变分离,则将问题转化为:[或恒成立.
第二步:转换为最值..
第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.
【例1】 已知函数若恒成立,求的取值范围.
【例2】已知函数时,,求的取值范围.
【例3】已知函数,若恒成立,求的取值范围.
【例4】已知函数(为自然对数的底数),若)时,恒成立,求的取值范围.
不等式恒成立求参数取值范围——分类讨论
分类讨论法解不等式恒成立求参数取值范围的步骤：
第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).
第二步:把不等式恒成立转化为最值问题.
第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数最值.
【例1】已知函数，已知对任意恒成立,求的值.
【例2】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若,求的取值范围.
【例3】已知函数,当时,恒成立,求实数的取值范围.
【例4】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)当时,,求的取值范围.
不等式能成立(存在性)求参数取值范围一一参变分离
参变分离法解不等式能成立求参数取值范围的步骤：
第一步:参变分离.存在使得能成立,则参变分离,将问题转化为:或恒成立.
第二步:转换为最值..
第三步:通过导函数求解函数最值,进而得到参数取值范围.
【例1】设函数,若存在,使得不等式成立,求的取值范围.
【例2】设函数,若存在正数,使得成立,求实数的取值范围.
不等式能成立(存在性)求参数取值范围——分类讨论
分论讨论法求不等式能成立的参数取值范围的步聚:
第一步:合理构造含参函数(构造函数的方法在后面章节讲).
第二步:把不等式能否成立转化为最值问题.
,
.
第三步:利用导函数讨论最值的方法,来讨论出函数的最值.
【例1】已知函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
【例2】 已知函数(为实常数),若存在,使得成立,求实数的取值范围.

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