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第35讲 函数的极值
极值问题是导函数的一个直接应用,极值点作为单调区间的分界点和函数最值点的候选点,在研究函数单调性和最值时具有重要意义.
极大值与极小值统称为极值,我们先来看相关定义:
(1)极大值:一般地,设函数在点及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有,就说是函数的一个极大值,记作,其中是极大值点.
(2)极小值:一般地,设函数在点及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有,就说是函数的一个极小值,记作,其中是极小值点.
看上面对极值点和极值的一般定义,我们要注意以下几点:一是极值点和极值的定义不要搞混淆;二是极值是一个双边定义:极值点的两边函数都有定义,极值才存在;三是极值具有局部性,极值是函数局部的最值,一个函数区间内可存在多个极值.
在高中阶段,我们可以简单地理【解析】一阶导函数为零的点即为原函数的极值点,一般来说,做大题不会出错,不过保险起见还是需要验证一下极值点两边一阶导数是否变号,即原函数单调性是否改变.
需要注意的是,极值点处导函数可能不存在,比如函数是函数的极小值点,但在极值点处导函数是不存在.这是大学要研究的内容,不需要过分纠结.
极值问题的两种考查方式:一种是直接求极值点(极值),一般步骤是求导,解出导函数的零点,即为函数的极值点(求解后需要验证),如果含参数的话还要分类讨论一下.再求极值.
另外一种就是给出某个点是极值点,来求解参数的取值范围.
求无参函数的极值点和极值
求极值点的步骤:
(1)筛选:令求出的零点(此时求出的点有可能是极值点).
(2)精选:判断原函数在的零点左、右两边,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否则不是极值点.
(3)定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减是极大值点,先减后增是极小值点.
通常,判定一个点是极大值点还是极小值点我们有两种充分判别条件:
第一充分条件:设函数在点的某个邻域内连续且可导(可以不存在).
(1)若在的左邻域内,.在的右邻域内,,则在处取得极大值.
(2)若在的左邻域内,.在的右邻域内,,则在处取得极小值.
(3)若在的左、右邻域内,不变号,则在处没有极值.
注意:第一充分条件利用一阶导数符号来判断函数单调性时,为了快速判别,我们只需要在极值点的左边或者右边取一个特殊值验证一阶导函数的正负号即可(这个方法我们称为特殊值法).
第二充分条件:设在处具有二阶导数,且,则
(1)当时,函数在处取得极大值.
(2)当时,函数在处取得极小值.
注意:利用驻点处二阶导数符号来判断驻点是否为极值点时,二阶导函数的正负号,其实决定了-阶导函数的单调性.解题时,为了快速判别,我们可以直接判定决定一阶导函数正负号部分函数的单调性,一阶导函数为增是极小值点,一阶导函数为减是极大值点.为极大值点(这个方法,我们称之为一阶单调性法).
【例1】求函数的极值.
【解析】法一的定义域为,令,得，当时,有.当时,有,
由极值的第一充分条件知,在处取得极小值为.
法二:的定义域为,令,得.
又由,得,
由极值的第二充分条件知,在处取得极小值为.
【例2】求函数的极值.
【解析】法一:的定义域为.
令,得,.现列表讨论如下:
由上表知,在处取得极大值为,在处取得极小值为.
法二:令得.
由得,,
由极值的第二充分条件知,在处取得极大值为,在处取得极小值为.
已知极值/极值点反求参数
题型:已知含参函数的极值点为,在极值点处的极值为,求参数.
方法:列出方程组,求解参数即可.
【例1】已知函数在处有极值,求实数的值.
由,知.
又在处有极值,则,即
.
【例2】已知函数,若函数在日寸取得极值,求实数的值.
【解析】,
依题意有,即0,解得.
检验:当时,
此时,函数在上单调递减,在上单调递增,满足在时取得极值.
综上可知.
【例3】已知函数,其中,若函数在处取得极大值,求实数的值.
【解析】,
由题意可得,整理得,解得或.
(1)当时,恒成立,
此时,函数在上单调递增,无极值.
(2)当时,.
令得.
令得或.
此时,函数在处取得极大值,合乎题意.
综上所述,.
注意:如是的极大值点,除必须有外,还必须满足在左侧某个区间上,在右侧某个区间,其中,.仅仅有是不够的,这也是易错的地方.
已知极值点反求参数范围(第二判别法)
对于已知极值点来求参数取值范围的题目,我们一般有两种解法:
方法一:分类讨论,求出导函数,确定的根,然后由根分实数为若干个区间,讨论各区间中的正负,得单调区间,若在左侧递减,右侧递增,则是极小值点;若在左侧递增,右侧递减,则是极大值点.
方法二:第二充分判别条件验证,求出二阶导函数,当时,函数在处取得极大值;当时,函数在处取得极小值,来快速求解参数取值范围.
注意:这个是充分条件,一般用来验证答案,不作为解题过程,可作为分析过程。
【例1】已知函数,若在处取得极小值,求的取值范围.
【解析】法一:分类讨论1),
令得或.
(1)若,即,则当时,,当时,.
在处取得极小值.
(2)若,且,则当时,,
,同时.
,从而不是的极小值点.
综上可知,的取值范围是.
法二:第二充分判别法验证..
由极大值点的第二充分判别条件可得,
解得.
【例2】已知,若函数在处取得极大值,求实数的取值范围.
【解析】法一:分类讨论
(1)当时,,令得.
令得.
在处取得极大值.
(2)当时,,由(1)可知在处取得极大值.
(3)当时,,则无极值.
(4)当时,令得或.
令得.
在处取得极大值.
(5)当时,令得或.
令得.
在处取得极小值.
综上,的取值范围为.
法二:第二充分判别法验证,
由极大值点的第二充分判别条件可得.
解得.
【例3】(已知函数,函数在处有极大值,求的取值范围.
【解析】法一:分类讨论
设,则.
(1)当时,在上单调递增,
时,.
时,.
在上递减,在上递增.
是的极小值点,与题意矛盾.
（2）当时,在上是增函数,
且.
(1)当时,.从而在上是增函数,故有.
在上是增函数,与题意矛盾.
(2)当时,若,则,从而在上是减函数,
.
在上是增函数.
若,由常用指数不等式[见“不等式放缩法”(10.2中)],则
,从而在上是减函数,
.
在上是增函数.
若,由常用指数不等式[见“不等式放缩法”(10.2中)],则
又,
存在使得.从而当时,,
在上是减函数,从而.
在上是减函数,故是的极大值点,符合题意.
综上所述,实数的取值范围为.法二:第二充分判别法验证
,
由极大值,点的第二充分判别条件可得,解得.第35讲 函数的极值
极值问题是导函数的一个直接应用,极值点作为单调区间的分界点和函数最值点的候选点,在研究函数单调性和最值时具有重要意义.
极大值与极小值统称为极值,我们先来看相关定义:
(1)极大值:一般地,设函数在点及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有,就说是函数的一个极大值,记作,其中是极大值点.
(2)极小值:一般地,设函数在点及其附近有定义,如果对附近的所有的点都有,就说是函数的一个极小值,记作,其中是极小值点.
看上面对极值点和极值的一般定义,我们要注意以下几点:一是极值点和极值的定义不要搞混淆;二是极值是一个双边定义:极值点的两边函数都有定义,极值才存在;三是极值具有局部性,极值是函数局部的最值,一个函数区间内可存在多个极值.
在高中阶段,我们可以简单地理【解析】一阶导函数为零的点即为原函数的极值点,一般来说,做大题不会出错,不过保险起见还是需要验证一下极值点两边一阶导数是否变号,即原函数单调性是否改变.
需要注意的是,极值点处导函数可能不存在,比如函数是函数的极小值点,但在极值点处导函数是不存在.这是大学要研究的内容,不需要过分纠结.
极值问题的两种考查方式:一种是直接求极值点(极值),一般步骤是求导,解出导函数的零点,即为函数的极值点(求解后需要验证),如果含参数的话还要分类讨论一下.再求极值.
另外一种就是给出某个点是极值点,来求解参数的取值范围.
求无参函数的极值点和极值
求极值点的步骤:
(1)筛选:令求出的零点(此时求出的点有可能是极值点).
(2)精选:判断原函数在的零点左、右两边,其单调性是否发生变化,若发生变化,则该点为极值点,否则不是极值点.
(3)定性：通过函数单调性判断出是极大值点还是极小值点:先增后减是极大值点,先减后增是极小值点.
通常,判定一个点是极大值点还是极小值点我们有两种充分判别条件:
第一充分条件:设函数在点的某个邻域内连续且可导(可以不存在).
(1)若在的左邻域内,.在的右邻域内,,则在处取得极大值.
(2)若在的左邻域内,.在的右邻域内,,则在处取得极小值.
(3)若在的左、右邻域内,不变号,则在处没有极值.
注意:第一充分条件利用一阶导数符号来判断函数单调性时,为了快速判别,我们只需要在极值点的左边或者右边取一个特殊值验证一阶导函数的正负号即可(这个方法我们称为特殊值法).
第二充分条件:设在处具有二阶导数,且,则
(1)当时,函数在处取得极大值.
(2)当时,函数在处取得极小值.
注意:利用驻点处二阶导数符号来判断驻点是否为极值点时,二阶导函数的正负号,其实决定了-阶导函数的单调性.解题时,为了快速判别,我们可以直接判定决定一阶导函数正负号部分函数的单调性,一阶导函数为增是极小值点,一阶导函数为减是极大值点.为极大值点(这个方法,我们称之为一阶单调性法).
【例1】求函数的极值.
【例2】求函数的极值.
已知极值/极值点反求参数
题型:已知含参函数的极值点为,在极值点处的极值为,求参数.
方法:列出方程组,求解参数即可.
【例1】已知函数在处有极值,求实数的值.
【例2】已知函数,若函数在日寸取得极值,求实数的值.
【例3】已知函数,其中,若函数在处取得极大值,求实数的值.
已知极值点反求参数范围(第二判别法)
对于已知极值点来求参数取值范围的题目,我们一般有两种解法:
方法一:分类讨论,求出导函数,确定的根,然后由根分实数为若干个区间,讨论各区间中的正负,得单调区间,若在左侧递减,右侧递增,则是极小值点;若在左侧递增,右侧递减,则是极大值点.
方法二:第二充分判别条件验证,求出二阶导函数,当时,函数在处取得极大值;当时,函数在处取得极小值,来快速求解参数取值范围.
注意:这个是充分条件,一般用来验证答案,不作为解题过程,可作为分析过程。
【例1】已知函数,若在处取得极小值,求的取值范围.
【例2】已知,若函数在处取得极大值,求实数的取值范围.
【例3】已知函数,函数在处有极大值,求的取值范围.

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