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第39讲 构造辅助函数的方法
对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围,讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同,所以为了构造出合理的函数,方便我们解题,我们需要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”.
所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数,求导之后要能够判定出函数的正负号,从而研究原函数单调性,如果无法判定导函数正负号,则说明原函数构造得有问题,需要重新构造.
本节会总结出一些常用的构造函数的方法,如果解题过程中求导很复杂或者进行不下去就需要思考函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有很多种,要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”.
构造法一:移项作差构造函数
移项作差构造是我们最常用的方法,当试题中给出简单的基本初等函数,例如,进而证明在某个取值范围内不等式成立时,可以通过移项作差,构造函数,进而证明即可,在求最值的过程中,可以利用导数作为工具.
注意:下面的例题用到隐零点相关的内容,读者如果有疑惑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看.
【例1】已知函数,其中,求实数的取值范围.
【例2】已知函数(其中为自然对数的底数),求证:.
构造法二：等价变形构造函数
通常我们对不等式移项构造出来的函数无法直接判定导函数的正负号,所以需要利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,先做一个简化,再构造函数,而简化的原则通常是“减少分式,去掉分母”,构造出一些常用的,可判定的函数.
【例1】设函数.证明:当时,.
【例2】已知函数,若对任意的恒成立,求的取值范围.
构造法三:拆分转化构造函数
有些函数经直接移项作差构造出来的新函数,求导后无法直接判断导函数的正负号,变形后也不行,则需要利用不等式性质对所证不等式拆分为的形式,若能证明,即可得.本方法的优点在于对的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强,如果与不满足,则无法通过这种方式证明.
【例1】求证：.
【例2】设函数，其中为正实数.
(1)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
(2)当时.证明:
构造法四：整体代换构造函数
在处理函数时,如果函数有相同的部分,或者可以凑出相同的部分,则可以整体代换达到简化函数的目的,进而提高运算效率.这里我们常用的一个变形结构是,令来实现指对互化的整体代换.
【例1】已知函数,求证:.
【例2】设.证明是增函数，且（e为自然对数的底数）
【例3】已知函数,若有两个零点,求实数的取值范围。
构造法五:同构替换构造函数
在导函数中,有一部分不等式问题的左、右两边是由同种结构的函数构成,我们解决这一类问题就需要找到同构式,构造原函数,利用单调性简化不等式,进而解决问题,这一方法,称之为同构法,如,若能等价变形为,然后利用的单调性,[若递增,再转化为,这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时,称为同构方程),简称同构式.
【例1】求证:当时,1).
【例2】知函数,若,时,恒成立,求实数的取值范围.
【例3】已知函数,当时,求证:当时,恒成立.第39讲 构造辅助函数的方法
对于证明与函数有关的不等式、零点或已知不等式在某个范围内恒成立求参数取值范围,讨论一些方程解的个数等类型问题时,常常需要构造辅助函数,并通过求导研究其单调性或寻求其几何意义来解决.题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,解题的繁简程度也不同,所以为了构造出合理的函数,方便我们解题,我们需要遵循一大构造原则是“导函数可判定原则”.
所谓的“导函数可判定原则”就是所构造的函数,求导之后要能够判定出函数的正负号,从而研究原函数单调性,如果无法判定导函数正负号,则说明原函数构造得有问题,需要重新构造.
本节会总结出一些常用的构造函数的方法,如果解题过程中求导很复杂或者进行不下去就需要思考函数构造得是否合理,而且在解题过程中函数的构造方式有很多种,要选择合理的构造方式,而所要遵循的就是“导函数可判定原则”.
构造法一:移项作差构造函数
移项作差构造是我们最常用的方法,当试题中给出简单的基本初等函数,例如,进而证明在某个取值范围内不等式成立时,可以通过移项作差,构造函数,进而证明即可,在求最值的过程中,可以利用导数作为工具.
注意:下面的例题用到隐零点相关的内容,读者如果有疑惑可以在看完后面隐零点部分的章节后再回来看.
【例1】已知函数,其中,求实数的取值范围.
【解析】时,不等式为,对任意实数都成立.
当时:时,不等式化为,令,
则.
由,令,
即在上单调递增,.
.
若,即,则在上恒成立,在上递增.
,不等式0成立.
若,由上讨论知存在,使得,且当时,,递减.时,递增,.
而,因此时,不成立.
综上.
【例2】已知函数(其中为自然对数的底数),求证:.
【解析】证明：要证,
只需证明:对于恒成立,
令,则.
当时,令,
则在上单调递增,即在上为增函数.
又.
存在使得.
由得
,即,
即.
当时,,单调递减.
当时,单调递增.
.
令,
则
在上单调递增.
.
构造法二：等价变形构造函数
通常我们对不等式移项构造出来的函数无法直接判定导函数的正负号,所以需要利用不等式性质对所证不等式进行等价变形,先做一个简化,再构造函数,而简化的原则通常是“减少分式,去掉分母”,构造出一些常用的,可判定的函数.
【例1】设函数.证明:当时,.
【分析】本题依然考虑构造函数解决不等式,但如果仅仅是移项,则所证不等式为,令,其导函数比较复杂,不容易求出函数最值,所以考虑先对不等式进行等价变形再构造,转变为形式较为简单的不等式,再构造函数进行证明,这个也就是导函数可判定原则.
【解析】证明：
所证不等式等价于
设
∴只需证即可
令，令,
在上单调递减,在上单调递增.
,
故不等式得证.
【例2】已知函数,若对任意的恒成立,求的取值范围.
【解析】恒成立转化为在上恒成立.
设,
.
设,
.
①当时,,
在上单调递增.
,即.
在上单调递增.
从而,即对任意的恒成立.
符合题意.
②当时,由得,
令.
令.
函数在上单调递减,在上单调递增.
.
.
设,
.
在上单调递减.
.
,使得.
当时,,函数在上单调递减.
时,.
时不符合题意.
综上,的取值范围为.
构造法三:拆分转化构造函数
有些函数经直接移项作差构造出来的新函数,求导后无法直接判断导函数的正负号,变形后也不行,则需要利用不等式性质对所证不等式拆分为的形式,若能证明,即可得.本方法的优点在于对的项进行分割变形,可将较复杂的解析式拆成两个简单的解析式.但缺点是局限性较强,如果与不满足,则无法通过这种方式证明.
【例1】求证：.
【分析】所证不等式,若都移到左边构造函数,则函数,很难分析单调性,进而无法求出最值.本题考虑在两边分别求出最值,再比较大小即可.
【解析】
设.
令在单调递减,在单调递增.
.
设.
在单调递增,在单调递减.
.
,
.
,所证不等式成立.
【例2】设函数，其中为正实数.
(1)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
(2)当时.证明:
【解析】(1)由题意得
设,则
①当时,即时,
函数在上单调递增,,满足题意.
②当时,即时,则的图像的对称轴.
,
在上存在唯一实根,设为,则当时,.
当时,.
在上单调递增,在上单调递减.
此时,不合题意.综上可得,实数的取值范围是.
(2)(证明) 等价于.
.
原不等式等价于.
由(1)题知当时,在上恒成立,整理得.
令,则
函数在区间上单调递增.
,即在上恒成立.
当时,恒有
构造法四：整体代换构造函数
在处理函数时,如果函数有相同的部分,或者可以凑出相同的部分,则可以整体代换达到简化函数的目的,进而提高运算效率.这里我们常用的一个变形结构是,令来实现指对互化的整体代换.
【例1】已知函数,求证:.
【解析】证明：令,要证,即证,其中,构造函数,其中
令,其中,则函数在上单调递增.
当时,,即,此时函数单调递减.
当时,,即,此时函数单调递增.
.所证不等式成立.
【例2】设.证明是增函数，且（e为自然对数的底数）
【解析】证明：设,
则
令,则,设.
由对数不等式(见一节)可知(时取等号),
,即,
时,是增函数,而也是增函数,
时,是增函数.
要证明等价于证明1,即证,即证,
设,则,即证.
由对数不等式(见一节)可知,当且仅当时取等号.
,
,即成立.
【例3】已知函数,若有两个零点,求实数的取值范围。
【解析】记,则在上单调递增,且.
.
在上有两个零点等价于在上有两个零点.
(1)在时,在上单增,且,故无零点.
(2)在时,在上单调递增,又,故在上只有一个零点.
(3)在时,由可知,在时有唯一的一个极小值.
若,无零，点;若只有一个零点;若时,.
而,由于在时为减函数,可知:时,.从而在和,上各有一个零点.
综上,时有两个零点,即实数的取值范围是.
构造法五:同构替换构造函数
在导函数中,有一部分不等式问题的左、右两边是由同种结构的函数构成,我们解决这一类问题就需要找到同构式,构造原函数,利用单调性简化不等式,进而解决问题,这一方法,称之为同构法,如,若能等价变形为,然后利用的单调性,[若递增,再转化为,这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时,称为同构方程),简称同构式.
【例1】求证:当时,1).
【解析】证明：要证,只需证,只需证.
设,只需证.
则,
令,则,
在单调递减.故只需证即可.
设,则.
原不等式成立.
【例2】知函数,若,时,恒成立,求实数的取值范围.
【解析】,
.
.
令,则恒成立.
恒成立,在上单调递增.
恒成立.即
即恒成立.
由构造函数可知的最大值为2,
所以,【解析】得,
所以实数的取值范围为.
【例3】已知函数,当时,求证:当时,恒成立.
【解析】证明：要证对0恒成立,
只需证对恒成立,
即证对恒成立.
两边同时加,即证,对恒成立.
即证,对恒成立.
设,则,
是单调递增函数.
只需证,即对恒成立.
设,则.
在单调递减,在单调递增.
.
当时,成立.
当且时,恒成立.

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