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2023高考数学复习专项训练《一元二次不等式》
一 、单选题（本大题共12小题，共60分）
1.（5分）已知集合，，则等于
A. B.
C. D.
2.（5分）关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
3.（5分）已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线交于，两点，若弦的中点到抛物线准线的距离为，则抛物线的方程为
A. B. C. D.
4.（5分）函数 的定义域为
A. B.
C. D.
5.（5分）若不等式的解集为，则实数的取值范围是
A. 或 B. 或
C. D.
6.（5分）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
7.（5分）关于的不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
8.（5分）当时，不等式恒成立，则的取值范围是
A. B. C. D.
9.（5分）不等式的解集是
A. 或 B. 或
C. D.
10.（5分）已知集合，，则

A. B.
C. D.
11.（5分）函数的定义域为
A. B. C. D.
12.（5分）已知P：|2x-3|<1，Q：x(x-3)<0，则P是Q的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
13.（5分）若关于的一元二次不等式的解集为空集，则实数的取值范围是________.
14.（5分）不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ______ .
15.（5分）设函数，若从区间内随机选取一个实数，则所选取的实数满足的概率为 ______ .
16.（5分）若不等式x2-ax-a≤-3的解集为空集，则实数a的取值范围时____________．
17.（5分）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．
三 、解答题（本大题共6小题，共72分）
18.（12分）求下列关于的一元二次不等式的解集：
；
19.（12分）选修：不等式选讲
设函数
求不等式的解集；
若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
20.（12分）已知二次函数．
若，求函数在区间上最大值；
关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
21.（12分）设函数，其中
求曲线在点处的切线方程；
若对恒成立，求实数的取值范围.
22.（12分）求下列不等式的解集
（1）x2-3x-10≥0
（2）-3x2+5x-4＞0．
23.（12分）解不等式x2一6x+9≤0．
四 、多选题（本大题共5小题，共25分）
24.（5分）设，则“”成立的一个充分不必要条件是
A. B. 或 C. D.
25.（5分）已知不等式的解集是，则下列命题中真命题的是
A.
B.
C. 若不等式的解集为 ，则
D. 若不等式的解集为，且，则
26.（5分）已知不等式的解集是，则
A. B. C. D.
27.（5分）已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是
A.
B.
C. 若不等式的解集为，则
D. 若不等式的解集为，且，则
28.（5分）下列不等式中可以作为的一个充分不必要条件的有
A. B.
C. D.
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】

此题主要考查并集运算，属于基础题.
化简集合，，再根据并集定义求解即可.

解：，
，
所以
故选
2.【答案】C;
【解析】解：关于的不等式的解集为或，
二次函数的图象开口向上，即，所以选项错误；
由题意可得，是方程的两个实数根，则，解得，
故不等式等价于，又，所以，
即不等式的解集为，选项错误；
由，，得不等式可化为，即，解得或，
所以不等式的解集为或，选项正确；
由，，得，选项错误．
故选：
根据题意可得二次函数的图象开口向上，即，且，即，从而即可对选项逐项判断．
此题主要考查一元二次不等式的求解，考查学生的归纳推理和运算求解的能力，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】
本题重点考查直线的方程，抛物线的定义、标准方程与性质，直线与圆锥曲线的位置关系等解析几何的基础知识，考查转化与化归的思想，属难题.
解：因为直线的方程为，即，
由消去，得，
设，，则，
又因为弦的中点到抛物线的准线的距离为，所以，
而，所以，
故，解得，所以抛物线的方程为
故选
4.【答案】C;
【解析】
由，即，解得或
所以函数 的定义域为。
答案为。
5.【答案】D;
【解析】解：因为不等式的解集为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围为．
故选：．
根据不等式的解集为，可得，解出的范围即可．
该题考查了根据一元二次不等式的解集求参数的范围，考查了计算能力，属基础题．
6.【答案】D;
【解析】解：函数，定义域为，且是偶函数，
下面判断在时的单调性：
令，则，，故在上单调递增，当时，，
设，显然在上单调递增，当时，，
当时，单调递增，
又是偶函数，故在上单调递减．
对任意的恒成立，
在上恒成立．
即在上恒成立．
令，
当时，或，
显然在上不恒成立，不符合题意；
当时，由二次函数的性质可得，即，不等式无解；
当时，由二次函数的性质可得，解得．
综上，，
故选：．
判断的奇偶性和单调性，根据条件列出不等式，根据二次函数的性质列不等式组求出的范围．
题考查了函数单调性，奇偶性的判断与应用，考查二次函数的性质，函数恒成立问题，属于中档题．
7.【答案】A;
【解析】
分离参数后，构造函数求出值域可得．
该题考查了函数恒成立问题，属中档题．

解：关于的不等式对任意恒成立，令
等价于对任意恒成立，
，
．
故选：．

8.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了函数恒成立问题，对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．属于中档题．
由不等式对任意都成立，对系数分类讨论，当时恒成立，当时，利用二次函数的性质，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围．

解：对任意都成立，
①当时，对任意恒成立，
符合题意；
②当时，则有，
，
，
实数的取值范围为
综合①②可得，实数的取值范围为
故选

9.【答案】C;
【解析】解：，
，
即，
解得，
不等式的解集为．
故选：．
将不等式整理，利用一元二次不等式的解法解不等式即可．
这道题主要考查一元二次不等式的解法，比较基础．
10.【答案】C;
【解析】
此题主要考查集合的交集运算与一元二次不等式的解法，属基础题.

解：集合，，
则
故选
11.【答案】C;
【解析】
此题主要考查函数的定义域和对数函数的性质， 属于基础题.
求出使函数有意义的范围即可.

解：因为，
则，解得，
故定义域为，
故选
12.【答案】A;
【解析】P：解不等式：|2x-3|＜1得：P={x|1＜x＜2}，
Q：解不等式：x(x-3)＜0得：Q={x|0＜x＜3}
∵P Q
P是Q的充分不必要条件
故答案为：A。
13.【答案】;
【解析】
此题主要考查学生对一元二次方程无实根与相应不等式无实数解的关系的理解程度属于基础题.
当时，不等式化为，其解集不是空集，应舍去；
当时，关于的不等式的解集为空集，，
，即可得出解.

解：当时，不等式化为，其解集不是空集，应舍去；
当时，关于的不等式的解集为空集，，
，解得
综上可得实数的取值范围是
故答案为
14.【答案】（-4，0];
【解析】解：对任意恒成立，
当时，对任意恒成立；
当时，应有，
解得：；
综上所述，实数的取值范围是
故答案为：
利用行列式的意义，将不等式对任意恒成立，转化为对任意恒成立，通过对参数分类讨论，解之即可．
此题主要考查函数恒成立问题，考查行列式的意义与不等式的解法，对参数分类讨论是解决问题的关键，属于中档题．
15.【答案】;
【解析】解：由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，
由，得到，
解得：，
，
故答案为：
由题意知本题是一个几何概型，概率的值为对应长度之比，根据题目中所给的不等式解出解集，解集在数轴上对应的线段的长度之比等于要求的概率．
此题主要考查了几何概型，以及一元二次不等式的解法，概率题目的考查中，概率只是一个载体，其他内容占的比重较大，属于基础题．
16.【答案】（-6，2）;
【解析】解：不等式-ax-a≤-3可化为
-ax-a+3≤0，
且解集为空集；
∴（-a）2-4（-a+3）＜0，
即+4a-12＜0，
解得-6＜a＜2；
∴a的取值范围是（-6，2）．
故答案为：（-6，2）．
17.【答案】;
【解析】解：当时，不恒成立，
当时，可得，
解可得，，
综上可得，，
故答案为：
由已知对进行分类讨论，然后结合二次不等式的性质可求．
这道题主要考查了二次不等式的恒成立，体现了转化思想的应用．
18.【答案】解：（1）原不等式可化为4-2x-1＞0，
方程4-2x-1=0的两个根为，，
所以不等式的解集为（-∞，）∪（，+∞）．
（2）原不等式可化为（x-3）（x-a）＞0，
①当a＜3时，不等式的解集为（-∞，a）∪（3，+∞），
②当a=3时，不等式的解集为{x|x≠3}，
③当a＞3时，不等式的解集为（-∞，3）∪（a,+∞）．;
【解析】
原不等式可化为，求出对应方程的两个根，进而求出不等式的解集．
原不等式可化为，再分情况讨论与的大小关系，从而求出不等式的解集．
此题主要考查了含参数的一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，属于基础题．
19.【答案】解：由，得，
若，则，解得；
若，则，解得；
若，则，所以
综上，不等式的解集为
由，得，
因为当且仅当时取等号，
则，解得或，
即实数的取值范围为;
【解析】此题主要考查不等式和绝对值不等式，属于中档题.分段去绝对值，分别在每一段内解不等式，然后求并集；
利用，再由不等式有解求得的范围
20.【答案】解：若，
则
，，
对称轴为，
；
设，，
当时，单调递增，
故，
不等式在上恒成立，
在时的最小值大于或等于，
或
即为或
解得．
故的取值范围是;
【解析】该题考查函数的最值的求法和不等式恒成立问题的解法，注意运用单调性和参数分离的方法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．
求得二次函数的对称轴，及端点处的函数值，可得最大值；
由题意可得在时的最小值大于或等于，得到的不等式组，求解即可得到所求范围．
21.【答案】；;
【解析】解：当时，，
，又，
因此，所求切线方程为即
当时，，
设，，
令得；
令得，在上递增；
令得，在上递减，
在处取得极小值，且极小值为 ，
由题意知，即，
解得
本题考察分段函数、导数的几何意义、导数的计算、切线方程、恒成立问题等综合知识，属于稍难题.
22.【答案】解：（1）-3x-10≥0 （x-5）（x+2）≥0，解得x≥5，或x≤-2，故不等式的解集为（-∞，-2]∪[5，+∞），
（2）-3+5x-4＞0 3-5x+4＜0，因为△=25-4×3×4＜0，故3-5x+4＞0恒成立，所以原不等式解集为 ．;
【解析】利用一元二次不等式的解法即可求出．
23.【答案】解：不等式一6x+9≤0可化为（x-3）2≤0，
解得x=3，故解集为{x|x=3};
【解析】原不等式可化为（x-3）2≤0，可得解集为{x|x=3}
24.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查充要条件的判断，先求得等价于，再利用集合的包含关系判断即可，属于基础题.
【解析】
解：由题意得等价于，
所以由集合的包含关系易知，要找成立的充分不必要条件，即找集合的真子集，显然符合.
故选
25.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，属于中档题．
由，得到，即可判断，利用基本不等式判断，利用根与系数的关系判断

解：由题意，，则，，，
，所以正确；
对于：，
当且仅当，即时等号成立，所以正确；
对于：由根与系数的关系，知，所以错误；
对于：由根与系数的关系，知，，
则，解得，所以正确；
故选
26.【答案】BCD;
【解析】解：不等式的解集是，
所以且，
解得，；
所以，选项正确；
设二次函数，且，
且函数的零点是和，所以，选项正确；
因为，所以选项正确；
因为，所以选项错误．
故选：
根据不等式的解集判断，求出、、的关系，再判断选项中的命题是否正确．
此题主要考查了一元二次不等式与对应方程和二次函数的关系应用问题，是基础题．
27.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查了集合子集的个数，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系，基本不等式的应用，属于中档题.
根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对，利用二次函数性质可判断；对，利用基本不等式可判断；对，利用不等式的解集及根与系数之间的关系可判断.
解：由于集合有且仅有两个子集，所以，
由于，所以
，，当时等号成立，故正确.
，，当且仅当时等号成立，故正确.
，不等式的解集为，，故错误.
，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则，
则，，故正确，
故选：
28.【答案】BC;
【解析】
此题主要考查了充分、必要条件，考查集合的包含关系以及解不等式问题，是一道基础题．
求出不等式成立的充分必要条件，根据集合的包含关系判断即可．

解：解不等式，得：，
要求不等式成立的一个充分不必要条件，则该条件所构成的集合为的真子集，
结合各选项，只有满足题意，
故选

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