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第48讲 导数中的端点效应法
本节主要讲解高考题的解题技巧:端点效应.“端点效应”,是指在处理“定区间上函数不等式恒成立,求参量取值范围”一类问题中,将变量在端点处的值代人,求出参量的取值范围(题设成立的必要条件),再在所求出的参量的范围内进行分类讨论,求解验证题设成立时参量所满足的充分条件.“端点效应”法最大的优点就是,能够缩小参量的范围,避开不必要的讨论,为我们在解题中节约时间,做到快解.它也是高考数学中一种常用的技巧方法.
端点效应的多维度表达
第一层维度:若(含参数)在上恒成立,则在区间端点处也必须成立,即.
第二层维度:若,要使(含参数)在上恒成立,则必然有.
第三层维度:若要使0(含参数)在上恒成立,则必然有(函数凹凸性证明).
第四层维度、第五层维度放心,不会考).
端点效应缩小必要性范围
利用端点效应法的一般解题步骤：
第一步:必要性缩小范围,利用端点效
应,我们可以得出参数的一个取值范围,虽然很多考题中,我们得到的范围就是最终的结果,但要注意的是这个范围是必要性范围,实际范围可能会更小,不过有了这个范围之后,可以大大降低我们后续的思考难度,减少解题步骤,接下来,继续正常求导,只是需要让刚刚得到的参数范围帮帮忙.
第二步:充分性验证或者确定结果,有了前面的必要性范围之后,我们就按照常规的恒成立问题的解题思路求解即可,利用反证法验证或者常规讨论都行.
【例1】已知函数,若对任意0恒
成立,求实数的取值范围.
【解析】解法一:分类讨论
由题.令,则.
(1)当时,在时,,从而.
∴在上单调递增.∴,不合题意.
(2)当时,令,解得.
i若,即,在时,,
∴.∴在上为减函数.∴符合题意.
ii.若,即,当时,在时,
∴在上单调递增,从而时,不合题意.
综上所述,若对征成立,则.
法二:端点效应法
第一步:必要性缩小范围.
要使,在上恒成立,则需要在端点处也成立,即恒成立.
∵,则由端点效应可知有成立.
又∵,则由端点效应可知：有成立.
又∵,则可得.
第二步:充分性验证,见法一.
【例2】已知函数,若在上恒成立,求实数的取值范围.
【解析】解法一:分类讨论
等价于0,即，
记,则,
(1)当时,在上单调递增,由,
∴,即不恒成立.
(2)当时,时,单调递增,不恒成立.
(3)当时,,在上单调递减,,
∴,即恒成立.故在上恒成立，实数的取值范围是.
法二:端点效应法
第一步:必要性缩小范围.
等价于0,即,
记,要使在上,恒成立.
则,根据端点效应,则必然有.
又,可得.
第二步:充分性验证结果.
可以用法一中的分类讨论,来验证时,不恒成立.
【例3】已知函数,若当时,,求的取值范围.
【解析】解法一:当时,等价于.设,则.
(1)当时,),故在上单调递增,因此.
(2)当时,令得
由和得,故当时,在上单调递减,因此.综上,的取值范围是.
法二:端点效应法
第一步:必要性缩小范围.要使在上恒成立,则需要在端点处也成立,即恒成立.
∵,则由端点效应可知有成立,
又∵,则0可得.第二步:充分性验证,见法一.
【例4】已知函数,当时,,求实数的取值范围.
【解析】解法一:分类讨论
第一步:求导,讨论函数单调性,并结合特殊值缩小参数范围.
第二步:当时,不等式恒成立.
当时,在上恒成立,则有.
第三步:当时,拆分函数,结合指数不等式放缩,进一步确定参数范围.
当时,令,由指数不等式可知,当,即时,.此时,同样有.
第四步:当时,利用隐零点和不等式放缩反证不等式不恒成立.
当时,函数与相交于点和.
同时,当时,.当时,,
即可知一,将代入得
则.又由指数不等式可知,那么,即在区间上递减,因此有,与矛盾,故不合题意.综上可知,满足题意的实数的取值范围为.
法二:端点效应
第一步:利用端点效应得参数必要性范围.
,当时,恒成立.
∵,又,即.
∵,又,可得.
第二步:充分性验证结果略.
拉格朗日中值定理在高考中的应用
拉格朗日中值定理是高等数学的内容,在高中数学中也是比较重要的一块,其定理本身比较简洁,也可以在高考中解决一类不等式问题,其解法比较快捷,我们来认识一下这个定理吧!
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:
若函数满足如下条件:
(1)在闭区间上连续.(2)在开区间内可导.
则在内至少存在一点,使得.
几何意义:
在以为端点的曲线上至少存在一点,该曲
线在该点处的切线平行于曲线两端的连线.
【例】已知函数,问是否存在实数,使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于 若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
假设存在实数,使得的图像上任意不同两点连线的斜率都不小于,
即对任意,都有.
即求任意两点割线斜率的大小,由中值定理知存在,有,转为求切线斜率的大小.即在上恒成立的问题.
拉格朗日证明无参不等式
用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤:
第一步:在不等式中找合适的函数.第二步:利用拉格朗日中值定理转换,即.（或）,并确定的范围.
第三步:利用的范围对不等式放缩,从而证明不等式.
【例1】设,证明:.
【解析】证明：令,
∵在上连续,在内可导,
∴由拉格朗日中值定理得
【例2】当时,证明:.
【解析】∵在上连续,在内可导，
∴由拉格朗日中值定理得
从而当时,.
【例3】当时,证明:.
【解析】令,
∵在上连续,在内可导,
∴由拉格朗日中值定理得.
即当时,.可导,
【例4】当时,证明:.
【解析】令,
∵在上连续,在内可导,
∴由拉格朗日中值定理得.
即当时,.
拉格朗日证明一元含参不等式
利用拉格朗日中值定理证明一元含参不等式问题的一般步骤:
第一步:参变分离为:或成立.[其中,只有这种
结构才可以使用]
第二步:拉格朗日中值定理简化为或.[其中第三步:转化为求最值问题.
【例1】设函数,若对所有,都有,求的取值范围.
【解析】第一步:参变分离.
要使恒成立,等价于:恒成立.
第二步:拉格朗日中值定理简化.,
其中.
第三步:求最值.
要使恒成立,即恒成立.
【例2】设函数,证明:若对所有,都有,则的范围是.
【解析】第一步:分类讨论,参变分离.(16)(3)设函数,如果对任何,都有,求的取值汇范围.
解第一步：分类讨论,参变分离.
当时,显然对任何,都有.
当时.
第二步:利用拉格朗日中值定理简化函数.
由拉格朗日中值定理知内至少存在一点(从而,使得
由于.
第三步:利用极限求出下确界,进而得取值范围.
故在上是增函数,让得.
∴的取值范围是.
【例3】设函数,如果对任何,都有,求的取值范围.
【解析】第一步:分类讨论,参变分离.
当时,显然对任何,都有
当时,.
第二步:利用拉格朗日中值定理简化函数.
由拉格朗中中值定理知,存在,使得.
第三步:构造函数,求导研究其单调性.
,从而
令得.
令得.
第四步:根据单调性得函数最值,进而得参数范围.
∴在上,的最大值
在上,
的最大值.
从而函数在上的最大值是.
由知,当时,的最大值为.
∴的最大值.为了使恒成立,应有.
∴的取值范围是.
拉格朗日证明双变量含参不等式
由拉格朗日中值定理解决具有特点的证明或求参数的范围问题的一般步骤:
第一步：把问题转化为证明或(其中结构的问题.
第二步:利用拉格朗日中值定理简化.即证明或
.第三步:问题转化为证与的大小关系.
【例1】设函数,.若对任意,
恒成立,求的取值范围.
【解析】解法一:同构函数法
即,令.
要使不等式恒成立,则函数在区间上单调递减,
∴恒成立,即在区间上恒成立.故.
法二:拉格朗日法
由拉格朗日中值定理可得,其中.
又,则.
又单调递减,∴.可得.
【例2】设函数,若对任意恒成立,求的取值范围。
【解析】解法一:同构函数法
对任意恒成立,等价于恒成立.
设.
∴等价于在上单调递减.∴在恒成立.
恒成立.
恒成立.∴的取值范围是.
法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得,其中.
又,则.又,令,
则.∴的取值范围是.
【例3】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)设为曲线上的任意两点,并且,若恒成立,证明:.
【解析】(1),
对任意恒成立,等价于恒成立.设
.
∴等价于在上单调递减.
∴在恒成立.
恒成立.
恒成立).∴的取值范围是.
法二:拉格朗日法由拉格朗日中值定理可得,
其中.又,则.
又,令,则.∴的取值范围是.
【例4】已知.
(1)讨论的单调性.
(2)设,求证:,
.
【解析】(1)的定义域为,.为,即
.
,则恒成立,为增函数.
,则恒成立,为增函数.
③时,.
当,则恒成立,为减函数.
当时,解得.
单调递增 单调递减
(2)法一:双元构造同构函数法
不妨设,
∴由第(1)问可得单调递减.∴.
∴所证不等式等价于:,
令,只需证明单调递减即可.
设.方程.
∴.∴在单调递减.∴,即所证不等式成立.
法二:拉格朗日中值定理
不妨设,
∴由第(1)题可得单调递减,∴.
∴.
即证.
在上恒成立即可,即可转化为一个一元二次含参不等式恒成立问题,用分类讨论或基本不等式即可证明.
【例5】已知函数，的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:
(1)当时,.
(2)当时,.
【解析】证明：(1)不妨设,即证.
由拉格朗日中值定理知,存在,则且
.
当时,.
∴是一个单调递增函数,故,从而成立,因此命题获证.
(2).
令,则由拉格朗日中值定理得.
只要证明:当时,任意,都有,则有,即证时,恒成立,等价于证明的最小值大于4.
由于(三项均值不等式),当且仅当时,取到最小值.
又,证时,1恒成立.
∴由拉格朗日定理得.
∴所证不等式得证.第48讲 导数中的端点效应法
本节主要讲解高考题的解题技巧:端点效应.“端点效应”,是指在处理“定区间上函数不等式恒成立,求参量取值范围”一类问题中,将变量在端点处的值代人,求出参量的取值范围(题设成立的必要条件),再在所求出的参量的范围内进行分类讨论,求解验证题设成立时参量所满足的充分条件.“端点效应”法最大的优点就是,能够缩小参量的范围,避开不必要的讨论,为我们在解题中节约时间,做到快解.它也是高考数学中一种常用的技巧方法.
端点效应的多维度表达
第一层维度:若(含参数)在上恒成立,则在区间端点处也必须成立,即.
第二层维度:若,要使(含参数)在上恒成立,则必然有.
第三层维度:若要使0(含参数)在上恒成立,则必然有(函数凹凸性证明).
第四层维度、第五层维度放心,不会考).
端点效应缩小必要性范围
利用端点效应法的一般解题步骤：
第一步:必要性缩小范围,利用端点效
应,我们可以得出参数的一个取值范围,虽然很多考题中,我们得到的范围就是最终的结果,但要注意的是这个范围是必要性范围,实际范围可能会更小,不过有了这个范围之后,可以大大降低我们后续的思考难度,减少解题步骤,接下来,继续正常求导,只是需要让刚刚得到的参数范围帮帮忙.
第二步:充分性验证或者确定结果,有了前面的必要性范围之后,我们就按照常规的恒成立问题的解题思路求解即可,利用反证法验证或者常规讨论都行.
【例1】已知函数,若对任意0恒
成立,求实数的取值范围.
法二:端点效应法
第一步:必要性缩小范围.
要使,在上恒成立,则需要在端点处也成立,即恒成立.
∵,则由端点效应可知有成立.
又∵,则由端点效应可知：有成立.
又∵,则可得.
第二步:充分性验证,见法一.
【例2】已知函数,若在上恒成立,求实数的取值范围.
【例3】已知函数,若当时,,求的取值范围.
法二:端点效应法
第一步:必要性缩小范围.要使在上恒成立,则需要在端点处也成立,即恒成立.
∵,则由端点效应可知有成立,
又∵,则0可得.第二步:充分性验证,见法一.
【例4】已知函数,当时,,求实数的取值范围.
法二:端点效应
第一步:利用端点效应得参数必要性范围.
,当时,恒成立.
∵,又,即.
∵,又,可得.
第二步:充分性验证结果略.
拉格朗日中值定理在高考中的应用
拉格朗日中值定理是高等数学的内容,在高中数学中也是比较重要的一块,其定理本身比较简洁,也可以在高考中解决一类不等式问题,其解法比较快捷,我们来认识一下这个定理吧!
拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理:
若函数满足如下条件:
(1)在闭区间上连续.(2)在开区间内可导.
则在内至少存在一点,使得.
几何意义:
在以为端点的曲线上至少存在一点,该曲
线在该点处的切线平行于曲线两端的连线.
【例】已知函数,问是否存在实数,使得函数上任意不同两点连线的斜率都不小于 若存在,求的取值范围;若不存在,说明理由.
假设存在实数,使得的图像上任意不同两点连线的斜率都不小于,
即对任意,都有.
即求任意两点割线斜率的大小,由中值定理知存在,有,转为求切线斜率的大小.即在上恒成立的问题.
拉格朗日证明无参不等式
用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤:
第一步:在不等式中找合适的函数.第二步:利用拉格朗日中值定理转换,即.（或）,并确定的范围.
第三步:利用的范围对不等式放缩,从而证明不等式.
【例1】设,证明:.
【例2】当时,证明:.
【例3】当时,证明:.
【例4】当时,证明:.
拉格朗日证明一元含参不等式
利用拉格朗日中值定理证明一元含参不等式问题的一般步骤:
第一步:参变分离为:或成立.[其中,只有这种
结构才可以使用]
第二步:拉格朗日中值定理简化为或.[其中第三步:转化为求最值问题.
【例1】设函数,若对所有,都有,求的取值范围.
【例2】设函数,证明:若对所有,都有,则的范围是.
【例3】设函数,如果对任何,都有,求的取值范围.
拉格朗日证明双变量含参不等式
由拉格朗日中值定理解决具有特点的证明或求参数的范围问题的一般步骤:
第一步：把问题转化为证明或(其中结构的问题.
第二步:利用拉格朗日中值定理简化.即证明或
.第三步:问题转化为证与的大小关系.
【例1】设函数,.若对任意,
恒成立,求的取值范围.
【例2】设函数,若对任意恒成立,求的取值范围。
【例3】已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)设为曲线上的任意两点,并且,若恒成立,证明:.
【例4】已知.
(1)讨论的单调性.
(2)设,求证:,
.
【例5】已知函数，的导函数是,对任意两个不相等的正数,证明:
(1)当时,.
(2)当时,.

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