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第49讲 柯西中值定理在高中数学的应用
微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明.
柯西中值定理及其证明柯西中值定理:
若与在上可导,且,则在内至少存在一点,使.
大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理.
罗尔定理:设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,而且在两端点处函数的值相等,那么在开区间上至少有一点,使得在这点的导数等于零.
证明:设和分别是在区间,上的最大值和最小值.由于在上是连续的,∴的最大值和最小值是存在的.如果等式成立,那么对于一切都有.如果和不能同时成立,那么和这两个数中间至少有一个不等于数.为了确切起见,设是这样的数.于是,在开区间的某点,函数达到闭区间上的最大值,因而在这个点同时有局部极大值.因为在点处的导数存在且等于零.的情况可以进行类似的讨论.
下面证明柯西中值定理.
证明:引人函数 .
这个函数在上显然是连续的,而且在开区间上有导数.此外,.因此根据罗尔定理可以找到这样的点,使得,,即
.
(1)显然,否则的话,由于,就应该有,但是根据已知条件和不同时等于零,因此,,用它除等式(1)的右边,即得所证.
柯西中值定理证明无参不等式
【例1】若,求证:
【解析】证明：要证,
实际上只需证.设,则在上,满足柯西中值定理条件,
.
注意:其中用到及是单调增加函数来放缩.
柯西中值定理求解一元参数范围
柯西中值定理可以解决:已知在上,不等式恒成立,求参数的取值范围问题(其中,其一般步骤如下:
第一步:参变分离.(暂定,具体要讨论).
第二步:柯西中值定理转换.,其中.
第三步:构造函数求解.令,问题转化为在恒成立问题,按一元函数求解.
【例1】已知函数,若在上恒成立,求的取值范围。
【解析】解法一:分类讨论法
∵,
当时,,
∴在上单调递减.∴当时,,不合题意.
②当时,,
令得.得.
(1)当,即时,时,,即递减,
∴,不合题意.
(2)当,即时,时,,即单调递增,
∴满足题意.综上,.
法二:柯西中值定理法
第一步:分类讨论,并参变分离.
当时不等式成立,当时,可参变分离,
即.
第二步:分子和分母分别构造函数.
.又,得.
第三步:利用柯西中值定理简化函数.其中.
第四步:利用极限可得函数确界.由,可得.
【例2】已知函数1),,若当时,恒成立,求的取
值范围.
【解析】解法一:由函数,
则）,其中.当时,∵.
∴函数在上单调递增,故.
当时,令得.若,则,
∴函数在时,,不符合题意.综上,的取值范围是.
法二:柯西中值定理法
第一步:分类讨论,并参变分离.当时不等式成立,当时,可参变分离,
即.
第二步:分子和分母分别构造函数.
,又,得.
第三步:利用柯西中值定理简化函数.
第四步:利用极限可得函数确界.由,可得.
【例3】已知函数,当时,,求实数的取值范围.
【解析】解第一步:分类讨论,并参变分离.
当时不等式成立,当时,可参变分离,
即.
第二步:分子和分母分别构造函数.
.又,得.
第三步:利用柯西中值定理简化函数.
,其中.
第四步:再次利用柯西中值定理简化函数.其中.
第五步:利用极限可得函数确界.
由,可得,即.),若时,恒成立,求的最大值.
解,要使时,恒成立.
当时,不等式成立.
②当时,参变分离可得[其中
.
由柯西中值定理可得其中.
再次利用柯西中值定理可得
其中.由,可得.
第50讲 泰勒展开解密放缩法和高考命题方法
为何高考中总是考和这些超越函数呢 因为高考命题专家很多是大学老师,他们俯视高中数学,一览无遗.超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式,即从某个点处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林公式.简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数.这也是放缩法的理论依据,也是出题老师的出题角度,后面将在泰勒展开中专门讲解如何命题,大家可先理解放缩法.
泰勒展开公式及其应用
一、泰勒展开公式
设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得
余项,上式称为阶泰勒公式.
若,则泰勒公式称为麦克劳林公式,其中为阶无穷小,相当于余项
,
即.
二、常用的初等函数的麦克劳林公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【例1】按的三展开多项式.
思路:直接展开法,求按的 展开的阶泰勒公式,则依次求直到阶的导数在处的值,然后代入公式即可.
【解析】
【例2】求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林展开式.
【解析】解法一:,
,将以上结果代入麦克劳林公式得
法二:中含有时,通常利用已知结论.
【例3】求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式.
【解析】解法一:直接展开.
将以上结果代入泰勒公式得
.
法二:为对数函数时利用已知的结论.
,然后变形可得
利用泰勒公式证明无参不等式
泰勒展开证明无参不等式的一般步 骤:第一步:构造函数,并按泰勒公式展开函数,即如果函数在定义域上有定义,且有阶导数存在,,则
,
其中介于和间
第二步:判定余项的正负号,并去掉余项,得不等式.在上述泰勒公式中,若余项,则去掉余项可得
若,则去掉余项可得
【例1】当时,.
【解析】解法一:令,则当时,
单调递增,从而,即,结论成立.
法二:由泰勒公式得
从而得,结论成立.
【例2】设,证明:.
【解析】证明法一:设1),
,则在上单调递减,
∴,即有1).
法二:由泰勒展开可得
则,结论成立.
【例3】证明:
【解析】证明：设,则在处有带有拉格朗日余项。
三阶泰勒公式
【例4】证明不等式:.
【解析】证明：设,则,
代入的二阶泰勒公式,有
泰勒探究放缩法本质
经过对泰勒证明不等式的学习,应该体会到了泰勒公式的强大.我们在放缩法那一节的所有不等式都是在泰勒展开的基础上变形而来的,所以泰勒公式才是放缩法的核心，
为什么这么说呢
泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想,也就是我们所说的放缩,下面我将用一个例子来探讨这一近似逼近的思想,以及相关不等式的变形.
【例】比较和的大小.
【解析】令,
按泰勒展开有.
去掉余项可以得到不等式:.
下面利用一般方法证明该不等式.
证明:(1)设,,则在上单调递减. 当时取等号.
(2)设,则在上单调递减,∴,即有,当时取等号.
综上所述,有不等式:,当时取等号.
上述常用对数不等式描述的函数位置关系如下图所示.
同理,我们可以从指数函数的麦克劳林展开人手,通过去余项变形的方式得到我们常用的不等式:对于函数在处的展开式如下:.
(1)从此式出发,可以变形演绎出一些十分重要的不等式.
(1)式等号右边取两项,则有.(2)
(2)式两边取自然对数得.(3)
(2)式中用替换得
(4)式两边取自然对数得
(5)式中用替换得.
结合(3)式和(6)式得.(7)
对(1)式等号右边分别取三项、四项,则有
上述不等式(2)到(9)式,当且仅当时取等号.
读者可以翻到前面关于“放缩法”的章节,试试看利用泰勒展开得到其他常用的不等式.
利用泰勒放缩证明含参不等式
在不等式恒成立中,我们通过泰勒展开放缩来大大简化计算,但前面也说过,泰勒展开放缩是一种近似计算,所求的范围只能是必要性范围,一般来说,会比直接求解的范围要大,所以需要进一步用常规方法验证,但这里也可以简化了讨论的范围,方便计算,一般也可以得到最终的范围.
【例1】已知函数,证明:当时,.
【解析】解法一:去参放缩法当时,.构造函数,则，当时,.当时,是的最小值点.
故当时,.因此,当时,.
法二:泰勒展开法
由法一知,证明即可.由泰勒公式的变形可得.
用代替可得.(1)
对两边取自然对数,可得,
用代替,可得,即
由(1)(2)可得,故
因此,当时,.
【例2】设函数,若当时,求的取值范围.
【解析】,由指数不等式,当且仅当时,等号成立.
得,从从而当,即时,,
而,于是当时,.
由可得
从而当时,
1),
故当时,,
而,当时,0,不合题意.
综合得的取值范围为.
【例3】设函数.其中是的导函数,若
恒成立,求实数的取值范围.
【解析】第一步:泰勒展开放缩得必要性范围.
恒成立,应用不等式,有,
对上式进行放缩,利用求的取值范围.
当时,上式化简为,此时.
(2)当时,上式化简为,即,则有.
第二步:常规讨论验证略.综上所述,有的取值范围是.
【例4】已知函数,若时,求的最小值.
【解析】第一步:泰勒展开放缩得必要性范围.
要在时恒成立,
利用不等式,有,该不等式在时取等号,
对上式进行放缩,利用求的最小值.
当时,上式化简为,此时.当时,上式化简为,则有.
第二步:常规讨论验证略.
综上所述,当时,若,则,其最小值为.第50讲 柯西中值定理在高中数学的应用
微分中值定理是微分学中的一个重要内容，它主要包括罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Larange)中值定理和柯西(Cauchy)中值定理.
本节内容所要讲解的柯西中值定理比拉格朗日中值定理更具有一般性,我将讲解其一般证明方法,如果大家在考试时使用了,则需要先给出证明.
柯西中值定理及其证明柯西中值定理:
若与在上可导,且,则在内至少存在一点,使.
大家不难发现，拉格朗日中值定理只是柯西中值定理的一个特例:当的时候,即为拉格朗日中值定理.其证明方法的探讨与研究是一个引人注目的问题,这里会顺便引人罗尔定理及其证明,并利用罗尔定理来证明柯西中值定理.
罗尔定理:设函数在闭区间上连续,在开区间上可导,而且在两端点处函数的值相等,那么在开区间上至少有一点,使得在这点的导数等于零.
证明:设和分别是在区间,上的最大值和最小值.由于在上是连续的,∴的最大值和最小值是存在的.如果等式成立,那么对于一切都有.如果和不能同时成立,那么和这两个数中间至少有一个不等于数.为了确切起见,设是这样的数.于是,在开区间的某点,函数达到闭区间上的最大值,因而在这个点同时有局部极大值.因为在点处的导数存在且等于零.的情况可以进行类似的讨论.
下面证明柯西中值定理.
证明:引人函数 .
这个函数在上显然是连续的,而且在开区间上有导数.此外,.因此根据罗尔定理可以找到这样的点,使得,,即
.
(1)显然,否则的话,由于,就应该有,但是根据已知条件和不同时等于零,因此,,用它除等式(1)的右边,即得所证.
柯西中值定理证明无参不等式
【例1】若,求证:
柯西中值定理求解一元参数范围
柯西中值定理可以解决:已知在上,不等式恒成立,求参数的取值范围问题(其中,其一般步骤如下:
第一步:参变分离.(暂定,具体要讨论).
第二步:柯西中值定理转换.,其中.
第三步:构造函数求解.令,问题转化为在恒成立问题,按一元函数求解.
【例1】已知函数,若在上恒成立,求的取值范围。
法二:柯西中值定理法
第一步:分类讨论,并参变分离.
当时不等式成立,当时,可参变分离,
即.
第二步:分子和分母分别构造函数.
.又,得.
第三步:利用柯西中值定理简化函数.其中.
第四步:利用极限可得函数确界.由,可得.
【例2】已知函数1),,若当时,恒成立,求的取
值范围.
法二:柯西中值定理法
第一步:分类讨论,并参变分离.当时不等式成立,当时,可参变分离,
即.
第二步:分子和分母分别构造函数.
,又,得.
第三步:利用柯西中值定理简化函数.
第四步:利用极限可得函数确界.由,可得.
【例3】已知函数,当时,,求实数的取值范围.
第51讲 泰勒展开解密放缩法和高考命题方法
为何高考中总是考和这些超越函数呢 因为高考命题专家很多是大学老师,他们俯视高中数学,一览无遗.超越函数本质上就是高等数学中的泰勒公式,即从某个点处,我们可以构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值.如果这个点是0,就是形式比较简单的麦克劳林公式.简而言之,它的功能就是把超越式近似表示为幂函数.这也是放缩法的理论依据,也是出题老师的出题角度,后面将在泰勒展开中专门讲解如何命题,大家可先理解放缩法.
泰勒展开公式及其应用
一、泰勒展开公式
设函数在点处的某邻域内具有阶导数,则对该邻域内异于的任意点,在与之间至少存在一点,使得
余项,上式称为阶泰勒公式.
若,则泰勒公式称为麦克劳林公式,其中为阶无穷小,相当于余项
,
即.
二、常用的初等函数的麦克劳林公式
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【例1】按的三展开多项式.
【例2】求函数的带有皮亚诺型余项的阶麦克劳林展开式.
【例3】求函数按的幂展开的带有皮亚诺型余项的阶泰勒公式.
利用泰勒公式证明无参不等式
泰勒展开证明无参不等式的一般步 骤:第一步:构造函数,并按泰勒公式展开函数,即如果函数在定义域上有定义,且有阶导数存在,,则
,
其中介于和间
第二步:判定余项的正负号,并去掉余项,得不等式.在上述泰勒公式中,若余项,则去掉余项可得
若,则去掉余项可得
【例1】当时,.
【例2】设,证明:.
【例3】证明:
【例4】证明不等式:.
泰勒探究放缩法本质
经过对泰勒证明不等式的学习,应该体会到了泰勒公式的强大.我们在放缩法那一节的所有不等式都是在泰勒展开的基础上变形而来的,所以泰勒公式才是放缩法的核心，
为什么这么说呢
泰勒展开式的本质上是将一个复杂的函数近似表示为一个多项式函数,是一种函数逼近的思想,也就是我们所说的放缩,下面我将用一个例子来探讨这一近似逼近的思想,以及相关不等式的变形.
【例1】比较和的大小.
利用泰勒放缩证明含参不等式
在不等式恒成立中,我们通过泰勒展开放缩来大大简化计算,但前面也说过,泰勒展开放缩是一种近似计算,所求的范围只能是必要性范围,一般来说,会比直接求解的范围要大,所以需要进一步用常规方法验证,但这里也可以简化了讨论的范围,方便计算,一般也可以得到最终的范围.
【例1】已知函数,证明:当时,.
法二:泰勒展开法
由法一知,证明即可.由泰勒公式的变形可得.
用代替可得.(1)
对两边取自然对数,可得,
用代替,可得,即
由(1)(2)可得,故
因此,当时,.
【例2】设函数,若当时,求的取值范围.
【例3】设函数.其中是的导函数,若
恒成立,求实数的取值范围.
【例4】已知函数,若时,求的最小值.

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