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2023年中考九年级数学高频考点拔高训练--反比例函数与一次函数交点的问题
1．阅读材料：
已知：一次函数y＝﹣x+b与反比例函数y＝ （x＞0），当两个函数的图象有交点时，求b的取值范围.
（1）方方给出了下列解答：
﹣x+b＝
x2﹣bx+4＝0
∵两个函数有交点
∴△＝b2﹣16≥0
但是方方遇到了困难：利用已学的知识无法解b2﹣16≥0这个不等式；
此时，圆圆提供了另一种解题思路；
第1步：先求出两个函数图象只有一个交点时，b＝ ▲ ；
第2步：画出只有一个交点时两函数的图象（请帮圆圆在直角坐标系中画出图象）；
第3步：通过平移y＝﹣x+b的图象，观察得出两个函数的图象有交点时b的取值范围是 ▲ .
应用：
如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且S△ABC＝12.
（2）求y关于x的函数表达式；
（3）设x+y＝m，求m的取值范围.
2．若反比例函数y＝ 与一次函数y＝kx+b的图象都经过点（﹣2，﹣1），且当x＝1时，这两个函数值相等.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求一次函数的解析式.
3．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y= 的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．
（1）求这两个函数的解析式：
（2）求△ADC的面积．
4．如图，直线 交 轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数 的图象经过点A，EA的延长线交直线 于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在 轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
5．在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且的面积为.
（1）求反比例函数的表达式；
（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？
6．如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为 ，过 作 轴，交过B点的一次函数 的图象于D点，交反比例函数的图象于E点， ．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式：
（2）求DE的长．
7．在平面直角坐标系中，反比例函数y= （k>0，x>0）图象上的两点（n，3n）、(n+1，2n).
（1）求n的值；
（2）如图，直线l为正比例函数y=x的图象，点A在反比例函数y= （k>0,x>0）图象上，过点A作AB⊥l于点B，过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥BC于点D，记△△BOC的面积为S1，△ABD的面积为S2，求S1-S2的值.
8．如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，与 轴交于点 .
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点 是反比例函数图象上一点，过点 作 轴的平行线 交直线 于点 ，作直线 交 轴于点 ，若 ，求点 的坐标.
9．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方．
（1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积；
（2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形；
（3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由．
10．如图，一次函数 的图像与反比例函数 (k＞0)的图像交于A，B两点，过点A做x轴的垂线，垂足为M，△AOM面积为1.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）在y轴上求一点P,使PA+PB的值最小，并求出其最小值和P点坐标.
11．如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数y= （k≠0，且k为常数）的图象过点E，且S△AOE=3S△OBE．
（1）求k的值；
（2）反比例函数图象与线段BC交于点D，直线y= x+b过点D与线段AB交于点F，延长OF交反比例函数y= （x＜0）的图象于点N，求N点坐标．
12．如图，直线 与 轴、 轴分别相交于 ， 两点，与双曲线 相交于点 ， 轴于点 ，且 ，点 的坐标为 .
（1）求双曲线的解析式；
（2）若点 为双曲线上点 右侧的一点，且 轴于 ，当以点 ， ， 为顶点的三角形与 相似时，求点 的坐标.
13．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+b(k＜0)，经过点(6，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积是9，与函数y＝ (x＞0)的图象G交于A，B两点．
（1）求直线的表达式；
（2）横、纵坐标都是整数的点叫作整点．记图象G在点A、B之间的部分与线段AB围成的区域(不含边界)为W．
①当m＝2时，直接写出区域W内的整点的坐标　 　；
②若区域W内恰有3个整数点，结合函数图象，求m的取值范围．
14．模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具.对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下：
（1）建立函数模型
设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为4，得 ，即 ；由周长为 ，得 ，即 .满足要求的 应是两个函数图象在第　 　象限内交点的坐标.
（2）画出函数图象
函数 的图象如图所示，而函数 的图象可由直线 平移得到.请在同一直角坐标系中直接画出直线 .
（3）平移直线 ，观察函数图象
①当直线平移到与函数 的图象有唯一交点 时，周长 的值为▲ ；
②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况 请写出交点个数及对应的周长m的取值范围.
（4）得出结论
若能生产出面积为4的矩形模具，则周长m的取值范围为　 　.
15．如图，直线 与反比例函数 的图象交于A，B两点.
（1）求点A，B的坐标；
（2）如图1，点E是线段AC上一点，连接OE，OA，若 ，求 的值；
（3）如图2，将直线AB沿x轴向右平移m个单位长度后，交反比例函数 的图象于点P，Q，连接AP，BQ，若四边形ABQP的面积恰好等于 ，求m的值.
16．如图，一次函数 （k为常数，且 ）的图象与反比例函数 的图象交于 ，B两点.
（1）求一次函数的表达式；
（2）若将直线 向下平移 个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求m的值.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：4；函数图象如图1所示：
；b≥4
（2）解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC的长为x，AC的长为y，且 ，
∴ ，
∴
（3）解：∵x+y=m，
∴，
∴x2-mx+24=0
∴m2-96≥0
∵m＞0
∴
2．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象经过点（-2，-1），
∴-1= ，
解得：m=2，
∴反比例函数的解析式：y= ；
（2）解：当x=1时，y= =2，
∴一次函数y=kx+b的图象经过点（1，2）（-2，-1），
∴ ，解得 ，
∴一次函数的解析式：y=x+1.
3．【答案】（1）解：∵反比例函数y= 的图象过B（4，﹣2）点，
∴k=4×（﹣2）=﹣8，
∴反比例函数的解析式为y=﹣ ；
∵反比例函数y= 的图象过点A（﹣2，m），
∴m=﹣ =4，即A（﹣2，4）．
∵一次函数y=ax+b的图象过A（﹣2，4），B（4，﹣2）两点，
∴ ，
解得
∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；
（2）解：
∵直线AB：y=﹣x+2交x轴于点C，
∴C（2，0）．
∵AD⊥x轴于D，A（﹣2，4），
∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4，
∴S△ADC= CD AD= ×4×4=8．
4．【答案】（1）解：求得直线 与 轴交点坐标为M（1，0），则OM＝1，
而S矩形OMAE＝4，即OM·AM＝4，
∴AM＝4，
∴A（1，4）；
∵反比例函数的图象过点A（1，4），
∴ ，
∴所求函数为 ；
（2）解：∵点D在EA延长线上，
∴直线AD： ，
求得直线 与直线 的交点坐标为D（6，4），
∴AD＝5；
设B（ ，0），则BM＝ ，
Rt△ABM中，AB＝AD＝5，AM＝4，
∴BM＝3，即 ＝3，则 ， ，
∴所求点B为B1（－2，0），B2（4，0）．
5．【答案】（1）解：作
令，，
∴，即OC=5
∵
∴
∴
∴B点的纵坐标为1
令，，
∴
将B点坐标代入中，得
∴反比例函数表达式：
（2）解：设平移a个单位长度
则平移后直线解析式为
∵两个图象只有1个交点
∴，
整理，得，此方程有两个相等的实数根
∴
∴
∴，
或
6．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB＝ |k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝ ，
∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（3，0），
∴ ×3+b＝0，解得b＝ ，
∴一次函数为 ；
（2）解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，
∴当x＝5时y＝ ＝ ； ，
∴E（5， ），D（5，3），
∴DE＝3﹣ ．
7．【答案】（1）解：将（n，3n)和（n+1,2n)代入y= 得：3n= ，2n=
∴3n2=2n(n +1)
解得n=2或n=0（舍去），
∴n=2
（2）解：由（1）得：点（2，6）在反比例函数y= （k>0，x>0)的图象上，将点（2，6）代入y= ，得k=12.
反比例函数为y=
设OC=a，又点B在直线y=x，.点B(a，a).
又BC⊥x轴，∴△BOC为等腰直角三角形。
∵AB⊥l，AD⊥BC，
∴△ABD为等腰直角三角形
设BD=b，则AD=b，
∴点A(a+b，a-b).
将点A（a+b，a-b）代入y= ，得a-b= ，
即a2-b2=12，…8分
又S1= a2，S2= b2，
S1-S2= (a2-b2)= ×12=6
8．【答案】（1）解：将点 代入 中，得 ，
∴ ，
∴一次函数的解析式为：y=-x+1，
将点 代入 中得 ，
反比例函数的解析式为： ；
（2）解：①当点 在点A下方时，
过点A作 轴，交直线 于点 ，
∵ 平行于 轴，
∴∠ACD=∠AEB，∠ADC=∠ABE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，
∴点 的纵坐标为1. ，代入 中，
∴ 点坐标为 .
设直线 表达式： ，把A、 坐标代入得
，
解得 ，
∴ 解析式的为： ，
当 时 ，
∴点 的坐标为 ，
②当点C在点 上方时，
∵ 平行于 轴，
∴∠ACD=∠AEB，∠ADC=∠ABE，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵点 ，AG=2，
∴AH=1，
∴点 的纵坐标，3. ，代入 中，
∴ 点坐标为 .
设直线 表达式： ，把A、 坐标代入得
，
解得 ，
∴ 解析式的为： ，
当 时 ，
∴点 的坐标为
∴当点 在点 下方时， 的坐标为 ；当点 在点 上方时， 的坐标为
9．【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15．
提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO，
设AP与y轴交于点C，如图1，
把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1），
把点B（4，1）代入y= ，得k=4．
解方程组 ，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1），
则点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△AOP=S△BOP，
∴S△PAB=2S△AOP．
设直线AP的解析式为y=mx+n，
把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n，
求得直线AP的解析式为y=x+3，
则点C的坐标（0，3），OC=3，
∴S△AOP=S△AOC+S△POC
= OC AR+ OC PS
= ×3×4+ ×3×1= ，
∴S△PAB=2S△AOP=15；
（2）解：过点P作PH⊥x轴于H，如图2．
B（4，1），则反比例函数解析式为y= ，
设P（m， ），直线PA的方程为y=ax+b，直线PB的方程为y=px+q，
联立 ，解得直线PA的方程为y= x+ ﹣1，
联立 ，解得直线PB的方程为y=﹣ x+ +1，
∴M（m﹣4，0），N（m+4，0），
∴H（m，0），
∴MH=m﹣（m﹣4）=4，NH=m+4﹣m=4，
∴MH=NH，
∴PH垂直平分MN，
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形；
（3）解：∠PAQ=∠PBQ．
理由如下：
过点Q作QT⊥x轴于T，设AQ交x轴于D，QB的延长线交x轴于E，如图3．
可设点Q为（c， ），直线AQ的解析式为y=px+q，则有
，
解得： ，
∴直线AQ的解析式为y= x+ ﹣1．
当y=0时， x+ ﹣1=0，
解得：x=c﹣4，
∴D（c﹣4，0）．
同理可得E（c+4，0），
∴DT=c﹣（c﹣4）=4，ET=c+4﹣c=4，
∴DT=ET，
∴QT垂直平分DE，
∴QD=QE，
∴∠QDE=∠QED．
∵∠MDA=∠QDE，
∴∠MDA=∠QED．
∵PM=PN，∴∠PMN=∠PNM．
∵∠PAQ=∠PMN﹣∠MDA，∠PBQ=∠NBE=∠PNM﹣∠QED，
∴∠PAQ=∠PBQ．
10．【答案】（1）解： 反比例函数 的图象过点 ，过 点作 轴的垂线，垂足为 ， 面积为1，
，
，
，
故反比例函数的解析式为：
（2）解：作点 关于 轴的对称点 ，连接 ，交 轴于点 ，则 最小.
由 ，解得 ，或 ，
， ，
，最小值 .
设直线 的解析式为 ，
则 ，解得 ，
直线 的解析式为 ，
时， ，
点坐标为 .
11．【答案】（1）解：∵S△AOE=3S△OBE，
∴AE=3BE，
∴AE=3，
∴E（﹣3，4）
反比例函数y= （k≠0，且k为常数）的图象过点E，
∴4= ，即k=﹣12
（2）解：∵正方形AOCB的边长为4，
∴点D的横坐标为﹣4，点F的纵坐标为4．
∵点D在反比例函数的图象上，
∴点D的纵坐标为3，即D（﹣4，3）．
∵点D在直线y= x+b上，
∴3= ×（﹣4）+b，解得b=5．
∴直线DF为y= x+5，
将y=4代入y= x+5，得4= x+5，解得x=﹣2．
∴点F的坐标为（﹣2，4），
设直线OF的解析式为y=mx，
代入F的坐标得，4=﹣2m，
解得m=﹣2，
∴直线OF的解析式为y=﹣2x，
解 ，得 ．
∴N（﹣ ，2 ）
12．【答案】（1）解：把 代入 中，得 ，
∴ ，
∵ ，∴把 代入 中，
得 ，
即 ，
把 代入 中，
得 ，
则双曲线解析式为 ；
（2）解：如图， 轴于点H，连接 ；设 ，
∵ 在双曲线 上，
∴ ，
∵点B在 上，
∴ .
当 时，
可得 ，即 ，
∴ ，即 ，
解得 或 （舍去），
∴ ；
当 时，
可得 ，即 ，
整理得 ，
解得 或 （舍），
∴ ，
综上所述， 或 .
13．【答案】（1）解：如图：
设直线与y轴的交点为C(0，b)，
∵直线与两坐标轴围成的三角形的面积是9，
∴ ×6 ＝9，b＝±3．
∵k＜0，
∴b＝3，
∵直线y＝kx+b经过点(6，0)和(0，3)，
∴直线的表达式为y＝﹣ x+3
（2）解：如图： ①当m＝2时，两函数图象的交点坐标为方程组 的解， ∴A(3﹣ ， )，B(3+ ， )，观察图象可得区域W内的整点的坐标为(3，1)； ②当y＝ 图象经过点(1，1)时，则m＝1， 当y＝ 图象经过点(2，1)时，则m＝2， ∴观察图象可得区域W内的整点有3个时1≤m＜2
14．【答案】（1）一
（2）解：y=-x的图象如图所示.
（3）解：①8；
②在直线平移过程中，交点个数还有0，2两种情况.
0个交点时， 个交点时， .
（4）m≥8
15．【答案】（1）解：有题意得，
∴
解得 ，
， ，
∴ ，
（2）解：∵ 交x轴于点C
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴
∴
∵ ， ，
∴ ，
，
∴ ， ，
∴
（3）解：设平移后 ，如图，
过点D作DF⊥PQ于点F，
则ED=m，DF=
∴ ，
∴PQ= -
有题意得，
解得， ， ，
∴QH=x1-x2= ，
∴ ，
∴ = -
∴ ，
∴解得 （舍）， ，
即
16．【答案】（1）解：根据题意，把A(－2，b)的坐标分别代入一次函数和反比例函数表达式，得 ，
解得 ，
所以一次函数的表达式为y＝ x＋5.
（2）解：将直线AB向下平移m(m＞0)个单位长度后，直线AB对应的函数表达式为y＝ x＋5－m.由 得， x2＋(5－m)x＋8＝0.Δ＝(5－m)2－4× ×8＝0，
解得m＝1或9.

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