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专题1 构造法
探究1：由条件直接构造
【典例剖析】
例1.(2022·新高考Ⅰ卷)设，，，则( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1（2021·全国乙卷（理））设，，，则( )
A. B. C. D.
练1-2(2021·全国强基卷)已知是不超过的正整数且的个位数为，则满足条件的的个数为 ．
练1-3(2022·湖北省模拟)某网络科技公司在年终总结大会上，为增添喜悦、和谐的气氛，设计了闯关游戏这一环节，闯关游戏必须闯过若干关口才能成功其中第一关是闯关答题，分别设置“文史常识题”“生活常识题”“影视艺术常识题”这道题目，规定有两种答题方案：
方案一：答题道，至少有两道答对
方案二：在这道题目中，随机选取道，这道都答对．
方案一和方案二中只要完成一个，就能通过第一关假设程序员甲和程序员乙答对这道题中每一道题的概率都是，且这道题是否答对相互之间没有影响程序员甲选择了方案一，程序员乙选择了方案二．
求甲和乙各自通过第一关的概率
设甲和乙中通过第一关的人数为，是否存在唯一的的值，使得并说明理由．
练1-4(2022·福建省月考)如图所示，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，，，，为圆上的点，，，，分别是以，，，为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以，，，为折痕折起，使得，，，重合于一点，记为，得到四棱锥当底面的边长变化时，四棱锥的体积的最大值为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.在解决有关不等式、方程及最值之类问题时，联系已知条件和结论，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的性质，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键点也是难点；
2.构造函数时往往从两方面着手：
①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；
②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
探究2：找原函数构造
【典例剖析】
例2.(2022·安徽省联考)已知函数及其导函数的定义域均为，且为偶函数，，
，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·福建省联考·多选)设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是( )
A. 在单调递增 B. 在单调递增
C. 在上有极大值 D. 在上有极小值
练2-2(2022·浙江省联考·多选)定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则( )
A. B.
C. D.
练2-3( 2022·河北省月考)设函数是函数的导函数，，则使得成立的的取值范围是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
导数问题中已知某个含的不等式，可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．常用构造形式有、，这类形式是对，型导数的推广及应用，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型，当导函数形式出现的是“”时，优先考虑构造型.
几种导数的常见构造：
1．对于，构造
若遇到，构造
2．对于，构造
3．对于，构造
4．对于，构造
5．对于，构造
6．对于，构造
拓展：1. 对于，构造
2. 对于，构造
3. 对于，构造
4. 对于，构造
探究3：“同构法”构造
【典例剖析】
例3.(2022·福建省模拟)已知函数，若恒成立，则的最小值是 ．
【变式训练】
练3-1(2022·河北省月考)若，则( )
A. B. C. D.
练3-2( 2022·安徽省联考)对于问题“求证方程只有一个解”，可采用如下方法进行证明“将方程化为，设，因为在上单调递减，且，所以原方程只有一个解”类比上述解题思路，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
练3-3(2022·辽宁省模拟)已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为 ．
【规律方法】
1.同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式.同构式需要构造一个母函数，即外函数，用表示，这个母函数需要满足:①指对跨阶，②单调性和最值易求.
常见的同构形函数：（1）与（2）与,
常见的同构变形：（1）（2） （3）
注意：同构后的整体变量范围.
2.在解析几何中的应用：如果满足的方程为同构式，则为方程所表示曲线上的两点.特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线的方程.
3.在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于与的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解.
专题1 构造法——答案解析
例1【解析】，，，
，
令则，
故在上单调递减，
可得，即，所以；
，
令则，
令，所以，
所以在上单调递增，可得，即，
所以在上单调递增，可得，即，所以．
故．
练1-1【解析】，，，
令，，
令，则，，
，
，，
在上单调递增，
，
，即，，
取，则，即，
同理令，，
再令，则，，
，
，，
在上单调递减，
，
，即，
同样的，取，则，即，
．
故选：．
练1-2【解析】设，
因为的个位数为
的个位数为
的个位数为
的个位数为
的个位数为，，
由此分析可知的个位数以，，，，，，，的规律呈现，
又，
当时，个位数为的有个．
又当，，时个位数也为，
故共有个．
练1-3【解析】设答对题目的个数为，由题意，得
甲通过第一关的概率为．
乙通过第一关的概率为
设的可能值为，，，则
所以
设，，
从而当时，为增函数，又，，
所以存在唯一的的值，使得，即．
练1-4【解析】如图，取的中点，连接，，，
设正方形的边长为，则，，
所以，
所以四棱锥的体积
．
设，得．
令，得，令，得，
故在上单调递增，在上单调递减．
所以当时，取得最大值，即体积取得最大值，为．
故选D．
例2【解析】令，
则，
所以在上单调递增．
又因为为偶函数，所以，所以，
，所以不等式
等价于，则，解得，
所以不等式的解集为
故选B．
练2-1【解析】令，则．
又因为，所以，
由得，由得，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以不正确，B正确；
因为函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数在时，取得极小值，极小值为．
又因为，所以，因此不正确，D正确．
故选AC．
练2-2【解析】设函数，，则，
因为恒成立，所以，所以在上单调递减，
所以，即，
则必有，，，，
故AD正确，BC错误．
故选AD．
练2-3【解析】构造辅助函数，，
由得，即恒成立．
在定义域上是单调递增函数，
要使，即：，即，
，在定义域上是单调递增函数；
故，即的取值范围是．
故选A．
例3【解析】恒成立，即
令 ，则易知单调递增，
令，则，令，解得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，故，即．
则的最小值是．
练3-1【解析】设，则在上为增函数，
因为，
所以，
所以，所以．
，
当时，，此时，则有
当时，，此时，则有，所以、D错误，故选B．
练3-2【解析】由不等式，得．
设函数，则，所以在上单调递增．
因为，
所以解得或．
所以不等式的解集是．
故选A．
练3-3【解析】，恒成立等价于
，恒成立，
令，则，，
则，令，则，所以，单调递增，
所以不等式转化为，即，即，即，即，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，所以，
即的最小值为．
故答案为．
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