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2023年中考数学高频专题突破--相似三角形与圆的综合
1．如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，OD⊥AB，与AC交于点E，与过点C的⊙O的切线交于点D．
（1）若AC=4，BC=2，求OE的长．
（2）试判断∠A与∠CDE的数量关系，并说明理由．
2．如图，已知三角形ABC的边AB是⊙0的切线，切点为B．AC经过圆心0并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E．
（1）求证：CB平分∠ACE。
（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半径．
3．如图，在 中， ，BC与 相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交 于点F，连结BF.
（1）求证：BF是 的切线.
（2）若 ， ，求EF的长.
4．如图，已知BC是⊙O的直径，点D为BC延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD，AC=CD．
（1）求证：△ACD∽△BAD；
（2）求证：AD是⊙O的切线．
5．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，OC平行于弦AD，过点D作DE⊥AB于点E，连结AC，与DE交于点P．求证：
（1）PE=PD
（2）AC PD=AP BC
6．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接AC，过 上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EG=FG．
（1）求证：EG是⊙O的切线；
（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH=2， ，求OM的长．
7．如图， 是 的外接圆，直线 与 相切于点 ，连接 交 于点D．
（1）求证： 平分 ；
（2）若 的平分线 交 于点F，且 ， ，求 的长．
8．如图，以 的直角边 为直径作 交斜边 于点 ，过圆心 作 ，交 于点 ，连接 .
（1）判断 与 的位置关系并说明理由；
（2）求证： ；
（3）若 ， ，求 的长.
9．如图， 内接于 是 的直径， 与 相切于点B， 交 的延长线于点D，E为 的中点，连接 ．
（1）求证： 是 的切线．
（2）已知 ，求O，E两点之间的距离．
10．如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点．
（1）求证：PT2=PA PB；
（2）若PT=TB= ，求图中阴影部分的面积．
11．如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OE⊥OA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE.
（1）求证：AE是半圆O的切线；
（2）若PA＝2，PC＝4，求AE的长.
12．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上， ＝ ，过点C作CE⊥AD延长线于点E.
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长.
13．将一副三角板Rt△ABD与Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如图摆放，Rt△ABD中∠D所对直角边与Rt△ACB斜边恰好重合．以AB为直径的圆经过点C，且与AD交于点 E，分别连接EB，EC．
（1）求证：EC平分∠AEB；
（2）求 的值．
14．如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC于D，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，AE，BC的延长线交于点G.
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE EG.
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是BC的中点，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，连接DE.
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若CD＝3，DE＝ ，求⊙O的直径.
16．如图，已知BC⊥AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且 = ．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）若AD=12，AM=MC，求 的值．
17．如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为B.AC经过圆心O并与圆相交于点D，C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E.
（1）求证：CB平分∠ACE；
（2）若BE=3，CE=4，求O的半径.
18．已知：四边形OABC是菱形，以O为圆心作⊙O，与BC相切于点D，交OA于E，交OC于F，连接OD，DF．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）连接EF交OD于点G，若∠C=45°，求证：GF2=DG OE．
19．已知：如图，MN为⊙O的直径，ME是⊙O的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分∠DMN．
求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）ME2=MD MN．
20．如图，在 中， ， 平分 交 于点D，过点A和点D的圆，圆心O在线段 上， 交 于点E，交 于点F．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）若 ， ，求 的长．
21．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，交BC于点E．
（1）求证：BE=CE；
（2）若BD=2，BE=3，求AC的长．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB= = =2 ，
∴OA= AB= ，
∵OD⊥AB，
∴∠AOE=∠ACB=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△AOE∽△ACB，
∴ ，即 ，
解得：OE=
（2）解：∠CDE=2∠A，理由如下：
连接OC，如图所示：
∵OA=OC，
∴∠1=∠A，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∴∠2+∠CDE=90°，
∵OD⊥AB，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠3=∠CDE，
∵∠3=∠A+∠1=2∠A，
∴∠CDE=2∠A．
【解析】【分析】（1）由圆周角定理得出∠ACB=90°，由勾股定理求出AB= =2 ，得出OA= AB= ，证明△AOE∽△ACB，得出对应边成比例即可得出答案；（2）连接OC，由等腰三角形的性质得出∠1=∠A，由切线的性质得出OC⊥CD，得出∠2+∠CDE=90°，证出∠3=∠CDE，再由三角形的外角性质即可得出结论．
2．【答案】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE；
（2）解：如图2，连接BD，
∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC===5，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴=，∴BC2=CD CE，∴CD==，∴OC=CD=，
∴⊙O的半径=
【解析】【解答】（1）证明：如图1，连接OB，由AB是⊙0的切线，得到OB⊥AB，由于CE丄AB，的OB∥CE，于是得到∠1=∠3，根据等腰三角形的性质得到∠1=∠2，通过等量代换得到结果．
（2）如图2，连接BD通过△DBC∽△CBE，得到比例式=，列方程可得结果．
【分析】此题是圆的应用，涉及有切线性质，等腰三角形性质和三角形相似对应边成比例进而求得线段的值、
3．【答案】（1）证明：如图，连接 ，
，
，
，
又 切BC于点D，
，
，
.
又 ， ，
，
，
是 的切线
（2）解：由（1）得： ，
，
，
，
， ，
，
，
【解析】【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形的性质可证得∠CAB=∠ABC，利用垂直的定义可求出∠CAB+∠EAB=90°；再利用切线的性质和余角的性质去证明∠BAE=∠BAD；然后根据SAS证明△ABF≌△ABD，利用全等三角形的性质，可求出∠AFB=90°，利用切线的判定定理，可证得结论.
（2）由BF∥AC，可证得△BEF∽△CEA，利用相似三角形的性质可求出BF的长；再利用勾股定理求出EF的长.
4．【答案】（1）证明：∵AB=AD，
∴∠B=∠D，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D，
∴∠CAD=∠B，
∵∠D=∠D，
∴△ACD∽△BAD
（2）证明：连接OA，
∵OA=OB，
∴∠B=∠OAB，
∴∠OAB=∠CAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切线．
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD=∠B，由于∠D=∠D，于是得到△ACD∽△BAD；（2）连接OA，根据的一句熟悉的性质得到∠B=∠OAB，得到∠OAB=∠CAD，由BC是⊙O的直径，得到∠BAC=90°即可得到结论．
5．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴…①，
又∵AD∥OC，∴∠DAE=∠COB，∴△AED∽△OBC，∴…②，
由①②，可得ED=2EP，∴PE=PD．
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，BC是切线，∴AB⊥BC，∵DE⊥AB，∴DE∥BC，∴△AEP∽△ABC，∴，
∵PE=PD，∴，∴AC PD=AP BC．
【解析】【解答】首先根据AB是⊙O的直径，BC是切线，可得AB⊥BC，再根据DE⊥AB，判断出DE∥BC，△AEP∽△ABC，所以；然后判断出，即可判断出ED=2EP，据此判断出PE=PD即可．
【分析】首先根据△AEP∽△ABC，判断出；然后根据PE=PD，可得，据此判断出AC PD=AP BC即可．
6．【答案】（1）证明：连接OE，如图，
∵GE=GF，
∴∠GEF=∠GFE，
而∠GFE=∠AFH，
∴∠GEF=∠AFH，
∵AB⊥CD，
∴∠OAF+∠AFH=90°，
∴∠GEA+∠OAF=90°，
∵OA=OE，
∴∠OEA=∠OAF，
∴∠GEA+∠OEA=90°，即∠GEO=90°，
∴OE⊥GE，
∴EG是⊙O的切线
（2）解：连接OC，如图，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，
在Rt△OCH中， ，
解得r=3，
在Rt△ACH中，AC= ，
∵AC∥GE，
∴∠M=∠CAH，
∴Rt△OEM∽Rt△CHA，
∴ ，
即 ，
解得：OM= ．
【解析】【分析】（1）连接OE，如图，通过证明∠GEA+∠OEA=90°得到OE⊥GE，然后根据切线的判定定理得到EG是⊙O的切线；（2）连接OC，如图，设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-2，利用勾股定理得到 ，解得r=3，然后证明Rt△OEM∽Rt△CHA，再利用相似比计算OM的长．
7．【答案】（1）解：连接OE．
∵直线EG与⊙O相切于E，
∴OE⊥EG．
∵EG∥BC，
∴OE⊥BC，
∴ ，
∴∠BAE=∠CAE．
∴AE平分∠BAC；
（2）解：如图，
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠4，
∵∠1=∠5，
∴∠4=∠5，
∵BF平分∠ABC，
∴∠2=∠3，
∵∠6=∠3+∠4=∠2+∠5，即∠6=∠EBF，
∴EB=EF，
∵DE=3，DF=2，
∴BE=EF=DE+DF=5，
∵∠5=∠4，∠BED=∠AEB，
∴△EBD∽△EAB，
∴ ，即 ，
∴AE= ，
∴AF=AE-EF= -5= ．
【解析】【分析】（1）连接OE，利用垂径定理、圆周角、弧、弦的关系证得结论；（2）根据题意证明BE=EF，得到BE的长，再证明△EBD∽△EAB得到 ， 求出AE，从而得到AF．
8．【答案】（1）解：DE是圆O的切线
证明：连接OD
∵OE∥AC
∴∠1=∠3，∠2=∠A
∵OA=OD
∴∠1=∠A
∴∠2=∠3
在△BOE和△DOE中
OE=OD，∠2=∠3，OE=OE
∴△BOE≌△DOE（SAS）
∴∠ODE=∠OBE=90°
∴OD⊥DE
∴DE是圆O的切线
（2）解：证明：连接BD
∵AB是直径
∴∠BDC=∠ADB=∠ABC=90°
∵OE∥AC，O是AB的中点
∴OE是△ABC的中位线
∴AC=2OE
∵∠BDC=∠ABC，∠C=∠C
∴△ABC∽△BDC
∴
∴BC2=2CD OE
∵BC=2DE，
∴（2DE）2=2CD OE
∴
（3）解：∵
设：BD=4x，CD=3x
∵在△BDC中， ，
∴BC=2DE=5
∴（4x）2+（3x）2=25
解之：x=1，x=-1（舍去）
∴BD=4
∵∠ABD=∠C
∴AD=BD tan∠ABD=
【解析】【分析】（1）连接OD，根据平行线的性质及等腰三角形的性质证明∠2=∠3，再证明△BOE≌△DOE，可证出OD⊥DE，即可得证。
（2）连接BD，证明OE是△ABC的中位线，得出AC=2OE，再证明△ABC∽△BDC，得出BC2=AC CD，结合BC=2DE，AC=2OE，即可求证结论。
（3）根据三角函数的定义，BD=4x，CD=3x，先求出BC的长，再根据勾股定理求出x的值，就可得出BD的长，再根据∠ABD=∠C，利用锐角三角函数的定义得出AD=BD tan∠ABD，即可解答。
9．【答案】（1）证明：连接 ，
∵ ，
∴ ，
∵ 是 的直径，
∴ ，则 ，
∵ 是 斜边 上的中线，
∴ ，
∴ ，
∵ 与 相切，
∴ ，即 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ 是 的切线；
（2）解：连接OE，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∵ 是 的中位线，
∴ ．
【解析】【分析】（1）连接 ，先推出 ，然后根据 是 斜边 上的中线，得出 ，从而可得 ，根据 与 相切，得到 ，可得 ，即 ，即可证明 是 的切线；（2）连接OE，先证明 ，可得 ，可求出AD，根据 是 的中位线，即可求出OE．
10．【答案】（1）证明：连接OT．
∵PT是⊙O的切线，
∴PT⊥OT，
∴∠PTO=90°，
∴∠PTA+∠OTA=90°，
∵AB是直径，
∴∠ATB=90°，
∴∠TAB+∠B=90°，
∵OT=OA，
∴∠OAT=∠OTA，
∴∠PTA=∠B，∵∠P=∠P，
∴△PTA∽△PBT，
∴ = ，
∴PT2=PA PB．
（2）∵TP=TB= ，
∴∠P=∠B=∠PTA，
∵∠TAB=∠P+∠PTA，
∴∠TAB=2∠B，
∵∠TAB+∠B=90°，
∴∠TAB=60°，∠B=30°，
∴tanB= = ，
∴AT=1，
∵OA=OT，∠TAO=60°，
∴△AOT是等边三角形，
∴S阴=S扇形OAT﹣S△AOT= ﹣ 12= ﹣
【解析】【分析】（1）连接OT，只要证明△PTA∽△PBT，可得 = ，由此即可解决问题；（2）首先证明△AOT是等边三角形，根据S阴=S扇形OAT﹣S△AOT计算即可；
11．【答案】（1）证明：∵在矩形ABCD中，∠ABO＝∠OCE＝90°，
∵OE⊥OA，
∴∠AOE＝90°，
∴∠BAO+∠AOB＝∠AOB+∠COE＝90°，
∴∠BAO＝∠COE，
∴△ABO∽△OCE，
∴ ＝ ，
∵OB＝OC，
∴ ，
∵∠ABO＝∠AOE＝90°，
∴△ABO∽△AOE，
∴∠BAO＝∠OAE，
过O作OF⊥AE于F，
∴∠ABO＝∠AFO＝90°，
在△ABO与△AFO中， ，
∴△ABO≌△AFO（AAS），
∴OF＝OB，
∴AE是半圆O的切线
（2）解：∵AF是⊙O的切线，AC是⊙O的割线，
∴AF2＝AP AC，
∴AF＝ ＝2 ，
∴AB＝AF＝2 ，
∵AC＝6，
∴BC＝ ＝2 ，
∴AO＝ ＝3 ，
∵△ABO∽△AOE，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴AE＝3 .
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出 ∠ABO＝∠OCE＝90°， 根据同角的余角相等得出 ∠BAO＝∠COE， 从而判断出 △ABO∽△OCE， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ， 故 ， 进而判断出 △ABO∽△AOE， 根据相似三角形对应角相等得出 ∠BAO＝∠OAE， 过O作OF⊥AE于F， 然后利用AAS判断出△ABO≌△AFO根据全等三角形对应边相等得出 OF＝OB， 故 AE是半圆O的切线 ；
（2）根据切割线定理得出 AF2＝AP AC， 根据等积式算出AF的长，根据切线长定理得出 AB＝AF＝2 ， 然后利用勾股定理算出BC,AO的长，根据相似三角形对应边成比例，由 △ABO∽△AOE， 得出 ， 根据比例式即可算出AE的长。
12．【答案】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∵ ＝ ，
∴DC＝BC，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠OCA＝∠CAD，
∴OC∥AE，
∵∠E＝90°
∴∠OCE＝90°，
∴OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：∵CE是⊙O的切线，
∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠E，
∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ，
∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，CD＝3，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ ，
∴CE＝ ，ED＝ ，AE＝ ，
∴AD＝AE﹣ED＝ .
【解析】【分析】（1） 连接OC，由OA＝OC，得∠OCA＝∠OAC，根据弧、弦、圆周角的关系，得出∠BAC＝∠CAD，即得∠OCA＝∠CAD，根据平行线的判定可得OC∥AE，从而得出∠OCE＝90°，根据切线的判定方法即证；
（2） 利用切线的性质得出 ∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而可证△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ＝ ， ＝ ，从而即可解决问题.
13．【答案】（1）证明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，
∴∠AEC=∠BEC，
即EC平分∠AEB
（2）解：如图，设AB与CE交于点M．
∵EC平分∠AEB，
∴ = ．
在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，
∴∠BAD=30°，
∵以AB为直径的圆经过点E，
∴∠AEB=90°，
∴tan∠BAE= = ，
∴AE= BE，
∴ = = ．
作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．
在△AFM与△BGM中，
∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，
∴△AFM∽△BGM，
∴ = = ，
∴ = = = ．
【解析】【分析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根据圆周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代换得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）设AB与CE交于点M．根据角平分线的性质得出 = ．易求∠BAD=30°，由直径所对的圆周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，那么 = = ．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．证明△AFM∽△BGM，根据相似三角形对应边成比例得出 = = ，进而求出 = = = ．
14．【答案】（1）解：EA平分∠DEF，理由如下：
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠AEB，
∴∠ABC＝∠AEB
∵∠ABC+∠AEC＝180°，∠AEF+∠AEC＝180°，
∴∠ABC＝∠AEF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴EA平分∠DEF
（2）证明：①由（1）知：EA平分∠DEF，
∵BD⊥AC，AF⊥CE，
∴AD＝AF，
在Rt△ABD和Rt△ACF中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACF（HL），
∴BD＝CF，
②由△ADE≌△AFE可知：DE＝FE，
∴BD2﹣DE2＝（BD+DE）（BD﹣DE）＝BE（CF﹣EF）＝BE CE，
∵∠BAE+∠BCE＝180°，∠BCE+∠ECG＝180°，
∴∠BAE＝∠ECG，
∴△AEB∽△CEG，
∴ ，
∴BE CE＝AE EG，
∴BD2﹣DE2＝AE EG，
即BD2＝DE2+AE EG.
【解析】【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，由圆周角定理可得∠ACB＝∠AEB，则∠ABC＝∠AEB，根据同角的补角相等可得∠ABC＝∠AEF，推出∠AEB＝∠AEF，据此判断；
（2）①由（1）知：EA平分∠DEF，根据角平分线的性质可得AD＝AF，证明Rt△ABD≌Rt△ACF，据此可得结论；
②由全等三角形的性质可得DE＝FE，则BD2-DE2＝(BD+DE)(BD-DE)＝BE·CE，根据等角的补角相等可得∠BAE＝∠ECG，证明△AEB∽△CEG，由相似三角形的性质可得BE·CE＝AE·EG，据此证明.
15．【答案】（1）证明：连接DO，如图，
∵∠BDC＝90°，E为BC的中点，
∴DE＝CE＝BE，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD，
而∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠EDC＋∠ODC＝90°，即∠EDO＝90°，
∴DE⊥OD，
∴DE与⊙O相切；
（2）解：由（1）得，∠CDB＝90°，
∵CE＝EB，
∴DE＝ BC，
∴BC＝5，
∴BD＝ ＝ ＝4，
∵∠BCA＝∠BDC＝90°，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BDC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴AC＝ ，
∴⊙O直径的长为 .
【解析】【分析】(1) 连接DO， 根据直角三角形斜边中线的性质求出∠EDC＝∠ECD，再根据同圆的半径相等得出∠ODC＝∠OCD，最后根据余角的性质，即可得证；
(2)先根据直角三角形斜边中线的性质求出BC，然后根据勾股定理求出BD，再证明△BCA∽△BDC，根据三角形相似的性质列比例式求出AC，即可解答.
16．【答案】（1）证明：连接OD、OP、∵ = ，∠A=∠A，
∴△ADM∽△APO，
∴∠ADM=∠APO，
∴MD∥PO，
∴∠1=∠4，∠2=∠3，
∵OD=OM，
∴∠3=∠4，
∴∠1=∠2，
∵OP=OP，OD=OC，
∴△ODP≌△OCP，
∴∠ODP=∠OCP，
∵BC⊥AC，
∴∠OCP=90°，
∴OD⊥AP，
∴PD是⊙O的切线
（2）解：连接CD．由（1）可知：PC=PD，∵AM=MC，
∴AM=2MO=2R，
在Rt△AOD中，OD2+AD2=OA2，
∴R2+122=9R2，∴R=3 ，∴OD=3 ，MC=6 ，∵ = = ，∴DP=6，∵O是MC的中点，∴ = = ，
∴点P是BC的中点，
∴BP=CP=DP=6，
∵MC是⊙O的直径，
∴∠BDC=∠CDM=90°，
在Rt△BCM中，∵BC=2DP=12，MC=6 ，
∴BM=6 ，
∵△BCM∽△CDM，
∴ = ，即 = ，∴MD=2 ，
∴ = = ．
【解析】【分析】（1）连接OD、OP、首先根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似得出△ADM∽△APO，根据相似三角形对应角相等得出∠ADM=∠APO，根据同位角相等，两直线平行得出MD∥PO，根据平行线的性质得出∠1=∠4，∠2=∠3，根据等边对等角得出∠3=∠4，故∠1=∠2，根据SAS判断出△ODP≌△OCP，根据全等三角形对应角相等得出∠ODP=∠OCP90°，从而得出结论：PD是⊙O的切线；
（2）连接CD．根据全等三角形的对应边相等得出：PC=PD，由AM=MC，及同圆的半径相等得出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，利用勾股定理建立方程求出R的长，从而得出OD，MC的长，根据，从而得出DP的长，根据根据平行线分线段成比例定理得出，故点P是BC的中点，BP=CP=DP=6，根据直径所对的圆周角是直角得出∠BDC=∠CDM=90°，在Rt△BCM中根据勾股定理算出BM的长，然后判断出△BCM∽△CDM，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式求出MD的长，从而得出答案。
17．【答案】（1）证明：如图1，连接OB，
∵AB是⊙0的切线，
∴OB⊥AB，
∵CE丄AB，
∴OB∥CE，
∴∠1=∠3，
∵OB=OC，
∴∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴CB平分∠ACE
（2）如图2，连接BD，
∵CE丄AB，
∴∠E=90°，
∴BC= = =5，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC=90°，
∴∠E=∠DBC，
∴△DBC∽△CBE，
∴ ，
∴BC2=CD CE，
∴CD= = ，
∴OC= = ，
∴⊙O的半径=
【解析】【分析】（1） 如图1，连接OB ，根据切线的性质得出 OB⊥AB， 根据同一平面垂直于同一直线的两条直线互相平行得出 OB∥CE， 根据二直线平行，内错角相等得出 ∠1=∠3， 根据等边对等角得出 ∠1=∠2， 故 ∠2=∠3， 所以CB平分∠ACE；
（2） 连接BD， 首先根据勾股定理算出BC的长，根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠DBC=90°， 然后判断出 △DBC∽△CBE， 根据相似三角形对应边成比例得出 ， 根据比例式就可算出CD的长，进而即可得出答案.
18．【答案】（1）证明：如图，过O作OH⊥AB，∵四边形OABC为菱形，∴AB=BC，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，
∴AB OH=BC OD，
∴OH=OD，
∴AB为⊙O的切线
（2）解：由（1）可知OD⊥CB，∴AO⊥DO，∴∠AOD=90°，
∴∠DFO= ∠AOD=45°，
∵∠C=45°，且∠ODC=90°，∴∠DOF=45°，在△OGF中，∠DGF为△OGF的外角，∴∠DGF=∠DOF+∠GFO=45°+∠GFO，∵∠DFO=∠DFG+∠GFO=45°+∠GFO，
∴∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，
∴△DGF∽△DFO，
∴ = ，即DF GF=DG OF，
∵OF=OD=OE，
∴DF=GF，
∴GF2=DG OE．
【解析】【分析】①四边形OABC为菱形，BC为⊙O的切线，得到OD⊥BC，且OD为⊙O的半径，OH=OD，得到AB为⊙O的切线；②由①可知OD⊥CB，得到AO⊥DO，得到∠DFO=45°得到∠DGF=∠DFO，且∠GDF=∠FDO，得出△DGF∽△DFO，即DF GF=DG OF，由OF=OD=OE，DF=GF，即GF2=DG OE．
19．【答案】（1）证明：∵ME平分∠DMN，
∴∠OME=∠DME，
∵OM=OE，
∴∠OME=∠OEM，
∴∠DME=∠OEM，
∴OE∥DM，
∵DM⊥DE，
∴OE⊥DE，
∵OE过O，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接EN，
∵DM⊥DE，MN为⊙O的半径，
∴∠MDE=∠MEN=90°，
∵∠NME=∠DME，
∴△MDE∽△MEN，
∴ = ，
∴ME2=MD MN
【解析】【分析】（1）求出OE∥DM，求出OE⊥DE，根据切线的判定得出即可；（2）连接EN，求出∠MDE=∠MEN，求出△MDE∽△MEN，根据相似三角形的判定得出即可．
20．【答案】（1）解： 与 相切．
理由如下：
如图，连接 ，
平分 ，
在 上，
是 的切线．
（2）解：连接
为 的直径，
， ，
解得：
所以： 的长为：
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义证明 结合等腰三角形的性质证明 从而证明 结合 可得答案；（2）连接 ，先利用勾股定理求解 的长，再证明 利用相似三角形的性质列方程组求解即可得到答案．
21．【答案】（1）证明：连结AE，如图，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC=90°，∴AE⊥BC，而AB=AC，∴BE=CE；
（2）解：连结DE，如图，
∵BE=CE=3，
∴BC=6，
∵∠BED=∠BAC，而∠DBE=∠CBA，
∴△BED∽△BAC，
∴ ，即 ，
∴BA=9，
∴AC=BA=9．
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角和等腰三角形的三线合一，得到BE=CE；（2）根据两角相等两三角形相似，得到△BED∽△BAC，得到比例，求出AC的长．

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