资源简介

2023年数学中考一轮复习--多边形（知识点梳理+配套精练)
知识点梳理：
知识点：多边形 关键点拨与对应举例
1.多边形的相关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形． （2）对角线：从n边形的一个顶点可以引(n－3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n－2)个三角形；n边形对角线条数为． 多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解. 例： (1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10． (2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．
2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n边形内角和公式为(n－2)·180° （2）外角和：任意多边形的外角和为360°.
3.正多边形 （1）定义：各边相等，各角也相等的多边形. （2）正n边形的每个内角为，每一个外角为360°/n. ( 3 ) 正n边形有n条对称轴. （4）对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.
配套精练：
一、单选题
1．下列多边形中，内角和为720°的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列说法正确的是（　　）
A．三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形
B．三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形
C．各边都相等的多边形叫正多边形
D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心
3．如图，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P是弧AB上一点，则∠CPD的度数是（　　）
A．30° B．40° C．45° D．60°
4．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么这个多边形的一个外角是（　　）
A．720° B．60° C．36° D．30°
5．正多边形的每个内角为，则它的边数是（　　）
A．4 B．6 C．7 D．5
6．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
7．一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的5倍，则这个正多边形的边数是（　　）
A．八 B．九 C．十 D．十二
8．三角形具有稳定性，所以要使如图所示的五边形木架不变形，至少要使钉上（　　）根木条
A．1 B．2 C．3 D．4
9．我国古代伟大的数学家刘徽于公元263年撰《九章算术注》中指出，“周三径一”不是圆周率值，实际上是圆内接正六边形周长和直径的比值(图1)。刘徽发现，圆内接正多边形边数无限增加时，多边形的周长就无限逼近圆周长，从而创立“割圆术”，为计算圆周率建立起相当严密的理论和完善的算法。如图2，六边形ABCDEF是圆内接正六边形，把每段弧二等分，作出一个圆内接正十二边形，连结AG，CF，AG交CF于点P，若AP=2 ，则 的长为(　　)
A． B． π C． π D． π
10．如图，把△ABC 纸片沿 DE 折叠，当点 A 落在四边形 BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2 之有一种数量关系始终保持不变请试着找一找这个规律，你发现的规律是 （　　）
A．∠A=∠1+∠2 B．3∠A=2（∠1+∠2）
C．3∠A=2∠1+∠2C D．2∠A=∠1+∠2
二、填空题
11．如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠CPD的度数是　 　.
12．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么该多边形的一个外角是　 　 ．
13．如图，正方形内接于圆，，则图中阴影部分的面积是　 　.
14．如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为 ，平行四边形的面积记为 ,则 的值为　 　.
15．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC=84°，则∠BDC=　 　．
16．如图，中，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则的度数是　 　.
17．如果一个多边形的内角和等于1800°，则这个多边形是　 　边形；如果一个n边形每一个内角都是135°，则n=　 　；如果一个n边形每一个外角都是36°，则n=　 　．
18．一个n边形的内角和是它外角和的6倍，则n＝　 　.
三、解答题
19．一个正多边形的内角和为1800°，求这个多边形的边数.
20．一个多边形的内角和比它的外角和多720°，求该多边形的边数.
21．求图形中x的值：
22．求图(1)、图(2)中的x的值，其中图(2)中AB∥CD.
23．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍还多 ，求这个多边形的内角和.
24．求半径为3的圆的内接正方形的边长．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【解答】∵n边形内角和公式为(n-2)×180°，
∴(n-2)×180°=720°，
解得n=6，
故答案为：D．
【分析】利用多边形的内角和公式逐项判断即可。
2．【答案】D
【解析】【解答】解：A：由同一平面不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，故A错误；
B：三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，故B错误；
C：各边都相等、各角都相等的多边形是正多边形，故C错误；
D：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故D正确；
故答案为：D.
【分析】分别根据三角形的定义、分类、正多边形的定义以及重心的定义判断即可得出答案.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：连接OC，OD，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠COD＝ ＝60°，
∴∠CPD＝ COD＝30°，
故答案为：A.
【分析】连接OC，OD，根据正六边形的性质可求得∠COD的度数，再根据圆周角定理可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】解：设这个多边形是n边形，
根据题意得：（n﹣2） 180°=1800，
解得n=12；
那么这个多边形的一个外角是360÷12=30°，
即这个多边形的一个外角是30°．
故本题选：D．
【分析】先求出（n﹣2） 180°=1800，再求出n=12，最后计算求解即可。
5．【答案】D
【解析】【解答】解：∵正多边形的每个内角等于108°，
∴每一个外角的度数为180°-108°=72°，
∴边数=360°÷72°=5，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出每一个外角的度数为180°-108°=72°，再求解即可。
6．【答案】D
【解析】【解答】设多边形边数有x条，由题意得：
180° (x 2)=1080°
解得：x=8
故答案为8
所以选D
【分析】先求出180° (x 2)=1080°，再求解即可。
7．【答案】D
【解析】【解答】解：设这个正多边的外角为x°，由题意得：
x+5x＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12.
故答案为：D.
【分析】设这个正多边的外角为x°，根据题意，结合邻补角的性质建立方程求解，再根据正多边形外角的性质求边数即可.
8．【答案】B
【解析】【解答】过五边形的一个顶点作对角线，有5-3=2条对角线，所以至少要钉上2根木条．
故答案为：B．
【分析】三角形具有稳定性，所以要使五边形木架不变形需把它分成三角形，即过五边形的一个顶点作对角线，有几条对角线，就至少要钉上几根木条．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：设正六边形ABCDEF的外接圆的圆心为O，连接AE，AD，OG，
∵OG平分弧CD，正六边形ABCD，
∴∠AOF=60°，∠DOG=∠COG=30°，
∴∠DAG=∠DOG=15°
∵∠AOF=∠HPA+∠DAG
∴∠HPA=60°-15°=45°，
∴△HAP是等腰直角三角形，
∴∠HPA=45°，
∴AH=APsin∠HPA=
在Rt△AOH中，∠AOH=60°
∴即
解之：AO=OC=4.
弧CG的长为.
故答案为：D
【分析】设正六边形ABCDEF的外接圆的圆心为O，连接AE，AD，OG，利用正多边形的性质和圆周角定理可求出∠DAG，∠AOF的度数，同时可得到∠DOG=∠COG=30°，∠HPA=45°，再利用解直角三角形求出AH的长，继而可求出OA的长，然后利用弧长公式进行计算可求出弧CG的长。
10．【答案】D
【解析】【解答】解：在 中， ，
在 中， ，
∵ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：D.
【分析】利用三角形内角和定理得到 和 ，在根据四边形的内角和得 ，利用这三组关系证明 与 、 的关系.
11．【答案】60
【解析】【解答】解：∵五边形的内角和等于540°，∠A+∠B+∠E＝300°，
∴∠BCD+∠CDE＝540°﹣300°＝240°，
∵∠BCD、∠CDE的平分线在五边形内相交于点O，
∴∠PDC+∠PCD＝ （∠BCD+∠CDE）＝120°，
∴∠CPD＝180°﹣120°＝60°.
故答案是：60.
【分析】根据五边形的内角和求出∠BCD和∠CDE的和，再根据角平分线及三角形内角和求出∠CPD.
12．【答案】30°
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得：（n-2）×180°=1800°，
解得：n=12，
360°÷12=30°．
故答案为：30°．
【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和可得（n-2）×180°=1800°，求出n的值，再计算即可。
13．【答案】
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
四边形ABCD是正方形，
， ，
.
所以阴影部分的面积 .
故答案为： .
【分析】连接OA、OB，根据正方形的性质可得∠AOB=90°，∠OAB=45°，根据三角函数的概念求出OA，然后根据阴影部分的面积=圆的面积-正方形的面积进行计算.
14．【答案】
【解析】【解答】解：如下图所示，延长EN交BC于点F，过点E作EP⊥BC于P，过点F作FQ⊥MN于Q，过点A作AD⊥BC于D，
∵平行四边形内有两个全等的正六边形，设正六边形的边长为a
∴∠AEN=∠A=∠ENM=∠MGC=120°，NM∥BC，AE=EN=NM=MG=a
∴∠B=180°－∠A=60°，∠FNM=180°－∠ENM =60°，∠BEF=180°－∠AEN=60°，∠NFG=∠ENM=120°=∠MGC
∴∠B=∠BEF=60°，∠EFB=180°－∠NFG=60°，NF∥MG，
∴△BEF为等边三角形，四边形NFGM为菱形
∴NF=MG=a，
∴BE=BF=EF=EN＋NF=2a，AB=AE＋BE=3a，BC=BF＋FG＋GC=4a
∴EP=BE·sin∠B= ，AD=AB·sin∠B= ，FQ=NF·sin∠FNM=
由图可知，图中两个阴影部分面积相等
∴ =2（S△BEF＋S菱形NFGM）
=2（ BF·EP＋NM·FQ）
=2（ ×2a× ＋a· ）
=
=BC·AD=4a× =
∴
故答案为： .
【分析】如解图所示：延长EN交BC于点F，过点E作EP⊥BC于P，过点F作FQ⊥MN于Q，过点A作AD⊥BC于D，由图可知，图中两个阴影部分面积相等，证出△BEF为等边三角形，四边形NFGM为菱形，求出等边三角形的边长、菱形的边长和平行四边形的边长，利用锐角三角函数求出等边三角形的高、菱形的高和平行四边形的高，即可求出结论.
15．【答案】96°
【解析】【解答】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE=DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，DE=DF，BD=CD，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE=∠CDF，
∴∠BDC=∠EDF，
∵∠DEB=∠DFC=90°，
∴∠EAF+∠EDF=180゜，
∵∠BAC=84°，
∴∠BDC=∠EDF=96°．
故答案为：96°．
【分析】过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，易证Rt△DEB≌Rt△DFC，得到对应角相等，即可推出∠BDC=∠EDF，根据
∠DEB=∠DFC=90°可得∠EAF+∠EDF=180゜，则不难计算出∠BDC的度数.
16．【答案】60°
【解析】【解答】解：∵∠A=75°，∠B=65°，
∴∠C=180°-（65°+75°）=40°，
∴∠CDE+∠CED=180°-∠C=140°，
∴∠2=360°-（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）=360°-300°=60°．
故答案为：60°.
【分析】由三角形的内角和先求出∠C=40°，再求出∠CDE+∠CED=180°-∠C=140°，然后根据四边形内角和可得∠2=360°-（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE），据此即可得解.
17．【答案】十二；8；10
【解析】【解答】这个正多边形的边数是n，
则（n-2） 180°=1800°，
解得：n=12，
则这个正多边形是12；
如果一个n边形每一个内角都是135°，
∴每一个外角=45°，
则n= =8，
如果一个n边形每一个外角都是36°，
则n= =10，
故答案为：十二，8，10．
【分析】n边形的内角和可表示为（n-2） 180°，设这个正多边形的边数是n，得出方程，求解即可。
18．【答案】14
【解析】【解答】多边形的外角和为：360°，
多边形的内角和公式为：（n-2）×180°，
根据题意得：（n-2）×180=360×6，
解得：n=14，
故答案为：14.
【分析】根据多边形的内角和公式及外角和列出等式，解出n即可.
19．【答案】解：设这个多边形的边数是 ，
则 ，
解得： .
故这个多边形的边数为12.
【解析】【分析】根据多边形的内角和公式列方程求解即可.
20．【答案】解：∵一个多边形的内角和比它的外角和多720°，
∴这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，
设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2） 180°＝1080°，
解得n＝8，
答：该多边形的边数为8，
【解析】【分析】由题意可得：这个多边形的内角和为360°+720°＝1080°，根据内角和公式可得(n-2) 180°＝1080°，求解即可.
21．【答案】∵∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°×(5﹣2)，
∴x+(x+20°)+70°+x+(x﹣10°)=540°，
4x=460°，
x=115°．
【解析】【分析】根据多边形内角和公式即可求出答案．
22．【答案】解：（1）根据题意得，x°+x°+140°+90°=360°,
解得，x=65；
（ 2 ）∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∵∠C=60°，
∴∠B=120°，
∴x°+135°+120°+60°+150°=（5-2）×180°，
解得，x=75.
【解析】【分析】（1）根据四边形 的内角和等于360°，列出方程，求出x的值即可；
（2）根据五边形 的内角和列出方程，求出x的值即可；
23．【答案】解：设外角为x°，
x+4x+30=180，
解得：x=30，
360°÷30°=12，
（12-2）×180=1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°.
【解析】【分析】 设外角为x°，由题意可得x+4x+30=180，求解可得外角的度数，然后利用360°除以外角的度数求出边数，最后结合多边形内角和公式进行求解.
24．【答案】解：如图，∵四边形ABCD是⊙O的内接正方形， ∴∠OBE＝45°； ∵OE⊥BC， ∴BE＝CE； ∵OB＝3， ∴cos45° ， ∴BE＝ ， ∴BC＝3 ， 故半径为3的圆内接正方形的边长为3 ．
【解析】【分析】由圆内接正四边形的性质知∠OBE＝45°，由垂径定理定理知BE＝CE，根据锐角三角函数的定义求出BE＝ ，从而可求出BE的值.

展开更多......

收起↑