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2023年数学中考一轮复习--平行四边形（知识点梳理+配套精练）
知识点梳理：
知识点 ：平行四边形的性质
1.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示. 利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半. （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. （3）过平行四边形对称中心的任一直线等分平行四边形的面积及周长. 例： 如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为9.6.
2.平行四边形的性质 边：两组对边分别平行且相等. 即AB∥CD 且AB＝CD，BC∥AD且AD＝BC. （2）角：对角相等，邻角互补. 即∠BAD＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC， ∠ABC＋∠BCD＝180°，∠BAD＋∠ADC＝180°. （3）对角线：互相平分.即OA＝OC，OB＝OD （4）对称性：中心对称但不是轴对称.
3.平行四边形中的几个解题模型 （1）如图①，AF平分∠BAD，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到△ABF为等腰三角形，即AB=BF. （2）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中△ABD≌△CDB； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△AOD≌△COB,△AOB≌△COD； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心O的线段与对角线所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②△AOE≌△COF.图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半. （3） 如图③，已知点E为AD上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得S△BEC=S△ABE+S△CDE. （4） 根据平行四边形的面积的求法，可得AE·BC=AF·CD.
知识点：平行四边形的判定
4.平行四边形的判定 （1）方法一（定义法）：两组对边分别平行的四边形是平行四边形. 即若AB∥CD，AD∥BC，则四边形ABCD是□. （2）方法二：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 即若AB＝CD，AD＝BC，则四边形ABCD是□. （3）方法三：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 即若AB＝CD，AB∥CD，或AD=BC,AD∥BC,则四边形ABCD是□. （4）方法四：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 即若OA＝OC，OB＝OD，则四边形ABCD是□. （5）方法五：两组对角分别相等的四边形是平行四边形 若∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD，则四边形ABCD是□. 例：如图四边形ABCD的对角线相交于点O,AO=CO，请你添加一个条件BO=DO或AD∥BC或AB∥CD（只添加一个即可），使四边形ABCD为平行四边形.
配套精练：
一、单选题
1．在中，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
2．在 中， ，则 的度数是 （　　）
A． B． C． D．
3．如图，在中，的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点E，过点C作，垂足为G，若，，，则线段CG的长为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使DE：AD＝1：3，连接EF交DC于点G，则S△CFG：S△DEG等于（　　）
A．9：4 B．2：3 C．4：9 D．3：2
5．如图，在 中，全等三角形的对数共有（　　）
A．2对 B．3对 C．4对 D．5对
6．如图，矩形中，，四边形是平行四边形，点在边上且，的面积是矩形面积的，则平行四边形的面积是（　　）
A．2 B．3 C． D．
7．下列命题正确的是（　　）
A．三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离都相等
B．两条对角线相等的四边形是平行四边形
C．分式 的值不能为零
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60”，先假设这个三角形中有一个内角大于60°
8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q.若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为（　　）
A．14 B．15 C． D．
9．在□ABCD中，∠A，∠B的度数之比为2：4，则∠C等于（　　）
A．60° B．80° C．100° D．120°
10．如图，四边形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，线段EF与AC交于点O且互相平分，若AD＝BC＝10，EF＝AB＝6，则四边形EFCD的周长是（　　）
A．16 B．20 C．22 D．26
二、填空题
11．如图， ABCD中，AE平分∠BAD，若∠B＝52°，则∠AEC的度数为　 　.
12．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠BAD=120°，则∠EAF=　 　.
13．如图， 为坐标原点， 是等腰直角三角形， ，点 的坐标是 ，将该三角形沿 轴向右平移得 ，此时，点 的坐标为 ，则线段 在平移过程中扫过部分的图形面积为　 　.
14．如图，在平行四边形ABCD的顶点B分别作高BE、BF，若BF= BE，BC=16，则AB=　 　.
15．如图，平行四边形 中， 平分 交边 于点 ， ， ，则 　 　．
16．如图，已知 中， ．如果作 与 的平分线分别交 于点E、F，那么 的长是　 　．
17．已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点B、C在第一象限，且四边形OABC是平行四边形，AB＝2 ，sinB＝ ，反比例函数y＝ 的图象经过点C以及边AB的中点D，则四边形OABC的面积为　 　．
18．如图，B(2，﹣2)，C(3，0)，以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为　 　．
三、解答题
19．如图，点 ， 是四边形 的对角线 上的两点，且 ， ， ．求证： ．
20．已知：如图，点E，F分别在的AB，DC边上，且，连接DE，BF.求证：四边形DEBF是平行四边形.
21．如图，在平行四边形ABCD中，，，求证：AN＝MC．
22．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接AE，若AE和DC的延长线相交于点F，求证：DC＝CF.
23．证明三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半．
（要求：画出图形，写出已知、求证和证明过程）
24．如图1，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB上，且四边形AEBF是平行四边形，请用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线，小明的作法如图2，判断小明的作法是否正确，并说明理由。
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴∠B=180°-80°=100°.
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的邻角互补可得∠A+∠B=180°，据此计算.
2．【答案】C
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=∠C=100°，
∴∠B=180°-∠A=80°.
故答案为：C.
【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补进行解答即可.
3．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥BC，即DE∥BC，CD∥AB，
∴△DEF∽△CBF，
∴，即，
∴BF＝6，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠CFB＝∠CBF，
∴CB＝CF＝9，
∵，
∴FG=BG=，
在Rt△BCG中，CG＝．
故答案为：A．
【分析】先证明△DEF∽△CBF，可得，即，求出BF的长，再利用中点的性质可得FG=BG=，最后利用勾股定理求出CG的长即可。
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，AD=BC，
∴△CFG∽△DEG，
∴；
∵点F为BC的中点，
∴BC=AD=2CF，
∵DE：AD=1：3，
∴DE：2CF=1：3，
∴CF：DE=2：3，
∴.
故答案为：A
【分析】利用平行四边形的性质可得到AD∥CF，AD=BC，由此可证得△CFG∽△DEG，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得到；再证明CF：DE=2：3，即可求出S△CFG：S△DEG的值.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ； ， ；
∵ ， ， ；
∴ ≌ （ ）；①
同理可得出 ≌△ （ ）；②
∵ ， ， ；
∴ ≌ （ ）；③
同理可得： ≌ （ ）.④
因此本题共有4对全等三角形.
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质可得AB=CD，AD=BC，OD=OB，OA=OC，然后结合全等三角形的判定定理进行解答.
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵点D1在BC边上，且△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，
∴AB BD1＝AB AD，
∴BD1＝AD，
又∵AD1＝AD，
∴BD1＝AD1，
设BD1＝2x，则AD1＝3x，
在Rt△ABD1中，BD12＋AB2＝AD12，
∴（2x）2＋（）2＝（3x）2，
解得：x＝±1（负值舍去），
∴BD1＝2，AD1＝3，
∵点D1在BC边上，
∴平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1＝2×××2＝2，
故答案为：C．
【分析】由△ABD1的面积是矩形ABCD面积的，可得BD1＝AD，即得BD1＝AD1，设BD1＝2x，则AD1＝3x，在Rt△ABD1中，利用勾股定理可得关于x的方程并解之，即得BD1，AD1的长，根据平行四边形ABC1D1的面积＝2S△ABD1即可求解.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，故本选项命题错误，不符合题意；
B、两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项命题错误，不符合题意；
C、分式值为0的条件是分子等于0，且分母不为0，而该题中分子是常数2，故分式的值不可能为0，故本选项命题正确，符合题意；
D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于60°”，先假设这个三角形中每一个内角都大于60°，故本选项命题错误，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定定理、分式的值为0的条件、反证法，逐项进行判断，即可得出答案.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接EC，CH，设AB交CR于点J，
∵四边形ACDE，四边形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，
∴点E、C、H在同一直线上，点A、C、I在同一直线上，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴ ，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC：CH＝1：2，
∴AC：BC＝1：2，
设AC＝a，则BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四边形ABQC为平行四边形，
∴AB＝CQ＝10，
∵ ，
∴ ，
∴ （舍负）
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ＋JR＝14.
故答案为：A.
【分析】连接EC，CH，设AB交CR于点J，根据正方形的性质可得∠ACE＝∠BCH＝45°，根据平行线的性质可得∠CEP＝∠CHQ，证明△ECP∽△HCQ，根据相似三角形的性质可得PC、CQ，设AC＝a，则BC＝2a，易得四边形ABQC为平行四边形，则AB＝CQ＝10，利用勾股定理可得a的值，进而求出AC、BC，然后根据三角形的面积公式即可求出CJ，然后根据CR＝CJ＋JR进行计算.
9．【答案】A
【解析】【解答】因为四边形ABCD是平行四边形，所以，因为，所以，因为平行四边形的对角相等，所以。
故答案为：A。
【分析】利用平行四边行的性质：对角相等，邻角互补求解即可。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：∵线段EF与AC交于点O且互相平分，∴OA＝OC，OE＝OF．
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴∠EAO＝∠FCO，AE＝CF，
∴AD∥BC．
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，
∴四边形EFCD的周长＝CD+DE+EF+CF＝CD+AB+DE+AE＝CD+AB+AD＝6+6+10＝22．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质和对顶角的性质，即可得到△AOE≌△COF，根据全等三角形的性质，求出答案即可。
11．【答案】116°
【解析】【解答】解：四边形 是平行四边形，
，
， ，
又∵∠B＝52°，
，
平分 ，
，
.
故答案为： .
【分析】首先由四边形ABCD是平行四边形，可得 ，根据二直线平行，同旁内角互补求出 的度数，再由条件AE平分 可求出 的度数，继而再根据二直线平行，同旁内角互补可求出 的度数.
12．【答案】60°
【解析】【解答】解： 四边形 是平行四边形，
，
于 ， 于 ，
，
；
故答案为： .
【分析】由平行四边形的性质得出对角相等 ，再由四边形内角和定理即可得出结果.
13．【答案】1
【解析】【解答】解：如图
∵点B的坐标为(0， )，将该三角形沿x轴向右平移得到Rt△O'A' B'，此时点B'的坐标为( ， )
∴AA'=BB' =
∵△OAB是等腰直角三角形
∴
OA=1
∴xA= ，yA=
∴A ( ， )
∴OO'对应的高为
线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为平行四边形的面积： × =1
故答案为：1.
【分析】根据平移的性质及B'的坐标为( ， )，AA'=BB' = ，根据勾股定理求出OA=1，继而求出A ( ， )，由平移的性质知线段OA在平移过程中扫过部分的图形面积为平行四边形，根据平行四边形的面积公式求解即可.
14．【答案】20
【解析】【解答】解：S平行四边形ABCD=BC·BF=DC·BE，
∴ ，
∵BF= BE
∴ ，
∴ ，
∴AB=DC=20，
故答案为：20.
【分析】根据面积法可得到 ，结合题中数据BF= BE，BC=16，可求出AB=DC=20.
15．【答案】3
【解析】【解答】∵四边形 是平行四边形
∴ ， ，
∵，
∴ ，
∵ 平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴ ，
故答案为：3．
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得，而 平分 ，进一步推出，在同一个三角形中，根据等角对等边得出，则可求出BE的值。
16．【答案】1
【解析】【解答】解：如图所示，∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AE=AB=4，
又∵AD=7，
∴DE=AD-AE=7-4=3，
同理可得AF=3，
∴EF=AD-DE-AF=7-3-3=1，
故答案为：1．
【分析】本题需要分类讨论，画出草图，结合平行四边形的性质求解即可。
17．【答案】12
【解析】【解答】解：延长BC交y轴于E，如图，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC＝OA，BC∥OA，OC∥AB，OC＝AB＝2 ，
∴BE⊥y轴，∠OCE＝∠B，
在Rt△OCE中，sin∠OCE＝ ＝sinB＝ ，
∴OE＝ ×2 ＝4，
∴CE＝ ＝2，
∴C（2，4），
设B（t+2，4），
∵D点为AB的中点，
∴D（t+1，2），
∵点C、D在反比例函数y＝ 的图象上，
∴2（t+1）＝2×4，解得t＝3，
∴BC＝4，
∴四边形OABC的面积＝3×4＝12．
故答案为.12
【分析】延长BC交y轴于E，如图，利用平行四边形的性质得出BC＝OA，BC∥OA，OC∥AB，OC＝AB＝2 ，BE⊥y轴，∠OCE＝∠B，在Rt△OCE中，由sin∠OCE＝ ＝sinB＝ 求出OE，再利用勾股定理求出CE，即得点C坐标，设B（t+2，4），可得D（t+1，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征，讲点CD坐标代入y＝ ，可得2（t+1）＝2×4，求出t值即得BC的长，根据平行四边形的面积公式计算即可.
18．【答案】y＝
【解析】【解答】解：设A坐标为（x，y），
∵B（2，﹣2），C（3，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，
∴x+3＝0+2，y+0＝0﹣2，
解得：x＝﹣1，y＝﹣2，即A（﹣1，﹣2），
设过点A的反比例解析式为y＝ ，
把A（﹣1，﹣2）代入得：k＝2，
则过点A的反比例函数解析式为y＝ ，
故答案为：y＝ ．
【分析】先求出x＝﹣1，y＝﹣2，再求出k＝2，最后计算求解即可。
19．【答案】证明：连接AC交BD于O，如图所示：
∵DC∥AB，DC=AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵DE=FB，
∴OE=OF，
又∵OA=OC，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴∠ECF=∠FAE．
【解析】【分析】连接AC交BD于O，证明四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC，OB=OD，证出OE=OF，得出四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论．
20．【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
四边形DEBF是平行四边形.
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，由已知条件知AE=CF，结合线段的和差关系可得BE=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行证明.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵，，
∴AM=CN，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN=MC．
【解析】【分析】先证明四边形AMCN是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得AN=MC。
22．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BAE＝∠F，∠B＝ECF，
又∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，
∴△ABE≌△FCE，
∴AB＝CF，
∴DC＝CF
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC， 利用平行线的性质求出∠BAE＝∠F，∠B＝∠ECF， 结合中点的定义，利用AAS证明△ABE≌△FCE，得出AB=CF，则可证出DC=CF.
23．【答案】解：已知：如图点D、E分别是⊿ABC的边AB，AC的中点，连接DE
求证： DE∥BC，且DE= BC
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接FC，DC，AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴CF∥AD且CF=AD
∴CF∥BD且CF=BD
∴四边形BDFC是平行四边形
∴DF∥BC且DF=BC
又∵DE= DF
∴DE∥BC，且DE= BC
【解析】【分析】延长DE到F，使EF=DE，连接FC、DC、AF，先由题意即可得到四边形ADCF是平行四边形，进而根据平行四边形的性质结合即可即可得到CF∥BD且CF=BD，再根据平行四边形的判定即可得到四边形BDFC是平行四边形，最后证明DE∥BC，且DE= BC即可求解.
24．【答案】解：小明的作法正确.
理由：设AB，EF的交点为C.
∵四边形AEBF是平行四边形，
∴CA=CB
又∵OA=OB，
OC是∠AOB的平分线。
【解析】【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出CA=CB，结合OA=OB，则由等腰三角形三线合一的性质得出OC是∠AOB的平分线.

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