资源简介

2023年数学中考一轮复习--特殊的平行四边形1（矩形）（知识点梳理+配套精练）
知识点梳理：
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例
1.性质 （具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等） 矩 形 菱 形 正方形 (1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题. （2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角. （3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.
（1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高 =对角线_乘积的一半 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长 =2S△ABD =4S△AOB
2.判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分 例：判断正误. 邻边相等的四边形为菱形.（ ） 有三个角是直角的四边形式矩形. （ ） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. （ ） 对边相等的矩形是正方形.（ ）
3.联系 包含关系：
知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳
4.中点四边形 （1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.
5.特殊四边形中的解题模型 （1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.） 图① 图② 图③ 图④
配套精练：
一、单选题
1．在四边形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC.请再添加一个条件，使四边形ABCD是矩形.添加的条件不能是(　　)
A．AB∥DC B．∠A＝90° C．∠B＝90° D．AC＝BD
2．在中，点D是边上的点（与B，C两点不重合），过点D作，分别交，于E，F两点，下列说法正确的是（　　）
A．若，则四边形是矩形
B．若垂直平分，则四边形是矩形
C．若，则四边形是菱形
D．若平分，则四边形是菱形
3．下列命题是真命题的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
D．对角线互相垂直的四边形是菱形
4．如图，在矩形 中， ，点 分别在矩形 各边上， ，则四边形 的周长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（　　）
A． B． C． D．
6．如图将矩形ABCD沿对角线AC折叠，使D落在M处，AM与BC交于E，AB＝4，AD＝8，则BE长为（　　）
A．3 B．3.5 C．4 D．5
7．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E，已知AB=2， ，则AE的长为（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．
8．已知四边形 是矩形，边 在 轴上，边 在 轴上，反比例函数 经过矩形 对角线的交点 .若 的面积为 ,则 的值是(　　)
A．10 B．5 C． D．
9．如图，在 ABCD中，AB=2 ，AD=4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长(　　)
A．2 B．4 C．5 D．
10．如图，用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线 就可以判断，其数学依据是（　　）
A．三个角都是直角的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C．对角线相等的平行四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
二、填空题
11．如图，AC、BD是 ABCD的对角线，要使□ABCD成为矩形，需添加一个条件：　 　．
12．如图，在 ABCD中，E为边BC上一点，以AE为边作矩形AEFG.若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的大小为　 　度.
13．已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为　 　.
14．如图所示，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于E，PF⊥CD于F，连接EF，给出下列四个结论：①AP=EF；②△APD一定是等腰三角形；③∠PFE＝∠BAP；④PD= EC，其中正确结论的序号是　 　.
15．如图，□ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，AB＝4，则□ABCD的面积等于　 　.
16．如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+4上运动.过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为　 　.
17．将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C′点，已知AB＝2，∠DEC′＝30°，则折痕DE的长为　 　．
18．如图， AFDE的顶点F在矩形ABCD的边BC上，点F与点B、C不重合，若△AED的面积为4，则图中阴影部分两个三角形的面积和为　 　.
19．在矩形ABCD中，AB=6，BC=9，E是CD边的中点，过点E作直线EM垂直直线AE交BC边于点M，连接AM．则AM的长为　 　．
20．如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD>AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE=EF，CE=1，则AD=　 　．
三、解答题
21．如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O．若 AO=3，∠OBC=30°，求矩形的周长和面积．
22．如图，矩形 的对角线 ， 相交于点O，且 .求证：四边形 是菱形.
23．如图，矩形ABCD中，点E，F分别在BC、DE上，DF＝CE，BC＝DE．求证AF⊥DE．
24．已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．
25．小明想用一块面积为400平方厘米的正方形纸片，沿着边的方向，裁出一块面积为360平方厘米的长方形纸片，使它的长与宽之比为4：3，小明不知道能否裁得出米，聪明的你帮他想想，他能裁得出来吗(通过计算说明)？
26．如图所示,在正方形ABCD中,点M是对角线BD上的一点,过点M作ME∥CD交BC于点E,作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、当AB∥DC时，四边形ABCD是平行四边形，故此选项错误，符合题意；
B、当∠A=90°，且AB＝DC，AD＝BC，所以四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
C、当∠B=90°，且AB＝DC，AD＝BC所以四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意；
D、当AC＝BD，且AB＝DC，AD＝BC所以四边形ABCD是矩形，故此选项正确，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由题干条件，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形ABCD为平行四边形，根据矩形的判定方法：有一个内角是直角的平行四边形是矩形及对角线相等的平行四边形是矩形一一判断得出答案.
2．【答案】D
【解析】【解答】解：若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；选项A不符合题意；
若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；选项B不符合题意；
若BD=CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；选项C不符合题意；
若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；选项D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形、菱形的判断方法逐项判断即可。
3．【答案】A
【解析】【解答】A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A符合题意；
B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B不符合题意；
C、对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，所以C不符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形；根据菱形的判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；根据矩形的判定方法：对角线相等的平行四边形是矩形；根据正方形的判定方法：对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，即可一一判断得出答案。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，∠ABC=90°，
∵AB=2，BC=3,
∴AC=BD= ，
∵ ，
∴△BEF∽△BAC，
∴ ，同理可得 ，
∴ ，
∴EF+EH=BD= ，
∵ ，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH的周长为2（EF+EH）=2 ，
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质和勾股定理可得AC=BD= ，再根据相似三角形的判定与性质得到 ，两比例式相加可得EF+EH=BD，再证明四边形EFGH是平行四边形即可求解．
5．【答案】C
【解析】【解答】解： 矩形ABCD，
设BE=x，
∵AE为折痕，
∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，
Rt△ABC中，
∴Rt△EFC中，，EC=2-x，
∴，
解得：，
则点E到点B的距离为：.
故答案为：C.
【分析】由矩形性质得∠B=90°，设BE=x，由折叠性质得AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，
由勾股定理求出AC，然后表示出FC，EC，接下来在Rt△EFC中，利用勾股定理求出x，即为点E到点B的距离.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：由矩形及折叠的性质可知：，，，
在和中，
∴(AAS)，
∴，
设，则，，
在中，由勾股定理可得：，即，
解得：，即.
故答案为：A.
【分析】由矩形及折叠的性质可知AB=CD=MC=4，AD=BC=AM=8，∠AMC=90°，证明△ABE≌△CME，得到BE=ME，设BE=x，则ME=x，AE=8-x，然后在Rt△ABE中，根据勾股定理计算即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE=DE，S△BOE=S△DOE= ，
∴S△BDE=2S△BOE= ，
∴ DE AB= ，
又∵AB=2，
∴DE= ，
∴BE= ，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= =1.5，
故答案为：A.
【分析】连接BE，利用利用矩形的性质及已知条件可证得OE为对角线BD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质，可证得BE=DE，利用三角形的面积公式可求出DE的长，即可得到BE的长，然后利用勾股定理求出AE的长.
8．【答案】A
【解析】【解答】解：设双曲线 上E点的坐标是（x，y），
∵E是矩形 对角线的交点，
∴CE=OE
∴OC=2y, 中OC上的高=x
∵ 的面积为 ,
∴ ＝10，xy=10
所以k＝10
故答案为：A
【分析】设双曲线 上E点的坐标是（x，y），根据E是矩形 对角线的交点，得到CE=OE，根据三角形的面积公式求出k.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，
∵平行四边形ABCD，
∴AD=BC=4，AB=CD=，AD∥BC
∵AC⊥BC
∴AC⊥AD
∴∠CAD=∠ACG=∠DGC=90°
∴四边形ACGD是矩形，
∴AD=CG；
∴BG=BC+CG=4+4=8;
在Rt△ABC中，
在Rt△BDC中，
∴ △DBC和△ABC的周长差为
BD+BC+DC-AB-AC-BC=BD-AC=10-6=4.
故答案为：4.
【分析】过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用平行四边形的性质，可证得AD=BC=4，AB=CD=，AD∥BC，再证明四边形ACGD是矩形，根据矩形的性质，可证得AD=CG，由此可求出BG的长，然后利用勾股定理求出BD，AC的长，再求出△DBC和△ABC的周长差就是BD与AC的差，即可求出结果。
10．【答案】C
【解析】【解答】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形，
故答案为：C．
【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定．
11．【答案】或 （答案不唯一）
【解析】【解答】解：因为有一个角是直角的平行四边形是矩形或对角线相等的平行四边形是矩形，
所以添加的条件可以是：或
【分析】利用矩形的判定方法求解即可。
12．【答案】65
【解析】【解答】解：∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=90°，
∵∠CEF=15°，
∴∠AEB=180°-90°-15°=75°，
∵∠B=180°-∠BAE-∠AEB=180°-40°-75°=65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=65°
故答案为：65．
【分析】想办法求出∠B，利用平行四边形的性质∠D=∠B即可解决问题．
13．【答案】48
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，，，
∴在中，(cm)，
∴.
故答案为：48.
【分析】根据矩形的性质可得∠ABC=90°，利用勾股定理求出AB，然后根据矩形的面积公式进行计算.
14．【答案】①③④．
【解析】【解答】解：如图，连接PC，在正方形ABCD中，∠ABP=∠CBP=45°，AB=CB，
∵在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴AP=PC，∠BAP=∠BCP，
又∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC=EF，∠BCP=∠PFE，
∴AP=EF，∠PFE=∠BAP，故①③符合题意；
∵PF⊥CD，∠BDC=45°，
∴△PDF是等腰直角三角形，
∴PD= PF，
又∵矩形的对边PF=EC，
∴PD=EC，故④符合题意；
只有点P为BD的中点或PD=AD时，△APD是等腰三角形，故②不符合题意；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【分析】连接PC，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABP=∠CBP=45°，然后利用“边角边”证明△ABP和△CBP全等，根据全等三角形对应边相等可得AP=PC，对应角相等可得∠BAP=∠BCP，再根据矩形的对角线相等可得EF=PC，对边相等可得PF=EC，再判断出△PDF是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的 倍解答即可．
15．【答案】
【解析】【解答】∵△AOB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2OA，BD=2OB，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
∵OA=AB=4，AC=2OA=8，四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵在Rt△ABC中,由勾股定理得：BC= ，
∴ ABCD的面积是：AB×BC=4×4 =16 .
【分析】根据等边三角形性质求出OA=OB=AB，根据平行四边形性质推出AC=BD，根据矩形的判定推出平行四边形ABCD是矩形；求出AC长，根据勾股定理求出BC，根据矩形的面积公式求出即可.
16．【答案】3
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BD=AC，即当AC最小时，BD就最小；
∵在抛物线 中，顶点（1，3）距离 轴最近，
∴当点A运动到抛物线的顶点时，AC最短为3，
∴BD的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】根据矩形的性质可得BD=AC，即当AC最小时，BD最小，由图象可得当点A运动到抛物线的顶点时，AC最短，据此解答.
17．【答案】4
【解析】【解答】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝90°，
∵∠DEC'＝30°，
∴∠DEC＝30°，
∴DE＝2DC＝2AB＝4．
故答案为：4．
【分析】在 中，DE=2DC，根据矩形的性质，得到DC=AB即可求解．
18．【答案】4
【解析】【解答】解：∵四边形AFDE是平行四边形
∴S△ADE＝S△ADF＝4
∵四边形ABCD是矩形
∴阴影部分两个三角形的面积和＝S△ADF＝4
故答案为：4.
【分析】由平行四边形的性质得S△ADE＝S△ADF＝4，则S阴影=S△ABF+S△CDF=BF·AB+CF·CD=AB·BC=AB·AD=S△ADF，据此解答.
19．【答案】10
【解析】【解答】解：如图，
四边形是矩形，
，，
，
，
E是CD边的中点，
，
在，
设，则，
在中，
，
即①
在中，，
即，
在中，
即②
联立①②即
解得
将代入②，解得（负值舍去）
故答案为：10．
【分析】设，则，再利用勾股定理可得，，所以，再求出x的值即可。
20．【答案】
【解析】【解答】解：
由翻折的性质可知，EB=EB′，∠B=∠AB′E=∠EB′D=90°，
在Rt△EBF和Rt△EB′D中，，
∴Rt△EBF≌Rt△EB′D（HL），
∴BF=DB′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠CDB′=∠EB′D=90°，
∴四边形ECDB′是矩形，
∴DB′=EC=1，
∴BF=EC=1，
由翻折的性质可知，BF=FG=1，∠FAG=45°，∠EGF=∠B=∠AGF=90°，
∴AG=FG=1，
∴AF=．
∴AB=AB′=1+，
∴AD=AB′+DB′=2+，
故答案为：2+．
【分析】先求出DB′=EC=1，再求出AB=AB′=1+，最后利用线段的和差可得AD=AB′+DB′=2+。
21．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形，AO=3，
∴∠ABC=90°，AD=BC，AB=DC，AO=OC，OB=OD，AC=BD，
∴AC=BD=2AO=6，OB=OC，
∴AB= AC=3，
由勾股定理得：BC=3 ，
∴AB=DC=3，AD=BC=3 ，
∴矩形ABCD的周长是AB+BC+CD+AD=6+6 ，
矩形ABCD的面积是AB×BC=3×3 =9 ．
【解析】【分析】利用矩形对角线相等与直角三角形30°角所对边等于斜边的一半，可得 AB= AC=3 ，在直角三角形CBD中可求得BC长，从而可求得矩形的周长与面积.
22．【答案】解：∵ ，
∴四边形OCED是平行四边形.
∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OC=OD，
∴四边形OCED是菱形.
【解析】【分析】由题意根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形OCED是平行四边形，由矩形的对角线相等且平分可得OC=OD，然后根据有一组对边相等的平行四边形是菱形可求解.
23．【答案】证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，∠C=90°，
∴∠ADE=∠DEC ．
又∵BC=DE，
∴AD=DE，
在△DAF和△EDC中
，
∴△DAF≌△EDC，
∴∠AFD=∠C=90°，
∴AF⊥DE．
【解析】【分析】 由矩形的性质及BC=DE，可得AD//BC，AD=BC=DE，∠C=90°， 利用平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，根据SAS证明△DAF≌△EDC，可得∠AFD=∠C=90°， 根据垂直的定义即证．
24．【答案】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵EF⊥CE，
∴∠CEF＝90°，
∴∠CED+∠AEF＝90°.
∵∠CED+∠DCE＝90°，
∴∠DCE＝∠AEF.
∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝DC，
由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2，
∴2AE＝6，
∴AE＝3.
【解析】【分析】根据矩形的四个角都是直角可得 ∠A＝∠D＝90°，由同角的余角相等可得∠DCE＝∠AEF.根据“AAS”可证△AEF≌△DCE，即得AE＝DC.利用矩形的周长2（AD+CD）=16，可得2（AE+DE+CD）＝16 ，从而可求出AE的长.
25．【答案】解：不能．设长方形纸片的长为4x(x>0)厘米，则宽为3x厘米，由题意，得4x·3x
=360，即x2= 30，x> 0，∴x = ，
∴长方形纸片的长为4 厘米∵ > 5，
∴长方形纸片的长大于20厘米∴正方形纸片的面积为400平方厘米，
∴其边长为20屋米，
∴长方形纸片的长大于正方形纸片的边长，
∴不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【解析】【分析】设出长方形的长和宽，根据面积公式计算，判断得到答案即可。
26．【答案】解：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF.
【解析】【分析】 过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P， 由题可得 AP=MF，PM=ME ，由SAS可证 △APM≌△FME ，再利用全等三角形性质可得 AM=EF.

展开更多......

收起↑