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2023年数学中考一轮复习--特殊的平行四边形3（正方形）
知识点梳理：
知识点一：特殊平行四边形的性质与判定 关键点拨及对应举例
1.性质 （具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等） 矩 形 菱 形 正方形 (1)矩形中,Rt△ABD≌Rt△DCA≌Rt△CDB≌Rt△BAC; _两 对全等的等腰三角形.所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题. （2）菱形中，有两对全等的等腰三角形；Rt△ABO≌Rt△ADO≌Rt△CBO≌Rt△CDO;若∠ABC=60°，则△ABC和△ADC为 等边 三角形，且四个直角三角形中都有一个30°的锐角. （3）正方形中有8个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，斜边=直角边.
（1）四个角都是直角 （2）对角线相等且互相平分.即 AO=CO=BO=DO. （3）面积=长×宽 =2S△ABD=4S△AOB. （1）四边相等 （2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角 （3）面积=底×高 =对角线_乘积的一半 (1)四条边都相等，四个角都是直角 (2)对角线相等且互相垂直平分 (3)面积=边长×边长 =2S△ABD =4S△AOB
2.判定 （1）定义法：有一个角是直角的平行四边形 （2）有三个角是直角 （3）对角线相等的平行四边形 （1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形 （2）对角线互相垂直的平行四边形 （3）四条边都相等的四边形 （1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形 （2）一组邻边相等的矩形 （3）一个角是直角的菱形 （4）对角线相等且互相垂直、平分 例：判断正误. 邻边相等的四边形为菱形.（ ） 有三个角是直角的四边形式矩形. （ ） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. （ ） 对边相等的矩形是正方形.（ ）
3.联系 包含关系：
知识点二：特殊平行四边形的拓展归纳
4.中点四边形 （1）任意四边形多得到的中点四边形一定是平行四边形. （2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. （3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. （4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 如图，四边形ABCD为菱形，则其中点四边形EFGD的形状是矩形.
5.特殊四边形中的解题模型 （1）矩形：如图①，E为AD上任意一点，EF过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S1=S2. （2）正方形:如图②，若EF⊥MN，则EF=MN;如图③，P为AD边上任意一点，则PE+PF=AO. （变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则PE+PF的求法利用面积法，需连接PO.） 图① 图② 图③ 图④
配套精练：
一、单选题
1．如图，在学习“四边形”一章时，小明的书上有一图因不小心被滴上墨水，看不清所印的字，请问被墨迹遮盖了的文字应是（　　）
A．四边形 B．梯形 C．矩形 D．菱形
2．下列说法中错误的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．对角线相等的矩形是正方形
C．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
3．如图，正方形ABCD内接于 ，点P在 上，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．如图，已知在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过O点的射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且∠EOF=90°，BO、EF交于点P，则下面结论中：①图形中全等的三角形只有三对；②△EOF是等腰直角三角形；③正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；④BE+BF= OA；⑤ =2OP·OB．正确结论的个数是（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．如图，正方形，点E，F分别在边，上，，， 与交于点M，与交于点N．有如下结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B、点A，以线段为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，点B、C分别在直线y＝2x和y＝kx上，点A，D是x轴上的两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为（　　）
A． B． C．1 D．
8．如图，在边长为2的正方形ABCD中，已知BE＝1，将△ABE沿AE折叠，点G与点B对应，连结BG并延长交CD于点F，则GF的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H、P，若NP=HP，NF=1，则四边形ABMN的面积为（　　）
A．3 B．2.5 C．3.5 D．
10．两个边长都是2的正方形与正方形，位置关系如图所示，其中是正方形的中心，当正方形以点为旋转中心旋转，设两个正方形重叠部分（阴影部分）的面积为，则（　　）
A． B．
C． D．随旋转而变化
二、填空题
11．如图，点E为正方形 对角线 上一点，且 ，则 的度数为　 　.
12．平行四边形的对角线与相交于点O，，请添加一个条件：　 　．使得平行四边形为正方形．
13．命题“对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”成为真命题，须添加一个条件，你认为应添加的这个条件是：　 　。
14．如图，以正方形ABCD的边AB为一边向内作等边△ABE，连结DE，则∠BED=　 　.
15．一个正方形的对角线长为2，则其周长为　 　．
16．边长为1的正方形的对角线的长为　 　；如图，在 中，若 ，则 的度数为　 　．
17．如图所示，在正方形ABCD中，以AB为边向正方形外作等边三角形ABE，连接CE、BD交于点G，连接AG，那么∠AGD的底数是　 　度．
18．如图，正方形 ABCD 中，AD＝ ，已知点 E 是边 AB 上的一动点（不与A、B 重合）将△ADE 沿 DE 对折，点 A 的对应点为 P，当△APB 是等腰三角形时， 线段 AE= 　 　.
三、解答题
19．如图，E是正方形ABCD对角线BD上的一点，求证：AE＝CE．
20．如图，四边形 是正方形，对角线 、 相交于点F， ， .求证：四边形 是正方形.
21．如图，在正方形ABCD中，AE、BF相交于点O且AF＝DE．求证：∠DAE＝∠ABF．
22．如图，在正方形ABCD中，CE=CF，求证：△AEF是等腰三角形.
23．如图，是的垂直平分线，交于点M，过点M作，垂足分别为点E，F，已知．求证：四边形是正方形．
24．正方形的边长为2，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为（ ，0），并写出另外三个顶点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】由题意，得
被墨迹遮盖了的文字应是矩形，
故答案为：C.
【分析】有一组邻边相等的矩形是正方形；有一个角是直角的菱形是正方形，图中已有菱形，那么另一个表中应是矩形.
2．【答案】B
【解析】【解答】解：A. 四边相等的四边形是菱形，正确，不合题意；
B. 对角线相等的矩形是正方形，错误, 符合题意；
C. 一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，不合题意；
D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确，不合题意.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的判断方法：①四边相等的四边形是菱形，②对角线互相垂直的平行四边形是菱形，③一组邻边相等的平行四边形是菱形；正方形的判断方法：对角线互相垂直的矩形是正方形即可一一判断得出答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OB，OC，如图，
∵正方形ABCD内接于 ，
∴
∴
故答案为：B.
【分析】根据正方形的性质可知∠BOC为90°，然后根据同圆中圆周角和圆心角的关系求∠P即可.
4．【答案】B
【解析】【解答】△ACD≌△ACB、△AOB≌△COB、△BOE≌△COF、△AOE≌△BOF，则①不符合题意；
根据△BOE≌△COF可得OE=OF，则△EOF是等腰直角三角形，则②符合题意；
四边形OEBF的面积等于△BOC的面积，则正方形的面积是△BOC面积的4倍，则③符合题意；
根据BE+BF=FC+BF=BC，根据△BOC为等腰直角三角形可得BC= OC= OA，则④符合题意； + = ，则⑤不符合题意.
【分析】由正方形的性质和已知条件得出图形中全等的三角形有四对，得出①不正确；由△AOE≌△BOF，得出对应边相等OE=OF，得出②正确；由△AOE≌△BOF，得出四边形OEBF的面积=△ABO的面积=正方形ABCD的面积，得出③正确；由△BOE≌△COF，得出BE=CF，得出BE+BF=AB=OA，得出④正确；由△AOE≌△BOF，得出AE=BF，得出 + = ，得出⑤不正确。
5．【答案】C
【解析】【解答】解：正方形ABCD中，AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，
∵AF=DE，
∴△ADF≌△DCE（SAS），
∴∠AFD=∠DEC，
∵∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DEC=90°，
∴∠DME=90°，
∴CE⊥DF，故①正确；
设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，
∴，
∵ABCD，
∴△AFN∽△CDN，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，故②正确；
设△ANF的面积为m，
∵ABCD，
∴，△AFN∽△CDN，
∴△AND的面积为3m，△CDN的面积为9m，
∴△ADC的面积=△ABC的面积=12m，
∴，故③错误；
由题可知，
四边形为正方形，
，故④正确．
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质可得AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°，由已知条件可知AF=DE，证明△ADF≌△DCE，得到∠AFD=∠DEC，结合∠ADF+∠AFD=90°可得∠DME=90°，据此判断①；设AF=2，则FB=4，AB=CD=AD=6，易证△AFN∽△CDN，根据相似三角形的性质可得AN，据此判断②；设△ANF的面积为m，根据平行线分线段成比例的性质可得，易证△AFN∽△CDN，然后根据相似三角形的性质可判断③；根据正方形的性质可得∠DMC=∠DAF=90°，证明△CDM∽△DFA，根据相似三角形的性质可判断④.
6．【答案】A
【解析】【解答】解：∵一次函数中，当x＝0时，y＝0＋3＝3，
∴A（0，3），
∴OA＝3；
∵当y＝0时，0＝，
∴x＝ 2，
∴B（ 2，0），
∴OB＝2；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE＋∠ABO＝90°，∠BAO＋∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO.
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，
∴OE＝2＋3＝5，
∴C点坐标为（-5，2），
∵点C在反比例函数（x＜0）图象上，
∴k＝ 5×2＝ 10.
故答案为：A.
【分析】由求出A、B的坐标，即得OA、OB的长，过点C作CE⊥x轴于E，根据AAS证明△AOB≌△BEC，可得BE＝AO＝3，CE＝OB＝2，从而求出OE＝5，即得点C的坐标，然后将点C坐标代入（x＜0）中，即可求出k值.
7．【答案】B
【解析】【解答】解：设正方形的边长为a，则B的纵坐标是a，
把点B的纵坐标代入直线y＝2x的解析式，
得点B的坐标为（ ，a），
则点C的坐标为（ ，a），
把点C的坐标代入y＝kx中得，a＝k（ ），
解得k＝ ，
故答案为：B.
【分析】设正方形的边长为a，根据正方形的性质分别表示出B，C两点的坐标，再将C的坐标代入函数中从而可求得k的值.
8．【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示：设BF与AE相交于M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，
∵△ABE沿AE折叠得到△AGE，
∴AE是线段BG的垂直平分线，
∴∠EMB＝90°，
∴∠EBM+∠BEM＝90°，
∵∠BAE+∠BEM＝90°，
∴∠EBM＝∠BAE，
在Rt△ABE和Rt△BCF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（ASA），
∴CF＝BE＝1，
∴，
又∵∠EBM＝∠FBC，∠BME＝∠BCF，
∴△EBM∽△FBC，
∴，即，
∴，
∴BG＝2BM＝，
∴FG＝BF﹣BG＝3﹣，
故答案为：B.
【分析】设BF与AE相交于M，由ASA证明Rt△ABE≌Rt△BCF，可得CF＝BE＝1，利用勾股定理求出BF的长，证明△EBM∽△FBC可得，据此求出BM的长，利用折叠的性质求出BG＝2BM，利用FG＝BF﹣BG即可求解.
9．【答案】B
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，∠F＝90°，
∴∠ADC＝∠F＝90°，
∵AN⊥AC，∠DAF＝90°，
∴∠FAN+∠DAN＝∠DAC+∠DAN＝90°，
∴∠FAN＝∠DAC．
在△ADC和△AFN中，
，
∴△ADC≌△AFN（ASA），
∴CD＝FN＝1，AC＝AN．
∵AN⊥AC，MN⊥AN，
∴∠ACB＝∠CAN＝∠ANM＝90°，
∴四边形ACMN是矩形，
∴四边形ACMN是正方形，
∵∠CDB＝∠DBE＝90°，
∴CGBE，
又∵NP＝PH，
∴NG＝GE，
设NG＝GE＝x，则FG＝1+x＝AD，DB＝GE＝x，
∵Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠CAD=∠BCD
∴△ADC∽△CDB，
∴．
∴CD2＝AD·DB，
∴12＝（1+x）x，
即x2+x＝1．
四边形ABMN的面积＝S正方形ACMN﹣S△ABC
＝AC2﹣
＝（AD2+CD2）﹣
＝（1+x）2+12﹣
＝x2+x+1.5
＝1+1.5
＝2.5．
故答案为：B.
【分析】根据垂直的概念可得∠ADC＝∠F＝90°，根据同角的余角相等可得∠FAN＝∠DAC，证明△ADC≌△AFN，得到CD＝FN＝1，AC＝AN，易得四边形ACMN是正方形，得到∠CDB＝∠DBE＝90°，推出NG＝GE，设NG＝GE＝x，则FG＝1+x＝AD，DB＝GE＝x，证明△ADC∽△CDB，根据相似三角形的性质可得x2+x＝1，然后根据S四边形ABMN＝S正方形ACMN-S△ABC进行计算.
10．【答案】B
【解析】【解答】解：连接OC、OD设OG、DC交于点M，BC、OE交于点N，
∵四边形ABCD和四边形OEFG都是边长为2的正方形，
∴
∴∠即∠
在△和△中，
∴△
∴
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】如图：连接OC、OD，设OG、DC交于点M，OE、BC交于点N，根据正方形的性质可得OC=OD，∠ODM=∠OCN=45°，∠DOC=∠GOE=90°，S△DOC=S正方形ABCD，根据同角的余角相等可得∠DOM=∠CON，证明△DOM≌△CON，得到S△DOM=S△OCN，推出S=S正方形ABCD，然后结合正方形的面积公式进行计算.
11．【答案】22.5°
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，
∴BC＝AB，∠DBC＝45°，∠BCD=90°
∵BE＝BA，
∴BC=BE
∴∠BEC＝∠BCE＝67.5°，
∴∠DCE＝∠BCD ∠BCE＝90° 67.5°＝22.5°，
故答案为：22.5°.
【分析】根据正方形的性质可得BC＝BA，∠DBC＝45°，∠BCD=90°，根据三角形的内角和以及BE＝BC可得∠BCE＝67.5°，由角的和差可得结果.
12．【答案】∠BAD=90°或AC=BD
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
当∠BAD=90°时，平行四边形ABCD为正方形；
当AC=BD时，平行四边形ABCD为正方形；
故答案为：∠BAD=90°或AC=BD．
【分析】利用正方形的判定方法求解即可。
13．【答案】对角线互相平分
【解析】【解答】解：对角线互相垂直且相等的四边形有可能是菱形；
要想是正方形，对角线互相垂直平分且相等；
故添加的一个条件是对角线互相平分；
故答案为： 对角线互相平分
【分析】根据菱形的性质和正方形的判定定理即可得出。
14．【答案】135
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∵△ABE是等边三角形，
∴AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60 ，
∴∠DAE=30°，
∴AED=∠AED=75°，
∴∠BED=∠BAE+∠AED=60°+75°=135 .
【分析】根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°，根据等边三角形的性质得出AE=AB=AD，∠BAE=∠AEB=60 ，得出∠DAE=30°，再根据等腰三角形的性质得出AED=∠AED=75°，即可得出∠BED=∠BAE+∠AED=135 .
15．【答案】
【解析】【解答】解：由正方形性质设边长为a，已知对角线长为2，
则由勾股定理知： ，
∴，
则周长为 ，
故答案为： ．
【分析】先求出正方形的边长为 ，再利用正方形的周长公式计算即可。
16．【答案】；
【解析】【解答】解：边长为1的正方形的对角线的长=
在 中，
∵
∴
故答案为： ，
【分析】根据正方形的性质和勾股定理即可求出对角线的长，再根据平行四边形的性质得出，结合即可得出结论。
17．【答案】60
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠ABC＝90°，∠ADG＝∠CDG，∠ABD＝45°，
∵GD＝GD，
∴△ADG≌△CDG，
∴∠AGD＝∠CGD，
∵∠CGD＝∠EGB，
∴∠AGD＝∠EGB，
∵△ABE是等边三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°，
∴BE＝BC，∠EBC＝150°，
∴∠BEC＝∠ECB＝15°，
∴∠BGE＝180°﹣∠BEC﹣∠EBG＝180°﹣15°﹣60°﹣45°＝60°，
∴∠AGD＝60°
故答案为60．
【分析】根据已知可求得∠BEC的度数，根据三角形外角定理可求得∠AGD的度数．
18．【答案】2或
【解析】【解答】①当 时：
由正方形性质可得： ,
由折叠性质可得：
△APD是等边三角形
;
②当 时：过P点作 于点F,过P点作 于点G,如下图所示：
四边形 为矩形，
又 ，
又
在四边形 中：
设 ，那么
由勾股定理可得：
解得：
【分析】根据△APB 是等腰三角形可以进行分类讨论：① ,此时根据折叠的性质可以得到△APD是等边三角形，则 ,那么 ,结合正方形的边长便可以求出 ;② ,此时可以结合等腰三角形的性质进行求解；③ ,这种情况下是不符合题意得，所以不作考虑；
19．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE＝CE．
【解析】【分析】利用“SAS”证明△ABE≌△CBE，再利用全等三角形的性质可得AE=CE。
20．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠FDC＝∠DCF＝45°，
∵∠E＝90°，ED＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD＝45°，
∴∠FCE＝∠FDE＝∠E＝90°，
∴四边形DFCE是矩形，
∵DE＝CE，
∴四边形DFCE是正方形.
【解析】【分析】由正方形的性质得∠FDC＝∠DCF＝45°， 由等腰直角三角形的性质得 ∠EDC＝∠ECD＝45°， 进而即可判断出四边形DFCE是矩形， 最后根据一组邻边相等的矩形是正方形得出结论.
21．【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD，
在△ABF与△DAE中
∴△ABF≌△DAE（SAS），
∴∠DAE＝∠ABF
【解析】【分析】由正方形的性质可得∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD， 根据SAS证明△ABF≌△DAE，利用全等三角形的性质即得结论.
22．【答案】证明：
∵正方形ABCD中，
∴AB=AD=BC=DC，∠B=∠D，
∵CE=CF，
∴BE=DF，
在△ABE与△ADF中
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF，
∴△AEF是等腰三角形.
【解析】【分析】根据正方形的性质以及CE=CF可证明△ABE≌△ADF，根据全等三角形的对应边相等可求出AE=AF.
23．【答案】证明：∵是的垂直平分线，
∴，
又∵，
∴；
∵，，，即，
∴四边形是矩形，又，，，
∴，
∴矩形是正方形．
【解析】【分析】根据三个角是直角可证四边形是矩形 ，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质可推出，结合，， 根据角平分线的性质可得ME=MF，根据正方形的判定定理即证结论.
24．【答案】解：建立坐标轴，使正方形的对称中心为原点，
则 ， ，
那么B的坐标是 ，
其对称点D的坐标为 .
【解析】【分析】先找到 ，根据正方形的对称性，可知A点的对称点C的坐标，同样可得出B和D的坐标；

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