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6.3向心加速度
第六章
圆周运动
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为 0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
速度方向改变，一定有加速度
由牛顿第二定律F=ma
加速度方向与合外力方向一致
匀速圆周运动
匀速圆周运动合外力提供向心力，所以加速度指向圆心
一、匀速圆周运动的加速度方向
如图，物体做匀速圆周运动，经Δt从A运动到B，画出Δv的方向
O
A
B
vA
vB
Δv
Δv
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
Δt趋于0时，Δv指向圆心，此时加速度a也指向圆心
向心加速度
二、匀速圆周运动的加速度大小
（传动）
（轴动）
从公式????????=????????????看，线速度一定时，向心加速度与圆周运动的半径成反比；从公式 an＝ω2r 看，角速度一定时，向心加速度与半径成正比。
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘有三个点 A、B、C，如图 所示。其中哪两点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适用于“向心加速度与半径成反比”？给出解释。
?
A
B
C
1、 B、C两点在同一轮上，同轴传动时，这两点的角速度相同，由公式an＝ω2r知ω一定时，向心加速度与半径成正比。
2、 A、B两点在同一个链条上，两点的线速度大小相同，由????????=????????????知v一定时，向心加速度与半径成反比。
?
如图所示，在长为l的细绳下端拴一个质量为m的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为θ时，小球运动的向心加速度an的大小为多少?通过计算说明：要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度。
解 根据对小球的受力分析，可得小球的向心力
Fn=mgtanθ
根据牛顿第二定律可得小球运动向心加速度
an ==????????????=gtanθ
?
根据几何关系可知小球圆周运动半径
r=lsinθ
又an=ω2r，得cosθ=????????????????
?
从此式可以看出，当小球运动角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
推导向心加速度公式
Δv
O
A
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
Δv
B
vB
vA
vA
推导向心加速度公式
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
θ
θ
物体做匀速圆周运动，所以速度的大小????????=????????=????,
?
可以得到，速度矢量三角形与?????????????相似。
?
于是有?????????=????????????，
?
即?????=????????????????，
?
当?????很小时，AB边和AB弧长近似相等，即????????=????????。
?
可得到线速度????=??????????=?????????????，
?
即????????=????????=???? ??????，
?
于是有?????=????????????????=?????????????????,
?
所以向心加速度????=??????????=????????????
?
三、变速圆周运动的向心加速度
Fn=man
at
an
a
Ft
Fn
F
【例题1】如图所示，一小球沿螺旋线自外向内运动，已知其通过的弧长为s时运动时间恒为t，则（　　）
A．小球运动的线速度越来越大
B．小球运动的角速度不变
C．小球运动的加速度越来越大
D．小球所受的合外力不变
【解析】由于小球通过相同弧长所用的时间相等，因此线速度大小不变；角速度?=v/R随半径减小而增大；向心加速度an=v2/r随半径减小而增大；合外力Fn=mv2/r随半径减小而增大。
C
【例题2】（多选）一小球质量为m，用长为L的悬绳（不可伸长，质量不计）固定于O点，在O点正下方0.5L处钉有一颗钉子，如图所示，将悬线沿水平方向拉直无初速度释放后，当悬线碰到钉子后的瞬间（ 　　）
A．小球的线速度没有变化
B．小球的角速度没有变化
C．小球的向心加速度突然增大到原来的2倍
D．以上都不对
【解析】 当悬线碰到钉子后的瞬间，小球水平方向不受力，则由于惯性，小球的线速度没有变化；根据?=v/R小球的转动半径减小，则角速度变大；根据a=v2/r小球的转动半径变为原来的一半，则向心加速度突然增大到原来的2倍。
AC
【例题3】自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们的边缘分别有三个点A、B、C，如图所示。将自行车后轮架起，转动脚踏板时，下列说法正确的是（　　）
A．A、B两点的线速度大小相等，角速度大小也相等
B．A点的向心加速度大于B点的向心加速度
C．B、C两点的角速度大小相等，周期也相等
D．B点的向心加速度大于C点的向心加速度
【解析】A．AB两点在传送带上，是同缘传动的边缘点，所以两点的线速度相等，根据v=ωr，由于半径不同，则角速度不相等，故A错误；
B．AB两点的线速度相等，根据a= ????????????可知，A的半径比较大，所以A点的向心加速度小于B点的向心加速度，故B错误；
C．BC两点属于同轴转动，故角速度相等，周期也相等，故C正确；
D．BC点的角速度是相等的，根据a= ????????????可知，C点的半径比较大，所以C点的向心加速度大于B点的向心加速度，故D错误。
?
C
【例题4】如图所示，水平的木板B托着木块A一起在竖直平面内做匀速圆周运动，从水平位置a沿逆时针方向运动到最高点b的过程中（　　）
①B对A的支持力越来越大?????②B对A的支持力越来越小
③B对A的摩擦力越来越大?????④B对A的摩擦力越来越小
?A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
D
【解析】以A物体作为研究对象，设指向圆心的加速度为???? ，????与水平方向的夹角为???? ，竖直方向根据牛顿第二定律
?????????????????????=????????????????????????
????????????=?????????????????????????????????
可知沿逆时针方向运动到最高点过程中，????增大，支撑力减小，故①错误，②正确。
水平方向根据牛顿第二定律
????????????=????????????????????????
可知沿逆时针方向运动到最高点过程中，????增大，摩擦力减小，故③错误，④正确。

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