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§3 向心加速度
必修 第二册
第六章 圆周运动
思考与讨论：
新课引入
天宫二号空间实验室在轨飞行时，可认为它绕地球做匀速圆周运动。尽管线速度大小不变，但方向却时刻变化，因此，它运动的加速度一定不为0。那么，该如何确定它在轨飞行时加速度的方向和大小呢？
1.向心力的方向？
沿半径指向圆心，与速度方向垂直。
复习与回顾：
只改变线速度的方向不改变速度大小。
新课引入
2.向心力的作用？
3.向心力的大小？
G
FN
F
O
根据牛顿第二定律，物体的加速度方向跟合外力的方向相同。
合力
复习与回顾：
新课讲授
做匀速圆周运动的物体，它所受的合外力沿什么方向？
1.向心加速度：做匀速圆周运动的物体加速度指向圆心，与速度方向始终垂直，因 此也称为向心加速度。
3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小。
一、匀速圆周运动的加速度方向
4.性质：匀速圆周运动是加速度方向时刻变化的变加速曲线运动。
新课讲授
2.方向：指向圆心，与速度方向始终垂直。
v
a
二、匀速圆周运动的加速度大小
根据牛顿第二定律F=ma和向心力大小表达式：
1.向心加速度大小：
2.物理意义：描述速度方向变化的快慢。
3.单位：m/s2
新课讲授
新课讲授
思考与讨论：
对于向心加速度的公式，同学们有各自的看法。从 看，向心加速度与半径成反比；从a=ω2r看，向心加速度与半径成正比。这两个结论是否矛盾？谈谈你的看法。
4.正确认识向心加速度的两种表达式
不矛盾：若角速度ω相同，则an与r成正比，如甲图；
若线速度v大小相同，则an与r成反比，如乙图
新课讲授
新课讲授
思考与讨论：
自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径不一样，它们边缘有三个点A、B、C。其中哪两个点向心加速度的关系适用于“向心加速度与半径成正比”，哪两点适应于”向心加速度与半径成反比”？给出解释。
新课讲授
【例题】如图 所示，在长为 l 的细绳下端拴一个质量为 m 的小球，捏住绳子的上端，使小球在水平面内做圆周运动，细绳就沿圆锥面旋转，这样就成了一个圆锥摆。当绳子跟竖直方向的夹角为 θ 时，小球运动的向心加速度 an 的大小为多少？通过计算说明 ：要增大夹角 θ，应该增大小球运动的角速度 ω。
Fn
m
O
r
F
l
G
新课讲授
解： 根据对小球的受力分析，可得向心力：Fn＝mgtanθ
根据牛顿第二定律可得小球运动的向心加速度 ： (1)
根据几何关系可知小球做圆周运动的半径： r＝lsinθ (2)
把向心加速度公式 an＝ω2r 和(2)式代入(1)式，可得：
从此式可以看出，当小球运动的角速度增大时，夹角也随之增大。因此，要增大夹角θ，应该增大小球运动的角速度ω。
三、拓展学习：用运动学的方法求向心加速度方向和大小
(1)直线运动中的速度的变化量：
v1
v2
Δv
v1
v2
Δv
根据 得：a的方向与△v的方向相同，速度变化量△v是从初速度v1的末端指向末速度v2末端的矢量。
新课讲授
(2)曲线运动中的速度变化量：
A
V1
B
V2
V2
V1
△V
新课讲授
三、拓展学习：用运动学的方法求向心加速度方向和大小
结论：做匀速圆周运动的物体加速度的方向总是指向圆心。
新课讲授
(3)匀速圆周运动中的速度变化量：
三、拓展学习：用运动学的方法求向心加速度方向和大小
设做匀速圆周运动的物体的线速度的大小为v ，轨迹半径为r。经过时间△t，物体从A点运动到B点。尝试用v 、r 写出向心加速度的表达式。
O
B
A
vA
vB
vA
Δv
∴ =
AB
Δv
v
r
∴ Δv =
AB
v
r
当△t 很小很小时，AB=AB=Δs
Δ
θ
Δ
θ
2.根据运动学加速度的大小（ a= △v/ △t ）
∴ an = = ·
AB
v
r
Δv
Δt
Δt
推导：如图可知vA、vB、△v 组成的三角形与ΔABO相似
∴
新课讲授
1．下列说法中正确的是（　　）
A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B．向心加速度描述线速度方向变化的快慢
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．匀速圆周运动是匀变速曲线运动
B
课堂练习
【答案】B
【详解】AB．匀速圆周运动中速率不变，向心加速度描述线速度方向变化的快慢，故A错误，B正确；
CD．匀速圆周运动中，向心加速度的大小不变，方向时刻变化，所以匀速圆周运动是变加速曲线运动，故CD错误。
故选B。
课堂练习
2．如图所示，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A和B是前轮和后轮边缘上的点，若车行进时车轮没有打滑，则（　　）
A．A点和B点的线速度大小之比为1：2
B．A点和B点的线速度大小之比为1：1
C．前轮和后轮的角速度之比为1：1
D．A点和B点的向心加速度大小之比为1：2
B
课堂练习
课堂练习
CD
课堂练习
课堂练习
4．如图甲所示是中学物理实验室常用的感应起电机，它主要是由两个大小相等、直径约为30 cm的感应玻璃盘组成的。其中一个玻璃盘通过从动轮与手摇主动轮连接，如图乙所示。现手摇主动轮以60 r/min的转速匀速旋转，已知主动轮的半径约为8 cm，从动轮的半径约为2 cm，P和Q是玻璃盘边缘上的两点，若转动时皮带不打滑，下列说法正确的是（　　 ）
A．玻璃盘的转动方向与摇把转动方向相同
B．从动轮的转速是240 r/min
C．P点的线速度大小约为3.8 m/s
D．Q点的向心加速度约为48 m/s
BC
课堂练习
课堂练习

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