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中考数学二轮专题复习
《折叠问题》培优练习
一、选择题
1.如图,有一条直的宽纸带,按图折叠,则∠α的度数等于 ( )
A.50° B.60° C.75° D.85°
2.如图，将长方形ABCD纸片沿对角线BD折叠，使点C落在点C/处，BC/交人D于点E，若∠DBC=22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°角(虚线也视为角的边)共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
3.如图，将矩形ABCD沿EM折叠，使顶点B恰好落在CD边的中点N上.若AB＝6，AD＝9，则五边形ABMND的周长为(　　)
A.28 B.26 C.25 D.22
4.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6，将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为 ( )
A. B. C.2 D.4
5.如图，在矩形ABCD中，AB＝8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B 点处，若AB/＝4，则折痕EF的长度为( )
A.8 B.4 C.5 D.10
6.将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则AD：AB的值为(　　)
A. B. C. D.
7.如图矩形ABCD中，AB＝3，BC＝3，点P是BC边上的动点，现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落在点C1处，则点B到点C1的最短距离为(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
8.将一张宽为4cm的长方形纸片(足够长)折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，则这个三角形面积的最小值是( )
A.cm2 B.8cm2 C.cm2 D.16cm2
二、填空题
9.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(3，0)，连结AB，将△AOB沿过点B的直线折叠，使点A落在x轴上的点A'处，折痕所在的直线交y轴的正半轴于点C，则直线BC所对应的函数表达式为　　　　　　.
10.将正方形纸片ABCD按如图所示对折，使边AD与BC重合，折痕为EF，连接AE，将AE折叠到AB上，折痕为AH，则BH：BC的值是 ．
11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG＋DF＝FG．
其中正确的是 ．(把所有正确结论的序号都选上)
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝a．连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为　 ．
13.一张直角三角形纸片ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D为BC边上的任一点，沿过点D的直线折叠，使直角顶点C落在斜边AB上的点E处，当△BDE是直角三角形时，则CD的长为　 　．
14.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿AC折叠，使点B落在D的位置上.若AC＝，OC＝2BC，则点D的坐标 .
三 、解答题
15.如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于点G，连结AG.
(1)求证：△ABG≌△AFG；
(2)求BG的长．
16.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F，
(1)求证：四边形AECF为菱形；
(2)若AB＝4，BC＝8，求菱形的边长；
(3)在(2)的条件下折痕EF的长．
17.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
(1)试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
(2)若AB＝8，DE＝3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG＋PH的值，并说明理由．
18.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．
(1)如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为 ；
(2)如果∠CAD：∠BAD＝4：7，可求得∠B的度数为 ；
操作二：如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．
19.矩形AOBC中，OB＝8，OA＝4.分别以OB，OA所在直线为x轴，y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系.F是BC边上一个动点(不与B，C重合)，过点F的反比例函数y＝(k＞0)的图象与边AC交于点E.
(1)当点F运动到边BC的中点时，求点E的坐标；
(2)连接EF、AB，求证：EF∥AB；
(3)如图2，将△CEF沿EF折叠，点C恰好落在边OB上的点G处，求此时反比例函数的解析式.
20.将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.
（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；
（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.
21.如图，抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)，已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
(3)当k=2时，直线与抛物线交于M、N两点，点P是抛物线位于直线上方的一点，当△PMN面积最大时，求P点坐标，并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
答案
C
D
A.
C.
C.
B.
C.
B
答案为：y＝﹣x＋.
答案为：﹣．
答案为：①③④．
答案为：或.
答案为：3或．
答案为：(﹣0.6，0.8)
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AD＝AB.
由折叠可知，AD＝AF，∠AFE＝∠D＝90°，
∴∠AFG＝90°，AB＝AF.
∴∠B＝∠AFG＝90°.
又∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(H.L.)．
(2)解：∵△ABG≌△AFG，
∴BG＝FG.
设BG＝FG＝x，则GC＝6﹣x，
∵E为CD的中点，
∴EF＝DE＝CE＝3，
∴EG＝x＋3，
在Rt△CEG中，由勾股定理，
得32＋(6﹣x)2＝(x＋3)2，解得x＝2，
∴BG＝2.
证明：(1)∵矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕为EF，
∴OA＝OC，EF⊥AC，EA＝EC，
∵AD∥AC，
∴∠FAC＝∠ECA，
在△AOF和△COE中，
∴△AOF≌△COE，
∴OF＝OE，
∵OA＝OC，AC⊥EF，
∴四边形AECF为菱形；
(2)①设菱形的边长为x，则BE＝BC﹣CE＝8﹣x，AE＝x，
在Rt△ABE中，∵BE2＋AB2＝AE2，
∴(8﹣x)2＋42＝x2，解得x＝5，
即菱形的边长为5；
②在Rt△ABC中，AC＝4，
∴OA＝AC＝2，
在Rt△AOE中，AE＝5，
OE＝，
∴EF＝2OE＝2．
解：(1)△AED≌△CEB′
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C＝BC＝AD，∠B′＝∠B＝∠D＝90°，
又∵∠B′EC＝∠DEA，
∴△AED≌△CEB′；
(2)由折叠的性质可知，∠EAC＝∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB＝∠ECA，
∴∠EAC＝∠ECA，
∴AE＝EC＝8﹣3＝5．在△ADE中，AD＝4，
延长HP交AB于M，则PM⊥AB，
∴PG＝PM．
∴PG＋PH＝PM＋PH＝HM＝AD＝4．
解：操作一：(1)14 (2)35
操作二：∵AC＝9cm，BC＝12cm，
∴AB＝15(cm)，
根据折叠性质可得AC＝AE＝9cm，
∴BE＝AB﹣AE＝6cm，
设CD＝x，则BD＝12﹣x，DE＝x，
在Rt△BDE中，由题意可得方程x2＋62＝(12﹣x)2，
解得x＝4.5，
∴CD＝4.5cm．
解：(1)∵四边形OACB是矩形，OB＝8，OA＝4，
∴C(8，4)，
∵AE＝EC，
∴E(4，4)，
∵点E在y＝上，
∴E(4，4).
(2)连接AB，设点F(8，a)，
∴k＝8a，
∴E(2a，4)，
∴CF＝4﹣a，EC＝8﹣2a，
在Rt△ECF中，tan∠EFC＝＝＝2，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝2，
∴tan∠EFC＝tan∠ABC，
∴∠EFC＝∠ABC，
∴EF∥AB.
(3)如图，设将△CEF沿EF折叠后，点C恰好落在OB上的G点处，
∴∠EGF＝∠C＝90°，EC＝EG，CF＝GF，
∴∠MGE＋∠FGB＝90°，
过点E作EM⊥OB，
∴∠MGE＋∠MEG＝90°，
∴∠MEG＝∠FGB，
∴Rt△MEG∽Rt△BGF，
∵点E(，4)，F(8，)，
∴EC＝AC﹣AE＝8﹣，CF＝BC﹣BF＝4﹣，
∴EG＝EC＝8﹣，GF＝CF＝4﹣，
∵EM＝4，∴＝，∴GB＝2，
在Rt△GBF中，GF2＝GB2＋BF2，
即：(4﹣)2＝(2)2＋()2，∴k＝12，
∴反比例函数表达式为y＝.
证明：(1)DE为x，则DM＝1，EM＝EA＝2﹣x，
在Rt△DEM中，∠D＝90°，
∴DE2＋DM2＝EM2
x2＋12＝(2﹣x)2
x＝，∴EM＝．
(2)设正方形的边长为2，由(1)知，DE＝，DM＝1，EM＝
∴DE：DM：EM＝3：4：5；
(3)△CMG的周长与点M的位置无关．证明：
设DM＝x，DE＝y，
则CM＝2a﹣x，EM＝2a﹣y，
∵∠EMG＝90°，
∴∠DME＋∠CMG＝90°．
∵∠DME＋∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠CMG，
又∵∠D＝∠C＝90°△DEM∽△CMG，
∴
△CMG的周长为CM＋CG＋MG＝.
在Rt△DEM中，DM2＋DE2＝EM2
即x2＋y2＝(2a﹣y)2整理得4a2﹣x2＝4ay，
∴CM＋MG＋CG＝＝4a．
所以△CMG的周长为4a，与点M的位置无关．
解：(1)∵抛物线L1：y=﹣x2+bx+c经过点A(1，0)和点B(5，0)
∴y=﹣(x﹣1)(x﹣5)=﹣(x﹣3)2+4，
∴抛物线L1的解析式为y=﹣x2+6x﹣5
对称轴：直线x=3
顶点坐标(3，4)；
(2)∵直线l将线段AB分成1：3两部分，则l经过点(2，0)或(4，0)，
∴0=2k﹣5或0=4 k﹣5
∴k=或k=.
(3)如图1，设P(x，﹣x2+6x﹣5)是抛物线位于直线上方的一点，
解方程组，解得或
不妨设M(0，﹣5)、N(4，3)∴0＜x＜4
过P做PH⊥x轴交直线l于点H，则H(x，2x﹣5)，
PH=﹣x2+6x﹣5﹣(2x﹣5)=﹣x2+4x，
S△PMN=PH xN=(﹣x2+4x)×4=﹣2(x﹣2)2+8
∵0＜x＜4
∴当x=2时，SPMN最大，最大值为8，此时P(2，3)
(4)如图2，
A(1，0)，B(5，0).由翻折，得D(3，﹣4)，
①当x≤1或3≤x≤5时y随x的增大而增大
②当y=kx﹣5过D点时，3k﹣5=﹣4，解得k=，
当y=kx﹣5过B点时，5k﹣5=0，解得k=1，
直线与抛物线的交点在BD之间时有四个交点，即＜k＜1，
当＜k＜1时，直线l与图象L2有四个交点.

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