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第七章 随机变量及其分布 B卷 能力提升——2022-2023学年高二数学人教A版2019选择性必修第三册单元达标测试卷
【满分：150分】
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
2.设两个独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是( )。
A. B. C. D.
3.袋中装有10个红球，5个黑球，每次随机抽取一个球，若取到黑球，则放回袋中，直到取到红球为止，若抽取的次数为X，则表示“放入袋中5回小球”的事件为( )
A. B. C. D.
4.某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述1次试验的成功次数，则等于( )
A.0 B. C. D.
5.编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为( )
A. B. C. D.1
6.已知离散型随机变量X的分布列如下，则( )
X 0 2 4
P
A.1 B.2 C.3 D.4
7.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为70%.2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加各项目的户数占2019年贫困户总数的比）及各项目的脱贫率见下表.
实施项目 种植业 养殖业 工厂就业 服务业
参加户数占比 40% 40% 10% 10%
脱贫率 95% 95% 90% 90%
那么2019年的脱贫率与全面实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的比值为( )
A. B. C. D.
8.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中女生的人数为,男生的人数为,则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。）
9.下列各对事件中，M,N为相互独立事件的是( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M为“出现的点数为奇数”，事件N为“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个白球，5个黄球（球除颜色外完全相同），现不放回地依次摸出2个球，事件M为“第一次摸到黄球”，事件N为“第二次摸到黄球”
C.一枚硬币掷两次，事件M为“第一次为正面”，事件N为“两次抛掷的结果相同”
D.一枚硬币掷两次，事件M为“第一次为正面”，事件N为“第二次为反面”
10.已知样本数据，，…，的均值和标准差都是10，下列判断正确的是( )
A.样本数据，，…，均值和标准差都等于10；
B.样本数据，，…，均值等于31、标准差等于30；
C.样本数据，，…，的标准差等于0.1，方差等于1；
D.样本数据，，…，的标准差等于2、方差等于4；
11.若随机变量X服从两点分布，其中，，分别为随机变量X的均值和方差，则( )
A. B. C. D.
12.某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X，下列选项中正确的是( )
A. B.
C. D.该同学投篮最有可能命中9次
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.甲、乙两个乒乓球队举行擂台赛，每队两人，比赛规则如下：两队队员各编号1，2，双方先由1号队员比赛，输者被淘汰，胜者继续与对方2号队员比赛，直到某一队队员全部被淘汰为止，另一队获胜.右图中，第m行、第n列的数字表示甲队m号队员战胜乙队n号队员的概率，若已知最后甲队获胜，则甲队1号队员未胜一场的概率是__________.
0.6 0.4
0.7 0.4
14.某地有A,B,C,D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是由A感染的.对于C难以判断是由A或B感染的，于是假定他由A和B感染的概率都是.同样也假定D由A,B和C感染的概率都是.在这种假定下，B,C,D都是由A感染的概率是______________.
15.甲小组有2个男生和4个女生，乙小组有5个男生和3个女生，现随机从甲小组中抽出1人放入乙小组，然后从乙小组中随机抽出1人，则从乙小组中抽出女生的概率是________.
16.某人随机将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时称为放对了,否则称为放错了.设放对的个数记为,则的期望_________________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10分）为了解城市的空气质量，某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示:
AQI 大于300
空气质量等级 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染
天数 6 14 18 27 25 10
（1）从空气质量指数属于，的天数中任取3天，求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率；
（2）已知某企业每天的经济损失Y（单位：元）与空气质量指数X的关系式为,请写出该企业一天的经济损失Y的分布列.
18. （12分）某校10名学生组成该校科技创新周志愿服务队（简称科服队），他们参加活动的有关数据统计如下：
参加活动次数 1 2 3
人数 2 3 5
（1）从科服队中任选3人，求这3人参加活动次数各不相同的概率；
（2）从科服队中任选2人，用表示这2人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列.
19. （12分）为弘扬中华传统文化，某单位举行了诗词大赛，经过初赛，最终甲、乙两人进入决赛，争夺冠军.决赛规则如下：①比赛共设有五道题；②双方轮流答题，每次回答一道，两人答题的先后顺序通过抽签决定；③若答对，自己得1分，若答错，则对方得1分；④先得3分者获胜.已知甲、乙各参加了三场初赛，答题情况统计如下表：
第一场 第二场 第三场
甲 8对2错 7对3错 9对1错
乙 7对3错 10对0错 8对2错
以甲、乙初赛三场答题的平均正确率作为他们决赛答题正确的概率，且他们每次答题的结果相互独立.
（1）若甲先答题，求甲以3:0获得冠军的概率；
（2）若甲先答题，求甲获得冠军的概率；
（3）甲获得冠军是否与谁先答题有关？（不要求写过程）
20. （12分）某社区为丰富居民的业余文化生活，打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”，每晚举行一场，但若遇到风雨天气，则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知，在周到周五这五天的晚上，前三天每天出现风雨天气的概率均为，后两天每天出现风雨天气的概率均为，每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为，且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
（1）求该社区能举行4场音乐会的概率；
（2）求该社区举行音乐会场数X的数学期望.
21. （12分）选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛，如果甲、乙比赛，那么每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，如果甲、丙比赛，那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为.
（1）若采用3局2胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？
（2）若采用5局3胜制，两场比赛甲获胜的概率分别是多少？你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响？
22. （12分）网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查，得到不同年龄段的网民在网上购物的情况，并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格:
年龄（岁）
频数 15 45 45 30 8 7
在网上购物的人数 12 33 35 15 3 2
若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年，把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人，把年龄大于或等于65岁的视为老年人，将频率视为概率.
（1）在青少年、中年人、老年人中，哪个群体网上购物的概率最大？
（2）现从某市青少年网民（人数众多）中随机抽取4人，设其中网上购物的人数为X，求X的分布列及期望.
答案以及解析
1.答案：A
解析：根据独立重复试验公式得，该同学通过测试的概率为.
2.答案：D
解析：由，
得，
即，
。又，
。。
3.答案：C
解析：根据题意可知，如果没有抽到红球，则将黑球放回，然后继续抽取，抽取次数X的可能取值为1,2,3，…，所以“放入袋中5回小球”即前5次都是抽到黑球，第6次抽到了红球，所以，故选C.
4.答案：D
解析：设失败率为p，则成功率为，
的分布列如表所示.
X 0 1
P p 2p
，解得，
，故选D.
5.答案：D
解析：由题意得X的可能取值为0,1,3，
.故选D.
6.答案：B
解析：由已知得，
所以.
7.答案：C
解析：由题表得，2019年的脱贫率为.
所以2019年的脱贫率与全面实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的比值为.故选C.
8.答案：C
解析：由题得,所以.故选C.
9.答案：CD
解析：在A中，,所以M,N不相互独立；在B中，,,所以,所以M,N不是相互独立事件；在C中，,，，，所以M,N是相互独立事件；在D中，抛掷硬币第一次为正面不影响第二次的结果，所以M,N是相互独立事件.故选CD.
10.答案：BD
解析：已知对于样本数据，，…，，均值，标准差.
对于选项A，样本均值，原判断错误；
对于选项B，样本均值，标准差，原判断正确；
对于选项C，样本标准差，方差，原判断错误；
对于选项D，样本标准差，方差，原判断正确.
故选：BD.
11.答案：ACD
解析：对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为，
故，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，故D正确.
故选：ACD.
12.答案：AB
解析：由二项分布的定义可知，，，，故AB正确，C错误；
设该同学投篮最有可能命中m次，则，，即，因为m为正整数，所以，故D错误；
故选：AB.
13.答案：
解析：设事件A为“甲队获胜”，事件B为“甲队1号队员未胜一场”,则事件A包含3个互斥事件：①甲队1号队员战胜乙队1号队员和乙队2号队员；②甲队1号队员战胜乙队1号队员，输给乙队2号队员，甲队2号队员战胜乙队2号队员；③甲队1号队员输给乙队1号队员，甲队2号队员战胜乙队1号队员和乙队2号队员.所以，，故.
14.答案：
解析：本题考查相互独立事件的概率.在这种假定下，B,C,D都是由A感染的概率.
15.答案：
解析：根据题意，记事件为从甲小组中抽出的1人为男生，事件为从甲小组中抽出的1人为女生，事件B为从乙小组中抽出的1人为女生，
则，
所以.
16.答案：1
解析：由题意,的所有可能取值为0,1,2,4,
则,
,所以的期望.
17.答案：（1）设为选取的3天中空气质量等级为优的天数，
则.
（2）由题意可知Y的取值范围为.
,
,
,
因此Y的分布列为
Y 0 220 1480
P
18.答案：（1）这3人参加活动次数各不相同的概率.
（2）由题意知.
,
,
,
所以的分布列为
0 1 2
P
19.答案：（1）甲的正确率为，乙的正确率为，
设“甲答题正确”，“乙答题正确”，
则，，
设“甲以3:0获得冠军”，
则，
所以若甲先答题，则甲以3:0获得冠军的概率为.
（2）由（1）知，甲以3:0获得冠军的概率，
甲以3:1获得冠军的概率
，
甲以3:2获得冠军的概率
，
，即甲获得冠军的概率为.
（3）甲获得冠军与非先答题有关.
20.答案：（1）因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为，所以，则.
因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为，
所以，
又，所以.
设“该社区能举行4场音乐会”为事件A，
则.
（2）X的可能取值为0,1,2,3,4,5.
，
，
，
，
，.
所以.
21.答案：解：（1）采用3局2胜制，甲获胜有两种可能的比分2:0或2:1，因为每局比赛的结果是独立的，所以甲、乙比赛，甲获胜的概率为
甲、丙比赛，甲获胜的概率为.
（2）采用5局3胜制，甲获胜有3种可能的比分3:0，3:1或3:2，
因为每局比赛的结果是独立的，所以甲、乙比赛，甲获胜的概率为
甲、丙比赛，甲获胜的概率为
因为，所以甲、乙比赛，采用5局3胜制对甲有利；
因为，所以甲、丙比赛，无论采用5局3胜制还是采用3局2胜制，甲获胜结果是一样的，这说明比赛局数越多对实力较强者越有利.
22.答案：（1）由题表中的数据知，青少年网上购物的概率为,
中年人网上购物的概率为,
老年人网上购物的概率为,
因为,
所以青少年网上购物的概率最大.
（2）由题意及（1）知，,
,
,
,
,
.
故X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
.

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