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泰勒展开式
知识与方法
泰勒展开式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的阶多项式来逼近函数的方法.在导数题目中命制中,泰勒展开式最大的作用就是把超越函数与初等函数联系起来,使高等数学问题具有初等解法,最常用的方式是放缩整形
点睛:泰勒展开式为高等数学内容,在高中阶段不要求掌握.
1.泰勒展开式的形式
形式1如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有
这里,为皮亚诺型余项.
我们称上式为函数在点处的泰勒展开式.
当时,上式变为,称此式(带有皮亚诺余项)的麦克劳林展开式.
形式2如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有
.
其中为拉格郎日余项,其中位于与之间,这是函数在处的泰勒展开式.
其中,表示的阶导数,等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式,剩余的是泰勒展开式的余项,为的高阶无穷小.
当时,上式变为,称此式为(带有拉格郎日余项)的泰勒展开式.
2.常见函数的泰勒展开式
由泰勒展开式,我们可以得到几个常用的初等函数在处的泰勒展开式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
公式为等比数列求和,将(1)中换成,有,两边积分,得
即,这就是公式(4);
反过来,如果对公式(4)求导,则可得到,将换成,即可得到,此即为公式(1).
由于是奇函数,所以公式(5)右侧只有奇次方项;是偶函数,所以公式(6)右侧只有偶次方项.对公式(5)求导,即得公式(6);反之,对公式(6)求导,即得公式(5).对于公式(5)和(6)中的负号全部改为正号并两式相加,即可得公式(3).公式(3)可以看作是的推广或一般形式;公式(2)可以看作是二项式的推广.
3.常用的泰勒展开式的及其应用
我们从上面的几个展开式截取片断,就构成了初等数学中经常考查的导数不等式:
(1)当时,;当时,;
(2)当时,;当时,
(3)对恒成立;
(4)对恒成立;
(5);
(6)当时,;当时,;
(7)当时,;当时,.
由可得,进而(将换成,在中将换成,即可得,进一步可加强为
典型例题
【例1】已知函数.
(1)若恰为的极小值点.
(i)证明:;
(ii)求在区间上的零点个数;
(2)若,又由泰勒级数知:
.
证明:.
【例2】已知函数,它的导函数为.
(1)当时,求的零点;
(2)当时,证明:.
【例3】已知函数.
(1)若,证明:当时,;当时,;
(2)若是的极大值点,求的值.
【例4】函数.
(1)若,求的值;
(2)为整数,且对于任意正整数,求的最小值.
强化训练
1.设,当时,求证:1.
2.,若时,求的最大值.泰勒展开式
知识与方法
泰勒展开式是将一个在处具有阶导数的函数利用关于的阶多项式来逼近函数的方法.在导数题目中命制中,泰勒展开式最大的作用就是把超越函数与初等函数联系起来,使高等数学问题具有初等解法,最常用的方式是放缩整形
点睛:泰勒展开式为高等数学内容,在高中阶段不要求掌握.
1.泰勒展开式的形式
形式1如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有
这里,为皮亚诺型余项.
我们称上式为函数在点处的泰勒展开式.
当时,上式变为,称此式(带有皮亚诺余项)的麦克劳林展开式.
形式2如果函数在定义域上有定义,且阶导数存在,,则有
.
其中为拉格郎日余项,其中位于与之间,这是函数在处的泰勒展开式.
其中,表示的阶导数,等号后的多项式称为函数在处的泰勒展开式,剩余的是泰勒展开式的余项,为的高阶无穷小.
当时,上式变为,称此式为(带有拉格郎日余项)的泰勒展开式.
2.常见函数的泰勒展开式
由泰勒展开式,我们可以得到几个常用的初等函数在处的泰勒展开式:
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6).
公式为等比数列求和,将(1)中换成,有,两边积分,得
即,这就是公式(4);
反过来,如果对公式(4)求导,则可得到,将换成,即可得到,此即为公式(1).
由于是奇函数,所以公式(5)右侧只有奇次方项;是偶函数,所以公式(6)右侧只有偶次方项.对公式(5)求导,即得公式(6);反之,对公式(6)求导,即得公式(5).对于公式(5)和(6)中的负号全部改为正号并两式相加,即可得公式(3).公式(3)可以看作是的推广或一般形式;公式(2)可以看作是二项式的推广.
3.常用的泰勒展开式的及其应用
我们从上面的几个展开式截取片断,就构成了初等数学中经常考查的导数不等式:
(1)当时,;当时,;
(2)当时,;当时,
(3)对恒成立;
(4)对恒成立;
(5);
(6)当时,;当时,;
(7)当时,;当时,.
由可得,进而(将换成,在中将换成,即可得,进一步可加强为
典型例题
【例1】已知函数.
(1)若恰为的极小值点.
(i)证明:;
(ii)求在区间上的零点个数;
(2)若,又由泰勒级数知:
.
证明:.
【解析】(1)由题意,得,
因为为函数的极值点,所以.
令,则在上单调递增,
因为,
所以在上有唯一的零点,所以.
(ii)由知.
当时,由,得,且,所以在区间上不存在零点;
当时,设,则.
(1)若,今,
则,
所以在上单调递减,
因为,
所以存在,使得.
当时,在上单调递增;
当时,在上单调递减.
(2)若,令,
则,
所以在区间上单调递减,
所以,
又因为,
所以在上单调递减.
(3)若,则在上单调递减.
由(1)(2)(3)得,在上单调递增,在上单调递减.
因为,所在存在使得.
所以,当时,在上单调递增,;
当时,在上单调递减,
因为,所以在区间上有且只有一个零点.
综上,在区间上的零点个数为2个.
(2)因为(1),
对,
两边求导得
,
所以(2)
比较(1)(2)式中的系数,得,所以.
【例2】已知函数,它的导函数为.
(1)当时,求的零点;
(2)当时,证明:.
【解析】(1)函数的定义域为,
当时,.
易知在上为增函数,又,
所以是的零点.
(2)解法1:直接讨论法
当时,.
(1)若时,则,从而成立;
(2)若时,设,则,
,因为,所以,
从而单调递增,所以,
所以在单调递增,
所以,即.
综上所述,有成立.
解法2:泰勒公式高阶借位法
当时,由泰勒公式有,
从而.
从而要证,
只需证即可,
即证.
构造函数,
则,从而单调递增,
所以成立,从而原不等式得证.
解法3:泰勒公式兵分两路法
由泰勒公式,得,
从而可知.
所以要证,
只需证即可,亦即证.
构造函数,
易求得.
显然,从而.
所以原不等式得证.
【例3】已知函数.
(1)若,证明:当时,;当时,;
(2)若是的极大值点,求的值.
【解析】首先,时,.
(1)若,则.
.
.
当时,单调递增,
所以,从而在上单调递增,从而;
当时,单调递减,
所以,从而在上单调递增,从而.
综上可知,若,则当时,;当时,.
证毕.
(2)解法1:必要性探路法
的定义域为有任意阶导数,
是极大值,就说明0附近某区间内其它值.
当由0的负方向趋向于0时,应为递增的,从而,令,得;
当由0的正方向趋向于0时,应为递减的,即,令,则.因此必有,这是是极大值的必要条件.
正递减到0再递减到负,都是负的.如下表所示:
0
0
,且对0附近某区间内都成立,
这是为极大值的充分必要条件.
.
.
是极大值在左右附近有,
这又要求是极大值,
必须有.
所以,得.
从而,其中.
在区间内的正负号与相反,
在区间内,,在区间内,.
在区间递增到再递减;
当时,都有,
这与一起保证了在内是最大值,也是极大值.
解法2:
当时,.
0附近足够小区间内,足 接近2,也有.
在区间内的正负号与相同.
是极大值是极大值在0附近某个区间内,
且在内,,进而得,解得.
此时,符合要求,与都是极大值,从而.
【点睛】解法2的优点是先用除法将与相乘的剥离,只求一阶导数就把对数函数消去,化成分式.容易判定在附近取值的正负号,不需要高阶导数,也不需要再求极限.用泰勒展开式,
得如果三次项系数,在0附近足够小的区间内,三次以上各项和绝对值比三次项小,的正负号与三次项相同,与异号,总有一个大于不是极大值.
要使极大,必须三次项系数,得.此时,的最低次非零项是四次项.在0附近足够小的区间内,的正负号与四次项相同,当时,都小于确实是极大值.
一般地,设是无穷级数,且是常数项之外最低次非零项的系数.则当时,方括号内的,在附近足够小的区间内,足够小,足够接近,正负号与相同,与次项正负号相同.
当是奇数,与时,的正负号相反,一正一负,既不是极大值也不是极小值;
当是偶数,只要都有.当时,都有是极大值;当时,都有是极小值.
【例4】函数.
(1)若,求的值;
(2)为整数,且对于任意正整数,求的最小值.
【解析】(1)易知,用泰勒展开式探索:
令,得,
从而,
要保证附近始终,由必须有,从而.
此时是极小值,在附近.
但仅在范围内可以泰勒展开,无法判断时的变化情况,还需通过的导数判断它在定义域内的变化情况.
从而解法如下:
由,知,
当且仅当(当时),(当)时,从而.
(2)由(1)知,从而.
今,
所以
.
从而,而.
所以的最小值为3.
【点睛】通过第(1)问来处理此问题,联想对(2)中所证不等式两边取对数.如果熟悉在处的泰勒展开式马上就可以看出，当时,,从而更容易想到.
强化训练
1.设,当时,求证:1.
【解析】证明:,
又,故,
由泰勒展开式,
所以,
所以,故.
所以.
2.,若时,求的最大值.
【解析】
.
两式相减,得,
当时,;
当时,令,
当时,单调递减,,即,
故不合题意.
综上所述,.故的最大值为2.

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