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人教B版（2019）选择性必修第一册《2.2.4 点到直线的距离》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）直线的倾斜角是
A、
B、
C、
D、
A. B. C. D.
2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是
A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面
B. 已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
C. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
D. 若，则的夹角是钝角
3.（5分）下列四个命题中，正确的是
A. 直线在轴上的截距为
B. 直线的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4.（5分）如图，四棱锥的底面是菱形，且，，则
A. B. C. D.
5.（5分）两平行直线，之间的距离为
A. B. C. D.
6.（5分）已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为
A. B. C. D.
7.（5分）直线恒过定点
A. B. C. D.
8.（5分）如图，在正方体中，点，分别是，的中点，直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间中三点，，，则下列结论正确的有
A. 与共线的单位向量是
B.
C. 与夹角的余弦值是
D. 平面的一个法向量是
10.（5分）已知直线，其中，下列说法正确的是
A. 当时，直线与直线垂直
B. 若直线与直线平行，则
C. 直线的倾斜角一定大于
D. 当时，直线在两坐标轴上的截距相等
11.（5分）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下面结论中正确的是
A. 点到平面的距离为定值
B. 三棱锥的体积为定值
C. 异面直线与直线所成的角为定值
D. 直线与平面所成线面角为定值
12.（5分）下列说法正确的是
A. 直线必过定点
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线的倾斜角为
D. 过点且垂直于直线的直线方程为
13.（5分）如图，在正四棱锥中，，，分别是，，的中点，动点线段上运动时，下列四个结论中恒成立的为
A. B. C. 面 D. 面
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在空间直角坐标系中，已知点，，点，分别在轴，轴上，且，那么的最小值是 ______.
15.（5分）已知两点，，是直线外一点，则点到直线的距离 ______.
16.（5分）已知二面角为，在与的交线上取线段，且，分别在平面和内，它们都垂直于交线，且，，则的长为 ______.
17.（5分）平面的一个法向量，平面的一个法向量，则平面、平面夹角的余弦值是 ______.
18.（5分）点在轴上运动，点在直线：上运动，若，则的周长的最小值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知直线过点
若直线与直线垂直，求直线的方程；
若直线在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
20.（12分）如图，四边形为长方形，，，点、分别为、的中点．设平面平面
证明：平面；
证明：
21.（12分）已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且
求直线与的交点坐标；
已知直线经过与的交点，且在轴上的截距是在轴上的截距的倍，求的方程.
22.（12分）如图，四棱锥的底面为梯形，，，，，，求平面与平面所成二面角的大小．
23.（12分）如图是圆的直径，点在圆所在平面上的射影恰是圆上的点，且，点是的中点，与交于点，点是上的一个动点．
求证：；
求二面角平面角的余弦值；
若点为的中点，且，求三棱锥的体积．
答案和解析
1.【答案】null;
【解析】解：由于直线的斜率为，
故它的倾斜角是，
故选：
由题意，根据直线的方程，先求出直线的斜率，可得它的倾斜角．
此题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．
2.【答案】C;
【解析】解：对于：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故错误；
对于：根据空间向量的基本定理，，
由选项可知，、、一定共面，则不能构成基底，故错误；
对于：根据空间向量的基本定理有，
，则，
又，
，，，四点共面，故正确；
对于：，，且，，
当，时，，故错误，
故选：
根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案．
此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
3.【答案】B;
【解析】解：选项，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故错误；
选项，直线的倾斜角为，斜率为，存在，故正确；
选项，若两直线的斜率，满足，则两直线互相平行或重合，所以错误；
选项，若两直线的倾斜角为，则它们的斜率不存在，所以错误．
故选：
根据方程直接求解可判断；由倾斜角和斜率的定义可判断；根据直线平行与斜率的关系可判断；由倾斜角为时斜率不存在可判断
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
4.【答案】B;
【解析】解：如图，连接，，且，连接，

由条件可知，，都是全等的等边三角形，
是边长为的等边三角形，
，
，且，
中，，

故选：
根据三角形的性质，结合余弦定理求出，再结合余弦定理能求出结果．
此题主要考查四棱锥的结构特征、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
5.【答案】A;
【解析】
本题给出两条直线互相平行，求平行线间的距离，着重考查了两条平行线的距离公式等知识，属于基础题．
先求出两直线斜率，证明两直线平行，再利用两平行线距离公式即可求解.

解：由题意得：
直线，
，，两直线为平行直线.
直线
两平行直线之间的距离为
6.【答案】B;
【解析】解：直线的一个方向向量为，取直线一个单位方向向量为，
又为直线外一点，且直线过点，，
，，
点到直线的距离为
故选：
根据直线一个方向向量为，取直线的一个单位方向向量为，计算，代入点到直线的距离公式计算即可．
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
7.【答案】A;
【解析】解：直线：，
，令，解得，
故直线恒过定点
故选：
根据已知条件，可得，列出方程组，解出，，即可求解．
此题主要考查直线恒过定点的问题，属于基础题．
8.【答案】B;
【解析】解：建立平面直角坐标系，如图所示：
设正方体的棱长为，则，，，；
所以，，
所以，，，
所以直线与所成角的余弦值为
故选：
建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，即可求出异面直线与所成角的余弦值．
此题主要考查了异面直线所成角的余弦值计算问题，是基础题．
9.【答案】BD;
【解析】解：空间中三点，，，
，，单位向量是与不共线，故错误；
，，，故正确；
，，故错误；
设，则，，，
平面的一个法向量是，故正确．
故选：
利用共线向量和单位向量的定义判断；利用向量垂直的性质判断；利用向量夹角余弦公式判断；利用法向量定义判断
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查两条直线平行，垂直时的斜率关系，考查直线的倾斜角与截距，属于基础题.
利用两直线平行、垂直以及直线的倾斜角与斜率的关系和在两轴上的截距逐项分析，得到结果.
解：对于项，当时，直线的方程为，显然与垂直，所以正确；
对于项，若直线与直线平行，可知，
解得或，经检验均符合题意，所以不正确；
对于项，直线的斜率为，所以直线的倾斜角一定大于，所以正确；
对于项，当时，直线的方程为，
在两坐标轴上的截距分别是，所以不正确；
故选：
11.【答案】ABC;
【解析】解：对于，在正方体中，
直线，平面，平面，所以直线平面，
所以点到平面的距离，即为直线与平面的距离，为定值．故正确；
对于，由于，而为定值，
在正方体中，
，平面，平面，所以平面，
又，所以点到该平面的距离即为直线与平面的距离，为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故正确；
对于，在正方体中，，，，
所以平面，而平面，所以，
故这两条异面直线所成的角为，故正确；
对于，由选项的分析可知，点到平面的距离不变，
所以直线与平面所成线面角，设为，由的长度确定，
即，因为的长度是变化的，故线面角的大小不确定，故错误．
故选：
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解．
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．
12.【答案】ABD;
【解析】解：对于，直线，即直线恒过定点，故正确，
对于，直线，即在轴上的截距为，故正确，
对于，直线的斜率为，
直线的倾斜角为，故错误，
对于，所求直线垂直于直线，
所求直线的斜率，
所求直线的方程为，即，故正确．
故选：
对于，将原式转化为，即可求解，对于，结合截距的定义，即可求解，对于，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解，对于，结合直线垂直的性质，以及点斜式，即可求解．
此题主要考查了直线方程，直线的倾斜角，截距，属于基础题．
13.【答案】AC;
【解析】解：如图，为正方形中心，，，面，
又、、为分别是，，的中点，，，面面，
面，而面，，面，
故选：
根据直四棱锥的性质，判断线面平行、垂直，面面平行，得到求解．
此题主要考查了直四棱锥的性质，线面平行、垂直的判断，是基础题．
14.【答案】;
【解析】解：在空间直角坐标系中，点，，
点，分别在轴，轴上，且，
设，，则，，，
，，
，
当时，
故答案为：
利用题意假设，，得到，，，利用，可得，利用向量的模可得，利用二次函数的性质能求出结果．
此题主要考查向量坐标运算法则、向量垂直的性质、向量的模、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15.【答案】;
【解析】解：，，，
，，
设，的夹角为，
则，
，，
点到直线的距离为：

故答案为：
求出，的夹角和的模长，利用向量法能求出点到直线的距离．
此题主要考查向量坐标运算法则、向量夹角余弦公式、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
16.【答案】17;
【解析】解：，，，，，
，
，
故答案为
利用，两边平方即可求得的长．
此题主要考查求线段的长，考查转化思想的运用，属中档题．
17.【答案】;
【解析】解：平面的一个法向量，平面的一个法向量，
，
设平面与平面夹角为，
，
故答案为：
根据向量与的坐标，分别算出的模和与的数量积，然后用向量的夹角公式算出它们夹角的余弦值，再根据两个平面所成角与它们法向量夹角之间的关系即可求解．
此题主要考查了二面角的计算，属于中档题．
18.【答案】;
【解析】解：设点关于轴的对称点为，则点的坐标为，
设点关于：的对称点为，
则，解得，即点的坐标为，
由对称性可知，，
所以的周长为，
即的周长的最小值为
故答案为：
求出点关于轴的对称点为，点关于：的对称点为，利用对称性将的周长的最小值转化为求的长度即可得解．
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）设直线l的方程为3x-2y+m=0，
则3×（-2）-2×1+m=0，解得m=8，
故直线l的方程为3x-2y+8=0．
（2）当直线l过原点时，斜率为，由点斜式求得直线l的方程是y=，即x+2y=0，
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a，把点A（-2，1）代入方程可得a=-1，
故直线l的方程是x+y+1=0，
综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0．;
【解析】
根据已知条件，结合两直线垂直的条件，即可求解．
根据已知条件，分直线过原点，直线不过原点两种情况讨论，即可求解．
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
20.【答案】证明：（1）取PB中点G，连接FG，EG，

因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以FG∥CB，，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC=AD，
所以DE∥FG，DE=FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，因为DF 平面PBE，EG 平面PBE，DF∥平面PBE，
（2）由（1）知DF∥平面PBE，又DF 平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，
所以DF∥l．;
【解析】
易证四边形为平行四边形，从而可证，进而可证平面，
利用线面平行的性质可证
此题主要考查线面平行的证明，考查线线平行的证明，属基础题．
21.【答案】解：设的方程为，
因为在轴上的截距为，
所以，，
即：
联立得
直线与的交点坐标为
当过原点时，的方程为
当不过原点时，设的方程为，
又直线经过与的交点，
所以，得，
的方程为
综上，的方程为或
;
【解析】此题主要考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、截距式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
利用，可得斜率利用点斜式可得直线的方程，与直线和的交点坐标为
当直线经过原点时，可得方程．当直线不经过过原点时，设在轴上截距为，则在轴上的截距的倍，其方程为：，把交点坐标代入可得
22.【答案】解：由条件知CD⊥DP，AB∥CD，所以AB⊥DP，
又AB⊥AP，AP∩DP=P，所以AB⊥平面PAD，
因为AB 平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD，
过P作PO⊥AD，垂足为O，又平面ABCD∩平面PAD=AD，PO 平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD，
以O为原点，以OA所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，过O且与AD垂直的直线为y轴，建立空间直角坐标系，

在△PAD中，PA=4，PD=3，AD=5，则∠APD=90°，
由OP AD=PA PD，得OP=，
，，
因为AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，所以AB⊥AD，
又AB∥CD，所以AB，CD垂直于x轴，平行于y轴，
所以P（），A（），B（），C（），，，，
设平面PBA的法向量，则，可取，
同理可得平面PBC的法向量，
设平面PBA与平面PBC所成二面角的大小为θ，
则|cosθ|=，
所以平面PBA与平面PBC所成二面角的大小为arccos和．;
【解析】
由已知得，可得平面，从而平面平面，过 作，则平面，建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，利用向量法求出二面角的大小．
此题主要考查二面角的平面角，属于中档题．
23.【答案】（1）证明：∵点P在圆O所在平面上的射影恰是圆O上的点C，
∴PC⊥平面 ABC，
∵BC 平面 ABC，
∴BC⊥PC，
又BC⊥AC，且PC∩AC=C，PC，AC 平面PAC，
所以BC⊥平面PAC，又PA 平面PAC，所以BC⊥PA．
（2）解：∵PC⊥平面ABC，BC，OC 平面ABC，
所以PC⊥BC，PC⊥OC，
∴∠BCO为二面角B-PC-O的平面角．
设AC=2BC=2，则AB=，OA=OB=OC=，
由∠BCO=∠OBC，∠BCO为锐角，
在直角△ABC中可得co∠ABC==，故cos∠BCO=，
故二面角B-PC-O平面角的余弦值为．
（3）解：在△PAB中，点D是PA的中点，点O是AB的中点，所以E为△PAB的重心，
则在△POC中有=，
又点F为PC的中点，所以=，于是==，
所以===，VP-BEF=VP-BOC，
在直角△ABC中，AB=2，AC=2BC，
∴S△ABC=，S△BOC=S△ABC=，
从而VP-BOC=S△BOC PC==．
VP-BEF=VP-BOC=，
所以三棱锥P-BEF的体积为．;
【解析】
通过证明平面来证得；
判断出二面角平面角，解直角三角形求得其余弦值；
首先判断出，然后结合锥体体积公式求得三棱锥的体积．
此题主要考查线面垂直判定定理和利用向量法求解二面角问题，三棱锥体积问题，属于中档题．

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