资源简介

2021-2022学年山西省运城市高一（上）期末数学试卷
一、单选题（本大题共 12小题，共 60.0分）
1. 下列各角中，与角1560°终边相同的角是( )
A. 180° B. 240° C. 120° D. 60°
2. 已知集合 = { 2,1,2,3}， = { | 1 < ≤ 2}，则 ∩ ( ) = ( )

A. B. {1,2} C. { 2,3} D. { 2,1,2}
3. 设 ∈ ，则“ 2 < 0”是“| 1| < 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 如果 ， ， ∈ ，且 ≠ 0，那么下列命题中正确的是( )
A. 若1 < 1，则 > B. 若 > ，则 >

C. 若 3 > 3，则1 < 1 D. 若 > ，则2 > 2

5. 下列函数中，同时满足：①在(0, )上是增函数；②为奇函数；③最小正周期为 的
4
函数是( )
A. = 2 B. = 2 C. = D. = 2
6. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、
有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患．为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案
演练，专家假设蝗虫的日增长率为6%，最初有 0只，则大约经过( )天能达到最
初的1200倍．
(参考数据： 1.06 ≈ 0.0583， 1.6 ≈ 0.4700， 1200 ≈ 7.0901， 2000 ≈ 7.6009. )
A. 122 B. 124 C. 130 D. 136
7. 函数 ( ) = sin( ) + cos( )的最大值是( )
6 3
A. √3 B. 1 C. √3 D. 2
2
8. 函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, < < 0)，其部分图象如图所示，则
( ) = ( )
2
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A. √3 B. √2 C. 1 D. 1
2 2 2
9. 已知二次函数 ( ) = 2 + ( ∈ )的值域为[0,+∞)，则4 + 1的最小值为( )

A. 16 B. 12 C. 10 D. 8
10. 已知函数 ( ) = 2 4 + 2, ≥ 0,2 + 2, < 0, 则函数 ( ) = ( ) 2 的零点个数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
11. 将函数 ( ) = 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩小
3
到原来的1倍，纵坐标保持不变，得到函数 = ( )的图象，若 ( 1) ( 2) = 1( 1 ≠2
)，则| 1+ 2 |2 的最小值为( )2
A. B. 2 C. D.
6 3 12 3
12. 已知函数 ( ) = ln(√ 2 + 1 + ) 1 + 1且 (2 ) + ( 3) > 2，则实数 的取
3
值范围为( )
A. (1, +∞) B. (3,+∞) C. (3 , +∞) D. (4,+∞)
2
二、单空题（本大题共 4小题，共 20.0分）
13. 命题“ ∈ ， < 2”的否定是______．
14. 不等式 2 + 2 + 1 > 0的解集为 ，则 的取值范围为______．
15. 已知函数 ( ) = 2 2 + 2 ， ∈ [0, ]的值域为[0, 1]，则实数 的取值范围
2
为______．
16. 已知函数 ( ) = | |， ( ) = 8，若对任意的 1 ∈ [2,+∞)，都存在 2
∈
[ 2, 1]，使得 ( 1) ( 2) ≥ ，则实数 的取值范围为______．
三、解答题（本大题共 6小题，共 70.0分）
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17. 已知角 的顶点在坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ( √3,√6)．
(1)求 ；
(2)求sin2 4 2 的值．
3 cos
18. 已知幂函数 ( )的图象经过点 (3,9)．
(1)求 ( )的解析式；
(2)用定义证明：函数 ( ) = ( ) 2在区间(0,+∞)上单调递增．

19. 已知函数 ( ) = 2√3 6 2 + 3．
(1)求函数 ( )的最小正周期；
(2)求 ( )的单调递增区间．
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20. 王先生发现他的几位朋友从事电子产品的配件批发，生意相当火爆．因此，王先生
将自己的工厂转型生产小型电子产品的配件．经过市场调研，生产小型电子产品的
配件．需投入固定成本为2万元，每生产 万件，还需另投入 ( )万元，在年产量
不足8万件时， ( ) = 1 2 + 2 (万元)；在年产量不低于8万件时， ( ) = 6 +
6
450 64(万元).每件产品售价为4元．通过市场分析，王先生生产的电子产品的配
+2
件都能在当年全部售完．
(1)写出年利润 ( )(万元)关于年产量 (万件)的函数解析式；
(2)求年产量为多少万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最
大？并求出年利润的最大值？
21. 已知函数 ( ) = ( + 4)( > 0)2 ．
(1)求函数 ( )的定义域；
(2)若对任意 ∈ [4,+∞)恒有 ( ) > 1，求实数 的取值范围．
22. 已知函数 ( ) = 1 2 2( + ) √3 2 ．
4
(1)求函数 ( )的最大值及相应 的取值；
(2)方程 ( ) = 在[0, ]上有且只有一个解，求实数 的取值范围；
2
(3)是否存在实数 满足对任意 ∈ [ 3 , 3]，都存在 ∈ ，使 2 + + 4 > ( )
1 2 2 2 1 1 2
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成立．若存在，求 的取值范围；若不存在，说明理由．
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答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据终边相同的角相差360°的整数倍，
故与1560°终边相同的角可表示为{ | = 360° + 1560°, ∈ }．
则当 = 4时， = 4 × 360° 1560° = 120°，
当 = 5时， = 5 × 360° + 1560° = 240°，
故选： ．
根据终边相同的角相差360°的整数倍，进行求解即可．
本题主要考查终边相同的角的集合，属基础题．
2.【答案】
【解析】解：∵ = { 2,1,2,3}， = { | 1 < ≤ 2}，
∴ = { | ≤ 1或 > 2}，

∴ ∩ ( ) = { 2,1,2,3} ∩ { | ≤ 1或 > 2} = { 2，3}．

故选： ．
由集合 ，求得 ，进行集合的运算即可求得答案．

本题主要考查了集合补集、交集的运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基
础题．
分别解出不等式： 2 < 0，| 1| < 1，即可判断出结论．
【解答】
解：由 2 < 0解得：0 < < 1；
由| 1| < 1解得：0 < < 2．
∵ (0,1) (0,2)
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∴“ 2 < 0”是“| 1| < 1”的充分不必要条件．
故选： ．
4.【答案】
【解析】解：对于 ，若 = 1， = 1，满足1 < 1，但 > 不成立，错误；

对于 ，若 < 0，则 < ，错误；
对于 ，若 = 2， = 1，满足 3 > 3，但1 < 1不成立，错误；

对于 ，由指数函数的单调性知，正确．
故选： ．
由不等式的基本性质逐一判断即可．
本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题．
5.【答案】

【解析】解：对于 ：函数 = 2 的最小正周期为 ，不满足，故 A错误；
2
对于 ：函数 = 2 是偶函数，不满足，故 B错误；
对于 ： = 的最小正周期为2 ，不满足，故 C错误；
对于 ： = 2 是奇函数，且周期 = 2 = ，
2
令
+ 2 ≤ 2 ≤ + 2 ，所以 + ≤ ≤ + ，
2 2 4 4

所以函数 = 2 的递增区间为[ + , + ]， ∈ ，
4 4
所以函数 = 2 在(0,
)上是增函数，故D正确．
4
故选： ．
直接利用函数的图象和性质的应用判断 、 、 、 的结论．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象和性质的应用，主要考查
学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，蝗虫最初有 只且日增长率为6%，
0
设经过 天后蝗虫数量达到原来的1200倍，
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则 0(16%)
= 1200，
0
∴ 1.06 = 1200，
∴ = 1200= 1200 ≈ 121.614，
1.06 1.06
∵ ∈ ，
∴大约经过122天能达到最初的1200倍．
故选： ．
根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解： ( ) = cos sin cos sin = √3
6 6 3 3 2
1 1 √3 = √3 ，
2 2 2
因为 1 ≤ ≤ 1，
所以函数 ( )的最大值是√3，
故选： ．
利用两角差的正弦与余弦及正弦函数的值域可求得答案．
本题考查两角差的正弦与余弦，考查正弦函数的有界性，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由图象可知， = 1，
因为5 ，11 是函数 ( )的两个相邻的零点，
12 12
所以 = 11 5 = ，即 = ，
2 12 12 2
所以 = 2 = 2 = 2，

所以 ( ) = sin(2 )，
将点(5 , 0)代入 ( ) = sin(2 )中，得sin(2 × 5 ) = 0，
12 12
所以5 = ， ∈ ，则 = 5 ， ∈ ，
6 6
因为 < < 0，
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所以当 = 0时， = 5 ，
6
故 ( ) = sin(2 5 )，
6
所以 ( ) = sin( 5 ) = 1．
2 6 2
故选： ．
由图知， = 1，最小正周期 = ，由 = 2 ，求得 的值，再将点(5 , 0)代入函数的
12
解析式中，求出 的值，即可．
本题考查利用图象求函数的解析式，理解 = ( + )中每个参数的含义是解题的
关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：由题意知 > 0， = 1 4 = 0， = 1， > 0，
4
∴ 4 + 1 ≥ 2√ 4 = 8，当且仅当4 = 1，即 = 1， = 1时取等号．
4
故选： ．
由二次函数的性质可得 = 1， > 0，然后结合基本不等式即可求解．
4
本题主要考查了二次函数的性质及利用基本不等式求解最值，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解： ( ) = ( ) 2 的零点个数等于 ( )的图象与 = 2 的图象的交
点个数，由图可知， ( )的图象与 = 2 的图象的交点个数为2．
故选： ．
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由题意，画出函数图象，再分析交点个数即可．
本题考查函数的零点与方程的根的关系，考查学生的数形结合能力，属于中档题．
11.【答案】

【解析】解：将函数 ( ) = 的图象向左平移 个单位长度，再将图象上所有点的横
3
坐标缩小到原来的1倍，纵坐标保持不变，得到函数 = ( ) = sin(2 + )，
2 3
( ) = 1， ( ) = 1，

∵ ( ) ( ) = 1( ≠ )，
1 2 1 2
∴ ( ) = 1且 ( ) = 1或 ( ) = 1且 ( ) = 1，
1 2 1 2
作 ( )的图象，
∴ | 1+ 2 | 5 的最小值为| + 12 12 | = ．
2 2 6
故选： ．
直接利用函数的图象的伸缩变换和平移变换，求出函数的关系式，进一步利用函数的性
质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，函数的图象的伸缩变换和平移变换，
正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数 ( ) = ln(√ 2 + 1 + ) 1 + 1，定义域为{ | ≠ 0}，
3
满足 ( ) = ln(√ 2 + 1 ) 1 + 1 = ln(√ 2 + 1 ) + 1 + 1，
( )3 3
所以 ( ) + ( ) = 2，令 ( ) = ( ) 1，所以 ( ) + ( ) = 0，所以 ( )为奇函
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数，
(2 ) + ( 3) > 2 (2 ) + ( 3) > 0 (2 ) > (3 + )，
函数 = ln(√ 2 + 1 + )， = 1 + 1在(0,+∞)均为增函数，
3
所以 ( ) = ln(√ 2 + 1 + ) 1 + 1在(0,+∞)为增函数，
3
所以 ( )在(0, +∞)为增函数，
因为 ( )为奇函数，所以 ( )在 为增函数，
所以2 > 3 + ，解得 > 3．
故选： ．
令 ( ) = ( ) 1，判断 ( )的单调性与奇偶性，将不等式 (2 ) + ( 3) > 2转化
为 (2 ) > (3 + )，利用 ( )的单调性即可求解 的取值范围．
本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合，考查不等式的求解，考查转化思想与运算求
解能力，属于中档题．
13.【答案】 0 ∈ ， 0 ≥ 20
【解析】解：根据题意，命题“ ∈ ， < 2”是全称命题，
其否定为： 0 ∈ ， 0 ≥ 20，
故答案为： 0 ∈ ， 0 ≥ 20．
根据题意，由全称命题和特称命题的关系，分析可得答案．
本题考查命题的否定，注意全称命题和特称命题的关系，属于基础题．
14.【答案】0 ≤ < 1
【解析】解：根据题意，分情况讨论；
①、 = 0时，不等式为1 > 0，恒成立，
即解集为 ，符合要求；
②、 ≠ 0时，不等式 2 + 2 + 1 > 0对应的二次函数的图象全部都在 轴上方，
> 0
即 (2 )2 < 4 ，解可得，0 < < 1；
综合可得： 的取值范围是0 ≤ < 1；
故答案为：0 ≤ < 1．
根据题意，首先讨论二次项系数，分2种情况讨论：①、 = 0时，②、 ≠ 0时，分
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别求出 的范围，求并集可得答案．
本题考查一元二次不等式的应用，注意首先要对二次项系数分类讨论，以免出错．
15. 【答案】[ , ]
3 2
【解析】解：设 = ，
则 = 2 2 + 2 = 2( 1)2 + 1，
2 2
∵ ∈ [0, 1]， ∈ [0, ]，
2
∴ 必须取到1，
2
∴ ≥ ，
3
又 =

时， = 0， = 0，
2
∴ ≤ ，
2
∴ ≤ ≤ ．
3 2

故答案为：[ , ]．
3 2
利用换元法转化为二次函数的问题，根据其值域即可实数 的取值范围．
本题考查三角函数的基本关系，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中
档题．
16.【答案】( ∞, 7]
4
【解析】解：∵ ∈ [2,+∞)， ∈ [ 2, 1]，
1 2
∴ ( ) > 0，
2
∴ ( 8 ) | | ≥
2 1
，
2

即对任意的 ∈ [2,+∞)，都存在 ∈ [ 2, 1]，使| | ≥1
1 2 8
恒成立，
2 2
∴有| | ≥ (
) =
1 8 7，
2 2
当 ≤ 0时，显然不等式恒成立；

当0 < < 2时，2 ≥ ，解得0 < ≤ 7；
7 4
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当 ≥ 2时，| | ∈ [0, +∞)，此时不成立．1
综上所述 的取值范围为：( ∞, 7],
4
故答案为：( ∞, 7]．
4

由 ( ) = 8， ∈ [ 2, 1]，可得 ( ) > 0，故将问题转化为| | ≥2 2 1 8恒成 2 2
立，求解即可．
本题考查了任意及存在问题，难点在于将问题转化为两个最值之间的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1) ∵角 的终边经过点 ( √3,√6)，
∴由三角函数的定义知 = = √2；

(2) ∵ ≠ 0，
∴ sin2 4 2 = tan2 4 = √2．
3 cos 3 3
【解析】(1)由题意利用任意角的三角函数的定义即可求解．
(2)由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了任意角的三角函数的定义，同角三角函数基本关系式在三角函数求值中
的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18.【答案】(1)解：设 ( ) = ，则 (3) = 3 = 9，解得 = 2，∴ ( ) = 2；
(2)证明：由(1)可知 ( ) = 2 2，任取 、 ∈ (0,+∞)且 > 1 2 1 2，
2 2
则 ( ) ( ) = ( 2 ) ( 2 )1 2 1 21 2
= ( )( + ) + 2( 1 2) = ( )( + + 2 )
1 2 1 2 1 2 1 2
，
1 2 1 2
∵ > > 0，则 > 0， + + 2 > 0
1 2 1 2 1 2 ， 1 2
故 ( ) > ( )，1 2
因此函数 ( )在(0, +∞)上为增函数．
【解析】(1)设出函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式即可；
(2)根据单调性的定义证明函数的单调性即可．
本题考查了幂函数的定义，根据函数的单调性的定义证明函数的单调性问题，是基础题．
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19.【答案】解：(1) ( ) = 2√3 6 2 + 3 = √3 2 + 3 2 =
2√3sin(2 + )，
3
可得 = 2 = ，即函数 ( )的最小正周期为 ．
2
(2)令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ， ∈ ，
2 3 2
解得 5 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
12 12
即函数 ( )的单调递增区间为[ 5 + , + ]， ∈ ．
12 12
【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，进而根据正弦函数的周期
公式即可求解；
(2)利用正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的周期公式，正弦函数的单调性，考查
了转化思想和函数思想，属于基础题．
20.【答案】解：(1) ∵每件商品售价为4元，则 万件商品销售收入为4 万元，
当0 < < 8时， ( ) = 4 (1 2 + 2 ) 2 = 1 2 + 2 2，
6 6
当 ≥ 8时， ( ) = 4 (6 + 450 64) 2 = 62 2 450，
+2 +2
1 2 + 2 2,0 < < 8
∴ ( ) = { 6 ．
62 2 450 , ≥ 8
+2
(2)若0 < < 8，则 ( ) = 1 ( 6)2 + 4，
6
当 = 6时， ( )取得最大值 (6) = 4万元，
若 ≥ 8，则 ( ) = 66 [2( + 2) + 450] ≤ 66 2√2( + 2) 450 = 66 60 = 6，
+2 +2
当且仅当2( + 2) = 450，即 = 13时， ( )取得最大值6万元．
+2
∵ 4 < 6，
∴当年产量为13万件时，王先生在电子产品的配件的生产中所获得的年利润最大，年利
润的最大值为6万元．
【解析】(1)根据已知条件，结合利润=销售收入 固定研发成本 产品生产成本的公式，
分0 < < 8， ≥ 8两种情况讨论，即可求解．
(2)根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数
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的最大值，再通过比较大小，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题
的关键，属于中档题．
21. 2【答案】解：(1)由 + 4 > 0得， 4 + > 0，等价于 ( 2 4 + ) > 0，

∵方程 2 4 + = 0的 = ( 4)2 4 = 16 4 ，
当 < 0，即 > 4时， 2 4 + > 0恒成立，解得 > 0，
当 = 0，即 = 4时，原不等式即为 ( 2)2 > 0，解得 > 0且 ≠ 2；
当 > 0，即 < 4，又 > 0，即0 < < 4时，
方程 2 4 + = 0的两根 = 2 √4 、 = 2+ √4 ，
1 2
∴解得0 < < 2 √4 或 > 2+ √4 ，
综上可得当 > 4时，定义域为(0,+∞)，
当 = 4时，定义域为{ | > 0且 ≠ 2}，
当0 < < 4时，定义域为{ |0 < < 2 √4 或 > 2+ √4 }；
(2)对任意 ∈ [4,+∞)恒有 ( ) > 1，
即 + 4 > 2对 ∈ [4,+∞)恒成立，

∴ > 6 2，而 ( ) = 6 2 = ( 3)2 + 9， ∈ [4,+∞)在 ∈ [4,+∞)上是减函
数，
∴ ( ) = (4) = 8，

所以实数 的取值范围为(8,+∞)．
2
【解析】(1)由 + 4 > 0得， 4 + > 0，等价于 ( 2 4 + ) > 0，然后分 < 0，

= 0， > 0讨论；
(2)将问题转化为 + 4 > 2对 ∈ [4,+∞)恒成立，即 > 6 2，求解即可．

本题考查了分类讨论思想及恒成立问题，难点在于问题(1)中定义域的求解，属于中档
题．
22.【答案】解：(1) ( ) = 2 √3 2 = 2 (2 )．
3
令2 = 2 + ，解得 = + 5 ，
3 2 12
∴函数 ( )的最大值为2，此时 = + 5 ( ∈ )；
12
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(2)方程 ( ) = 在[0, ]上有且有一个解，即函数 = ( )与函数 = 在[0, ]上只有
2 2
一个交点．
∵ ∈ [0, ]，
2
∴ ≤ 2 ≤ 2 ．
3 3 3
∵函数 = ( ) = 2 (2 )在[0, 5 ]上单调递增，在[5 , ]上单调递减，且 (0) =
3 12 12 2
2 ( ) = √3， (5 ) = 2， ( ) = √3，
3 12 2
∴ √3 ≤ < √3或 = 2；
(3)由(1)可知 ( ) = 2 (2 )，
3
∴ ( ) = 2．
2
实数 满足对任意 ∈ [ 3 , 3]，都存在 ∈ ，使得 2 + + 4 > ( )成立，即 2 +1 2 2 2 1 1 2 1
+ 6 > 0成立，
1
令 ( ) = 2 + + 6，其对称轴 = ，∵ ∈ [ 3 , 3]，
2 2 2
∴ ①当 ≤ 3时，即 ≥ 3， ( ) = ( 3) = 33 3 > 0，∴ 3 ≤ < 11
2 2
；
2 4 2 2
②当 3 < < 3，即 3 < < 3时， ( ) = ( ) = 6 2> 0，∴ 3 < < 3；
2 2 2 2 4
③当3 ≤ ，即 ≤ 3时， ( ) = (3) = 33+ 3 > 0，∴ 11 < ≤ 3．
2 2 2 4 2 2
综上可得，存在满足题意的实数 ， 的取值范围是( 11 , 11)．
2 2
【解析】(1)利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的最值即可求解．
(2)根据函数与方程的关系转化为两个函数交点问题，再结合三角函数的性质求解即可．
(3)由(1)可知 ( ) = 2 (2 )，实数 满足对任意 ∈ [ 3 , 3]，都存在 ∈ ，使
3 1 2 2 2
2 + + 4 > ( )成立等价于 2 + + 6 > 0成立，利用二次函数的性质，分类讨
1 1 2 1 1
论即可求解．
本题考查三角函数的性质、实数的取值范围的求法，考查换元法等基础知识，考查运算
求解能力，属于中档题．
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