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能力专题12 抽象概括能力
探究1：对抽象函数的研究
【典例剖析】
例1. (2022·江西省·联考题) 对于定义在上的函数，如果存在实数，使得对任意实数恒成立，则称为关于的“函数”已知定义在上的函数是关于和的“函数”，且当时，的值域为，则当时，的值域为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1.(2021·全国·真题) 写出一个同时具有下列性质的函数 ．
；当时，；是奇函数．
练1-2. (2021·江苏省南京市·月考) 已知函数满足当时，，且对任意实数，满足，当时，，则下列说法正确的是( )
A. 函数在上单调递增 B. 或
C. 函数为非奇非偶函数 D.
【规律方法】
培养抽象概括能力的路径与方法：
（1）概念教学从具体上升到抽象，如函数的概念、函数的单调性、异面直线所成的角等概念具有高度抽象性，概念教学是一个从特殊到一般的引出过程，即先通过实例、图形对概念获得初步的感性认识，然后通过实例。图形进行分析、比较，抽象概括出概念的本质属性；
（2）总结方法从特殊到一般，提升抽象概括能力；
（3）知识迁移中培养抽象概括能力，数学知识之间存在很强的相关性与相似性，如讲“双曲线的几何性质”时，可以通过归纳椭圆的几何性质，再推理、概括出双曲线的一系列类似性质；
（4）知识拓展中培养抽象概括能力，在对原有知识的消化和吸收上再进行延伸和拔高，抽象概括出一般规律，再将其拓展和推广。
探究2：数学建模应用型问题
【典例剖析】
例2. (2022·全国·联考) 中医药传承数千年，治病救人济苍生中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果”年月某地爆发了新冠疫情，医护人员对确诊患者进行积极救治现有位症状相同的确诊患者，平均分成，两组，组服用甲种中药，组服用乙种中药服药一个疗程后，组中每人康复的概率都为，组人康复的概率分别为，，．
设事件表示组中恰好有人康复，事件表示组中恰好有人康复，求
若服药一个疗程后，每康复人积分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好
【变式训练】
练2-1.(2022·江苏省·模拟) 全球疫情持续扩散与变异，抗病毒的药也在不断地调整配方，生产新的药品来治疗新冠肺炎．现有某厂研制了一种新药，为检验新药对新冠肺炎的治疗效果，对名阳性感染者分两组每组名分别用原药与新药进行治疗，连续用药天后，检测每名感染者血液中的指标，得出数据如下：
用原药
用新药
用原药和新药的指标的样本平均数分别记为和．
求，；
当的指标不大于时，医学上认为该项指标正常，否则不正常．
现从上表的指标不正常的指标中随机抽取个，其中用原药的个数记为，求的分布列与数学期望；
用样本数据定义一个等差数列，其中，，若的个数不超过，则认为新药对指标的药效较原药有显著提高；否则不认为有显著提高，请你通过样本数据给出判断．
练2-2. (2022·湖北省武汉市·联考) 年月日，中国女足在两球落后的情况下，以比逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军，在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇．
扑点球的难度一般比较大，假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有的可能性扑不到球不考虑其它因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑出点球的个数的分布列和期望
好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外人中的人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外人中的人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住记第次传球之前球在甲脚下的概率为，易知，．
试证明为等比数列
设第次传球之前球在乙脚下的概率为，比较与的大小．
【规律方法】
解数学应用题的过程，实质就是利用数学化的方法，将现实问题进行数学抽象，转化为数学模型，然后通过解答数学模型达到解决实际问题的思维活动过程，整个解题过程利于数学抽象概括能力的培养。常见的数学模型有：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、几何模型、概率统计模型等。
培养解决数学建模应用型问题的几个途径：
(1) 注重基础知识，为数学建模活动奠定“源泉”和“资本”；
(2) 注重应用型问题题的教学，培养数学抽象和数学建模素养；
(3）创设恰当的问题情境，引导积极进行建模活动，体验数学基本思想和基本实践活动。
能力专题12 抽象概括能力—答案与解析
例1．【答案】A
【解析】解：若函数是关于和的“函数”，
则，，
则，
即，
即，
则，
即函数是周期为的周期函数，
当时，
在一个周期内当时，，
当时，，
故选A．
练1-1.【答案】答案不唯一，均满足
解：取，则，满足，
，时有，满足，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足．
故答案为：答案不唯一，均满足
练1-2.【答案】ACD
【解析】解：令，，得，
由题意知，所以，故B错误；
当时，，，进而得．
设，且，则，，
．
即，所以是上的增函数，故A正确；
由是上的增函数，可知C正确；
，
同理，，
而，
因为，所以
，
即 ，故D正确．
故选：．
例2.【解析】解：依题意有，，
．
又事件与相互独立，则，
所以．
设组中服用甲种中药康复的人数为，则，
所以．
设组的积分为，则，
所以．
设组中服用乙种中药康复的人数为，则
，
，
，
，
故的分布列为
所以．
设组的积分为，则，
所以．
因为，所以甲种中药药性更好．
练2-1.【解析】解：，
．
从表中数据可知：用原药有个指标不正常，用新药有个指标不正常，
所以共有个指标不正常，
用原药的个数记为，从个指标不正常中随机抽取个，
则的可能取值为，，，
因此，
，，
所以的分布列为：
．
因为，，所以等差数列的公差，
因此等差数列的通项公式为．
由得，解得，
因此的个数不超过，所以新药对指标的药效较原药有显著提高．
练2-2.【解析】解：依题意可得，门将每次可以扑出点球的概率为，
门将在前三次扑出点球的个数可能的取值为，，，，
，，
，，
期望．
第次传球之前球在甲脚下的概率为，则当时，第次传球之前球在甲脚下的概率为，第次传球之前球不在甲脚下的概率为，则
，从而，
又，是以为首项，公比为的等比数列．
由可知，
，，故．
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