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专题21 随机变量及其分布
探究1：随机事件的概率
【典例剖析】
例1.(2021·全国高考考前模拟) 厦门国际马拉松赛是与北京国际马拉松赛齐名的中国著名赛事品牌，两者“一南一北”，形成春秋交替之势．为了备战年厦门马拉松赛，厦门市某“跑协”决定从名协会会员中随机挑选人参赛，则事件“其中，，，这人中至少人参加，且与不同时参加，与不同时参加”发生的概率为 ．
【变式训练】
练1-1(2022·广东省深圳市模拟) 已知是，，，，，，，的第百分位数，在，，，，，，，中随机取两个数，这两个数一个比大，另一个比小的概率为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·山东省潍坊市联考) 现有个相同的袋子，里面均装有个除颜色外其他无区别的小球，第个袋中有个红球，个白球现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出三个球每个取后不放回，若第三次取出的球为白球的概率是，则 ．
【规律方法】
1.古典概型求概率:一般地，设试验E是古典概型，样本空间包含个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率.
2.由事件间的关系求概率
①概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则．
推广：一般地，若事件彼此互斥，则事件发生（即中有一个发生）的概率等于这个事件分别发生的概率之和，即：．
②对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则.
③若A，B是一次随机实验中的两个事件，则．
探究2：随机变量的分布列
【典例剖析】
例2.(2022·江苏省扬州市期中) 甲、乙两名学生进行“趣味投篮比赛”，制定比赛规则如下：每轮比赛中甲、乙两人各投一球，两人都投中或者都未投中则均记分；一人投中而另一人未投中，则投中的记分，未投中的记分，设每轮比赛中甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙两人投篮相互独立，且每轮比赛互不影响．
经过轮比赛，记甲的得分为，求的分布列和期望；
经过轮比赛，用表示第轮比赛后甲累计得分低于乙累计得分的概率，研究发现点
均在函数的图象上，求实数，，的值．
【变式训练】
练2-1(2022·江苏省镇江市月考·多选) 设甲袋中有个白球和个红球，乙袋中有个白球和个红球，则下列正确的有( )
A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B. 从甲袋中随机取出了个球，恰好是个白球个红球的概率为
C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取次，则取得红球个数的数学期望为
D. 从甲袋中任取个球放入乙袋，再从乙袋中任取个球，则从乙袋中取出的是个红球的概率为
练2-2(2022·湖北省孝感市模拟)年秋全国中小学实行“双减政策”和“”模式为响应这一政策，某校开设了“篮球”“围棋”等课后延时服务课程甲、乙两位同学在学习围棋后，切磋围棋棋艺已知甲先手时，甲获胜的概率为，乙先手时，乙获胜的概率为，每局无平局，且每局比赛的胜负相互独立，第一局甲先手．
若每一局负者下一局先手，两人连下局，求乙至少胜两局的概率
若每一局甲都先手，胜者得分，负者得分，先得分者获胜且比赛结束，比赛结束时，负者的积分为，求的分布列与数学期望．
【规律方法】
1．离散型随机变量的分布列的两个性质
(1)；
(2).
2．变量的数学期望、方差
(1).
(2)，标准差为.
3．期望、方差的性质
(1)；
(2)若．
4．常见概率的求法
①条件概率：在发生的条件下发生的概率，
②相互独立事件同时发生的概率：，
③在次独立重复试验中事件恰好发生次的概率：，
④超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中.
(5)正态分布：若，则正态曲线关于直线对称，常借助图象的对称性求随机变量落在某一范围内的概率.
探究3：概率问题中的交汇与创新
【典例剖析】
例3.( 2022·江西省吉安市月考) 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部、进行体育运动和文化项目比赛，由部、部争夺最后的综合冠军决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束若部、部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军若前两天部、部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军设每局比赛部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立。
记第一天需要进行的比赛局数为，求，并求当取最大值时的值
当时，记一共进行的比赛局数为，求．
【变式训练】
练3-1(2022·江苏省模拟)年武汉发生了“新冠肺炎”疫情，在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．甲、乙两个地区采取防护措施后，统计了从月日到月日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数，绘制成如下折线图如图所示；疫情发生后，治疗“新冠肺炎”药品的研发成了当务之急，某药企计划对甲地区的项目或乙地区的项目投入研发资金，经过评估，对于项目，每投资十万元，一年后利润是万元、万元、万元的概率分别为、、；对于项目，利润与产品价格的调整有关，已知项目产品价格在一年内进行次独立的调整，每次价格调整中，产品价格下调的概率都是，记项目一年内产品价格的下调次数为，每投资十万元，取、、时，一年后相应利润是万元、万元、万元．记对项目投资十万元，一年后利润的随机变量为，记对项目投资十万元，一年后利润的随机变量为根据以上图中甲、乙两个地区折线图的信息及某药企投资计划可知，下列判断错误的是 ( )
A. 甲地区平均新增人数比乙地区的平均新增人数低
B. 甲地区比乙地区的方差大
C. 的数学期望
D. 当时，该药企应该投资项目
练3-2(2022·湖北省三校联考) 为贯彻落实党的二十大精神，促进群众体育全面发展奋进中学举行了趣味运动会，有一个项目是“沙包掷准”，具体比赛规则是：选手站在如图示意图所示的虚线处，手持沙包随机地掷向前方的三个箱子中的任意一个，每名选手掷个大小形状质量相同、编号不同的沙包规定：每次沙包投进号、号、号箱分别可得分、分、分，没有投中计分每名选手将累计得分作为最终成绩．
已知某位选手获得了分，求该选手次投掷的沙包进入不同箱子的方法数
赛前参赛选手经过一段时间的练习，选手每次投中号、号、号箱的概率依次为，，已知选手每次赛前已经决定次投掷的目标箱且比赛中途不变更投掷目标假设各次投掷结果相互独立，且投掷时不会出现未中目标箱而误中其它箱的情况．
若以比赛结束时累计得分数作为决策的依据，你建议选手选择几号箱
假设选手得了分，请你帮设计一种可能赢的投掷方案，并计算该方案获胜的概率．
【规律方法】
概率与统计问题在近几年的高考中背景取自现实, 与社会、经济、科技发展等知识结合考查，题型新颖,综合性
增强,难度加深,主要考查学生的阅读理解能力和数据分析能力.要从已知数表、题干信息中经过阅读分析判断获取关键信息, 搞清各数据、各事件间的关系,建立相应的数学模型求解.概率往往和数列、函数等知识结合考查，如与数列结合考查，关键是要分析题干找到数列间的递推关系；如与函数结合考查，需构造函数，要注意变量的选取，以及变量自身的隐含条件对变量范围的限制.
专题21 随机变量及其分布—答案解析
例1. 【解析】从人中任意选人参加比赛共有种不同的方法，
所求事件的对立事件对应的情况有三种
①，同时参加，再从其他人中选人，共有种不同的方法
②，同时参加，再从其他人中选人，共有种不同的方法
③，，，都不参加，则从其他人中选人，共有种不同的方法．
故共有种不同的方法，故所求概率．
故答案为．
练1-1 .【解析】因为是，，，，，，，的第百分位数，
所以，故，
因为在，，，，，，，中随机取两个数，
有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个。
故两个数一个比大，另一个比小的基本事件个数为个，
故这两个数一个比大，另一个比小的概率为．
练1-2．【解析】设选出的是第个袋子，连续三次取球的方法数为，
第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形：
白，白，白，取法数为，
白，红，白，取法数为，
红，白，白，取法数为，
红，红，白，取法数为，
从而第三次取出的是白球的种数为：
，
则在第个袋子中第三次取出的是白球的概率，
而选到第个袋子的概率为，
故对于任意的正整数，求第三次取出为白球的概率为：
．
所以，解得
故答案为
例2. 【解析】的可能取值为，，，
所以的分布列为：
所以
①由知
②经过两轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有两种情况：
一种是甲两轮都得分另一种是甲一轮得分，一轮得分
所以
③经过三轮比赛，甲累计得分低于乙累计得分有四种情况：一种是甲轮都得分
一种是甲轮得分，一轮得分一种是甲轮得分，一轮得分
一种是甲轮得分，轮得分
所以，
所以，可得
消去得，解得或舍．
所以，，．
练2-1.【解析】记从甲袋中第一次取到白球为事件，第二次取到红球为事件，
则，，
，A正确；
B.从甲袋取出的为个球中白红的概率为：，B错误；
C.从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取次，记取得红球个数为，则随机变量，
，C正确；
D. 甲袋任取两个球的可能性有三种：
甲袋取出的为个白球时，再从乙袋中取出的是个红球的概率为：
甲袋取出的为个白球、个红球时，再从乙袋中取出的是个红球的概率为：
甲袋取出的为个红球时，再从乙袋中取出的是个红球的概率为：
．
从乙袋中取出的是个红球的概率为：．
故答案为．
练2-2.【解析】设事件为乙至少胜两局，则乙有负胜胜、胜负胜、胜胜负、胜胜胜四种情况．
所以．
由题意可知所有可能结果为，，．
则，
，
，
所以的分布列为
故的数学期望．
例3.【解析】可能取值为，．
．
故E，
即，则当时，取得最大值．
时，双方前两天的比分为或的概率均为
比分为或的概率均为．
则或．
即获胜方两天均为获胜，
故
即获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，
故．
所以．
练3-1.【解析】选项A：，
，两者相等，故A错误；
选项B：，，
故B正确；
选项C：，故C正确；
选项D：由题意得，则的概率分布为
由题意得下调次数和利润的关系为
则的概率分布为
所以．
当时，，故D正确．
故选A.
练3-2.【解析】(1) 设5次投掷投中1号x次, 2号y次, 3号z次, 未投中t次, 则
解得或或
不同的方法数N=+++=95.
(2)(i)设选手A选择1号、2号、3号箱作为目标箱,5次投中的次数依次为、、,
最终的得分分别为、、.则
~B(5,0.7)、~B(5,0.5)、∽B(5,0.3)
=E()=3E()=350.7=10.5
=E()=4E()=450.5=10
=E()=5E()=550.3=7.5
>>
建议选手A选择1号箱.
(ii) 下述方案仅供参考, 只要考生设计的方案可行, 概率计算正确, 均可给分。
方案一: A连续5次选择投掷3号箱
A最终获胜的概率为P===0.00243.
方案二:A前4次均选择投掷3号箱,第5次投2号箱
A最终获胜的概率为P===0.00405.
2

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