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拓展专题12 概率与统计的创新问题
探究1：最值问题
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省常州市月考) 汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业迅速发展．某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：
年份
年份代码
销量万辆
统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破万辆；
为了了解购车车主的性别与购车种类分为新能源汽车与传统燃油汽车的情况，该企业又随机调查了该地区位购车车主的购车情况作为样本，其中男性车主中购置传统燃油汽车的有名，购置新能源汽车的有名，女性车主中有名购置传统燃油汽车．
①若，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用中的线性回归方程预测该地区年购置新能源汽车的女性车主的人数假设每位车主只购买一辆汽车；
②设男性车主中购置新能源汽车的概率为，若将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取人，记恰有人购置新能源汽车的概率为，求当为何值时，最大．
附：若，，为样本点，为回归直线，则：，
．
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省四校联考) 在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语．
在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次Ⅰ的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，，．
①求批次Ⅰ成品口罩的次品率．
②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验．已知批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率百分号前保留两位小数．
已知某批次成品口罩的次品率为，设个成品口罩中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率某医院获得批次Ⅰ，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附：，．
练1-2(2021·江苏省徐州市月考) 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响．
当时，①若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了道题，计甲答对题目的个数为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望；
乙答对每道题的概率为含亲友团，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率的最小值．
【规律方法】
在概率与统计的问题中,决策的工具是样本的数字特征或有关概率.决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作为最佳方案,这往往借助于函数的有关性质去实现.
概率统计与函数的交汇问题, 本质仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解，综合性较强.利用概率统计知识，求解概率、均值、方差等，建立函数模型.借助二次函数,分段函数的性质,利用单调性求最值；或利用导数研究函数的极值点,从而确定最优解.
探究2：与数列问题的交汇
【典例剖析】
例2.(2022·广东省模拟) 随着科学技术的飞速发展，网络也已经逐渐融入了人们的日常生活，网购作为一种新的消费方式，因其具有快捷、商品种类齐全、性价比高等优势而深受广大消费者认可某网购公司统计了近五年在本公司网购的人数，得到如下的相关数据其中“”表示年，“”表示年，依次类推；表示人数：
万人
试根据表中的数据，求出关于的线性回归方程，并预测到哪一年该公司的网购人数能超过万人；
该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券元已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第格、第格、第格、、第格遥控车开始在第格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次若掷出奇数，遥控车向前移动一格从到，若掷出偶数，遥控车向前移动两格从到，直到遥控车移到第格胜利大本营或第格失败大本营时，游戏结束设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值．
附：在线性回归方程中，．
【变式训练】
练2-1(2021·云南省昆明市模拟) 甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题．为体现公平，制定如下规则：
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙、甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．
已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．
求一轮中三人全回答正确的概率；
分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；
记为甲在第轮胜出的概率，为乙在第轮胜出的概率，求与，并比较与的大小．
练2-2(2022·山东省潍坊市模拟) 当今世界环境污染已经成为各国面临的一大难题，其中大气污染是目前城市急需应对的一项课题某市号召市民尽量减少开车出行以绿色低碳的出行方式支持节能减排原来天天开车上班的王先生积极响应政府号召，准备每天从骑自行车和开车两种出行方式中随机选择一种方式出行从即日起出行方式选择规则如下：第一天选择骑自行车方式上班，随后每天用“一次性抛掷枚均匀硬币”的方法确定出行方式，若得到的正面朝上的枚数小于，则该天出行方式与前一天相同，否则选择另一种出行方式．
求王先生前三天骑自行车上班的天数的分布列；
由条件概率我们可以得到概率论中一个很重要公式全概率公式其特殊情况如下：如果事件，相互对立并且，则对任一事件有设表示事件“第天王先生上班选择的是骑自行车出行方式”的概率．
①用表示；
②请问王先生的这种选择随机选择出行方式有没有积极响应该市政府的号召？请说明理由．
【规律方法】
概率统计问题有时会与数列交汇在一起进行考查,在解答此类题时,准确把题中所涉及的事件进行分解,明确所求问题所属的事件类型是关键.解答此类问题，一是要根据题意建立数列模型；二是熟练的利用已知的求概率的方法进行概率计算.概率与数列的交汇问题的常见类型有：
①求通项公式：关键是找出概率或数学期望的递推关系式,根据数列部分由递推公式求通项公式的方法，求出概率或期望的通项公式；②利用等差、等比数列的性质,研究单调性、最值或求极限；③求和：利用数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和等方法.
拓展专题12 概率与统计的创新问题-答案解析
例1.【解析】由题意得，
，
，．
则，
．
关于的线性回归方程为，
令，解得，
最小的整数为，，
预测该地区新能源汽车的销售量最早在年能突破万辆；
①由题意知，该地区名购车车主中，女性车主有名，
故其中购置新能源汽车的女性车主有名．
购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比值为，
该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为，
预测该地区年新能源汽车的销量为万辆，
因此，预测该地区年购置新能源汽车的女性车主有万人；
②由题意知，，，
则，
，
当时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减．
当时，取得最大值．
此时，解得．
当时，取得最大值．
练1-1．【解析】①批次Ⅰ成品口罩的次品率为
．
②设批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由已知，得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品为事件，
．
个成品口罩中恰有个不合格品的概率．
因此．
令，得．
当时，当时，．
所以的最大值点为．
由可知，，，故批次口罩的次品率低于批次，
故批次的口罩质量优于批次．
由条形图可建立列联表如下：
．
因此，有的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
练1-2．【解析】记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲确实会做”，
则
可取、、、、，甲答对某道题的概率为，
则，所以，
则的分布列为
故
记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”，
其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为，
则，
，
，
，
所以甲答对题数比乙多的概率为
，
解得，
故甲的亲友团每道题答对的概率的最小值为．
例2.【解析】
故
从而
所以关于的线性回归方程为，
令，解得，
故预计到年该公司的网购人数能超过万人．
遥控车开始在第格为必然事件，，
若第一次掷骰子出现奇数点，遥控车移到第一格，其概率为，即，
遥控车移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种，
①遥控车先到第格，又掷出偶数点，其概率为，
②遥控车先到第格，又掷出奇数点，其概率为，
所以，，
当时，数列是公比为的等比数列．
，
以上各式相加，得，
，
获胜的概率，
失败的概率，
设参与游戏一次的网购者获得免费购物券金额为元，
则的可能取值为，，
的期望，
参与游戏一次的网购者获得免费购物券金额的期望值为，约元．
练2-1．【解析】设一轮中三人全回答正确为事件．
则，
甲在第一轮胜出的概率为，
甲在第二轮胜出，说明甲在第一轮中胜出，第二轮中三人都胜出，第三轮中丙回答错误，
甲在第二轮胜出的概率为，
甲在第三轮胜出的概率为，
由知，
依题意，，，
，
所以，时，，
，时，，
，时，，
同理：，时，，
，时，，
，时，，
，时，
，，时，
，时，
练2-2．【解析】设一次性抛掷枚均匀的硬币，得到正面向上的枚数为，
则，
，
．
由已知随机变量的可能取值为，，；
；
；
．
所以随机变量的分布列为
设表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，
表示事件“第天王先生选择的是骑自行车出行方式”，
由全概率公式知
．
所以．
由知，，
又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，．
因为恒成立，
所以王先生每天选择骑自行车出行方式的概率始终大于选择开车出行方式，
从长期来看，王先生选择骑自行车出行方式的次数多于选择开车出行方式的次数是大概率事件，
所以王先生积极响应该市政府的号召．
2

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