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专题2 换元法
探究1：整体换元法
【典例剖析】
例1(2022·安徽省模拟)设函数，若在时有零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2022·湖南省模拟)用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率，则曲线在处的曲率为 正弦曲线曲率的平方的最大值为 ．
练1-2(2022·福建省联考)设椭圆的左、右焦点分别为，是椭圆上一点，，，则椭圆离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
练1-3(2022·江西省月考）已知定义在上的函数，若，，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
对一个数学问题,如果直接求解有困难,或不易下手,或由问题的条件难以直接得出结论时,常将一个或几个式子分别看成整体,用一个或几个新“元”代换它们,使得以新元为基础的问题求解比较简易,解决以后将结果倒回去恢复原来的元,即可得原问题的结果.
探究2：三角换元法
【典例剖析】
例2.(2022·辽宁省期末)已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·福建省月考)已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·辽宁省联考)黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”：的左右顶点分别为、，“优美椭圆”上动点异于椭圆的左右顶点，设直线、的斜率分别为、，则 ．
【规律方法】
圆锥曲线有一个特点，就是曲线上的点不易于直接表达（抛物线除外），例如椭圆，为了表示椭圆上一点，需要引入两个参数，此时会涉及到两个麻烦事：①开根号，②定符号，这样一来，会给后面的处理带来很多麻烦，而三角函数的出现正好弥补了这样的问题，因为三角函数本身就有降次和升次的功能，利用三角恒等式,可以自然类比到椭圆中,那么椭圆上的点就可以表达成，此时只含有一个参数，成功实现了减元、去根号和定符号的效果。
探究3：比值换元法
【典例剖析】
例3.( 2022·湖北省模拟)函数有两个零点，，下列说法错误的是( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
练3-1(2022·海南省期末)若存在正数，使得，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围为 ．
练3-2(2022·河北省月考)若对任意正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
练3-3(2021·天津市月考)已知，则的最大值是 ．
【规律方法】
对于多元函数,我们称为双变量，一般来说，我们无法对其进行求导，可以采用“先转换后构造”的解题策略：同除变形令,构造函数,将含二元变量的不等式转化为一元变量的函数，以导数为工具证明.
专题2 换元法——答案解析
例1【解析】，，则，
则，
设，当时，函数为增函数，则，
若在有零点，即在上有解，即，即，
函数在上单调递增，则，即．因此，实数的取值范围是
故本题选：．
练1-1【解析】由题意得，，则，则，
由题意得，，，，
令，则，
令，则，显然当时，，单调递减，
所以，的最大值为．
故答案为：；．
练1-2【解析】设，，由椭圆的定义可得，，
可设，可得，即有
由，可得，即为，
由，可得，
令，可得，即有，
由，可得，即，则时，取得最小值；或时，取得最大值．
即有，解得．
故选B．
练1-3【解析】，
令，则，所以在上单调递增，
则，，，显然，即在上单调递增，
所以在上单调递增，
由，，所以，
即，，而在上的最大值为，
因为，所以当且仅当时，，即
故，
所以实数的取值范围为．
故选 B．
例2【解析】不妨设点为第一象限的交点，则
由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
所以，
因此，即，
所以，即，令
因此，其中，
所以当时，有最大值，最大值为，
故选：．
练2-1【解析】设，圆的圆心坐标为，
，
所以，，
的最小值为，
故选：．
练2-2【解析】设点，，，
优美椭圆：的左右顶点分别为、，离心率，
则．
故答案为：．
例3【解析】函数有两个零点，，
有两个根，，
与有两个交点，如图，
设，，
当时，解得，函数单调递增，当时，解得，函数单调递减，
，当时，，当时，，
当时，与有两个交点，
即函数有两个零点，故A正确；
结合图象可知，
，，
要证明，即证明，整理得，
令，则，
设，
，恒成立，在单调递增，
，即，故D错误；
由D错误，即，即成立，故B正确；
，，
，可得，故C正确．
故选D．
练3-1【解析】由，，为正数，
，
令，，则，则，
令，，所以在上单调递减，
又因为，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以，且，
所以的取值范围为
故答案为
练3-2【解析】不等式对、恒成立，
可得，
可设，可得，
，
由和在时单调递减，可得在时单调递减，
则，当时，，递减；
时，，递增，
可得在处取得极大值，且为最大值，
则，即，解得，
故答案为：．
练3-3【解析】因为所求式子为齐次式结构，所以令
，
令，则，当且仅当，即时等号成立，
所以原式，
令，由对勾函数的单调性知函数在上为增函数，
所以，所以原式的最大值为，
故答案为．
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