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专题3 分离法
探究1：解决不等式恒成立或有解问题
【典例剖析】
例1.(2022· 江西省模拟)已知函数，为实数，若存在实数，使得对任意恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省联考)若关于的不等式对恒成立，则整数的最大值为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·江苏省模拟)已知数列的前项和为，且，，若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 ．
【规律方法】
1.利用分离参数法来确定不等式恒成立或有解问题中参数的取值范围，有如下三个步骤：
第一步：参数与变量分离，化为或；
第二步：求或，；
第三步：解或().
2.分离参数法可以避免对参数范围的讨论，简化解题过程，但需注意两点：
①函数是否可以分离参数，
②如果变性后得到的函数形式太复杂，则不宜采用参变分离法。
3.常见单变量不等式问题的最值转化：
（1）,则恒成立;
（2）,则恒成立;
（3）,则恒成立;
（4）,则恒成立;
（5）,则恒成立.令,即可转化为,则恒成立，则.
特别说明:，恒成立不可以转化为：.
理由:和自变量都是,自变量一样是一个函数的问题,不能分为两个函数理解.
4.常见双变量不等式问题的最值转化：
（1）,,;
（2）,,;
（3）,;
（4）,;
（5）,,的值域是的值域的子集.
（6）,,的值域与的值域的交集不是空集.
探究2：解决函数零点、方程根的问题
【典例剖析】
例2.( 2022·河北省模拟)已知函数图象上存在点，函数为自然对数的底数图象上存在点，且，关于点对称，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·福建省模拟)已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 ．
练2-2(2022·广东省月考)已知
讨论的单调区间；
，若曲线和在上有且仅有两个交点，求的取值范围．
【规律方法】
利用导数解决函数零点、方程根的问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质做出图像，然后将问题转化为函数图像与坐标轴的交点问题，
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图像的交点问题
（3）分离参数法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图像的交点问题.
专题3 分离法——答案解析
例1【解析】函数的导数，
若，可得，函数为增函数，当，，不满足对任意恒成立；
若，由，得，则，
，
若对任意恒成立，则恒成立，
若存在实数，使得成立，则，，，
令，则．
当时，，当时，，则．，
则实数的取值范围是．
故选：．
练1-1【解析】由题意分离变量可得对恒成立，
令，，则，
令，，则，
在上单调递增，且，，
存在唯一的，使，
可得，，在单调递减；，，在单调递增，
，可得整数的最大取值是．
故选：C.
练1-2【解析】因为，故，
两式相减得：，
即，又因为，所以，又，
故数列是为首项，为公差的等差数列，所以
由不等式对任意的恒成立，
故，对任意的恒成立，即，
当为奇数时，得对任意的恒成立，
又因为，当且仅当时，等号成立．故，解得
当为偶数时，得，对任意的恒成立，
令，当时，取最小值，故，
综上的取值范围是．
例2【解析】因为函数与函数的图象关于点对称，
由题意可知：方程有解，
显然，所以问题转化为有解，
设，则为增函数且，
所以在上单调递减，在上单调递增，且时，，
所以，
所以实数的取值范围是，，
故选：．
练2-1【解析】因为，所以，所以函数为偶函数，
又，所以在上有两个零点，
即有两个不同的正实数解，即，
令，则，故在上递减，上递增，
故．
又，且，，从而，
故答案为：
练2-2【解析】函数的定义域为：，
，令，即，则
当时，即，
此时恒成立，则函数在上单调递增；
当时，即
的两个根为，且
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
当时，即
的两个根为，且
此时恒成立，则函数在上单调递增；
综上：当时，的增区间为和，减区间为；
当时，的增区间为．
由题可知在上有两个根，则，
即在上有两个根，
设，，，
令，则恒成立，
所以在上单调递增，且，
所以时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，
又，，，则，
所以．
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