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专题4 配凑法
探究1：解决最值问题
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省模拟)已知正实数满足，则的最大值为 ；的最小值为 ．
【变式训练】
练1-1(2022·广东省月考·多选)三元均值不等式：“当，，均为正实数时，，即三个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当时等号成立．”利用上面结论，判断下列不等式成立的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
练1-2(2022·福建省月考)已知，若恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
练1-3(2022·安徽省联考)已知正实数，，，若，则的最大值为 ．
【规律方法】
用基本不等式求最值时需要注意三个条件：一正、二定、三相等，“一正”不满足时，需提负号或分类讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性.
答题思路1：“配系数”使和式为定值
系数配凑法大多用于形如的积的形式，通过系数配凑，使,且与之和为定值（或满足已知条件），可利用基本不等式解决.
答题思路2：“配项”使积式为定值
（1）拆项配凑法大多用于形如的和的形式，通过拆项，使,若相应项的平方和或积为定值（或满足已知条件），可利用基本不等式解决;
（2）添项配凑大多用于形如的形式，若为定值，通过添加项，使,最后利用基本不等式即可;
有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑拆项，变为和的形式，然后配凑定积.
探究2：解决化简求值问题
【典例剖析】
例2.(2022·四川省月考)已知．
求的值； 求的值．
【变式训练】
练2-1(2022·陕西省联考) ．
练2-2(2022·湖北省月考)已知，，则的值等于( )
A. B. C. D.
练2-3(2022·湖北省联考)若，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
配凑法解决化简求值问题的常用策略：
1. 把结论变形，凑出题设形式，以方便利用已知条件
2. 把题设变形，凑出结论形式，以从中推出结论
3. 把题设先变形，再把结论变形，凑出变形后的题设形式
探究3：构造数列
【典例剖析】
例3.( 2022·江苏省模拟)已知首项为的正项数列满足若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练3-1(2022·福建省模拟·多选)已知是数列的前项和，且，，则下列结论正确的是( )
A. 数列为等比数列 B. 数列为等比数列
C. D.
练3-2(2022·山东省联考)已知数列满足，，．
证明：为等差数列；
求数列的前项和．
【规律方法】
应用配凑法构造数列的常见类型：
1.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求.
2.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求.
3.对于形如的数列，配凑成的形式，则得到新数列是等差数列，先求出新数列的通项，进而可求.
4.对于形如的数列，配凑成的形式，令，即，再配凑成的形式，则得到新数列是等比数列，先求出新数列的通项，进而可求.
注意：
1.等都是常数,但是注意不能为1,为1的时候就会变为等差数列或者累加法求解;
2.待定系数法求出之后, 为了避免出错, 尽量把以什么为首项, 什么为公差或公比写出来;
3.还有一些不常见的构造数列, 碰到的话要大胆猜测,仔细验证.
专题4 配凑法——答案解析
例1【解析】因为正实数，满足，所以，由得，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为；
因为，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
故答案为；．
练1-1【解析】对于：，，当且仅当时取等号，故A正确，
对于：，，，
当且仅当时取等号，故B错误，
对于：，，当且仅当时取等号，故C正确，
对于：，，，
当且仅当时取等号，故D错误．
故本题选AC．
练1-2【解析】由，知，，，
若，则，
又，
，
当且仅当，即时，取得最小值，
，的最大值为．
故选：．
练1-3【解析】因为
，
，当且仅当，即，时等号成立．
综上：的最大值为．
故答案为：．
例2【解析】，所以，
，
．
．
练2-1【解析】
．
故答案为．
练2-2【解析】，，则，
，
，
则，
故选C．
练2-3【解析】，
展开式中含的项为：，故系数．
故选D．
例3【解析】由题意得，，．
令，则，两边取对数得，
又，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，，即，
，由，．
故选A．
练3-1【解析】，，
因为，所以，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，故选项A正确；
，
，
，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
，故选项B正确；
，所以，故选项C错误；
，故选项D正确．
故选：．
练3-2【解析】证明：，
，．
是首项为，公差为的等差数列；
解：由可得，
，，
令，其前项和为，
则，
，
两式相减得，
．．
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