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专题6 放缩法
探究1：裂项放缩
【典例剖析】
例1.(2022·江苏省月考)已知数列满足，，，．
Ⅰ证明：数列是等差数列；求数列的通项公式；
Ⅱ记，，，证明：当时，．
【变式训练】
练1-1(2022·浙江省模拟)设数列的前项和为，正项数列的前项和为，且
求和；
记，，求证：．
练1-2(2022·江苏省月考)已知各项均为正数的数列的前项和为，，．
求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
若表示不超过的最大整数，如，，求的值．
【规律方法】
1：裂项放缩策略：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；
2：常见裂项放缩技巧：
①或
②
③；
④
⑤
⑥
⑦
探究2：利用已证结论放缩
【典例剖析】
例2.(2022·湖南省联考)已知函数求证：
函数在上单调递增；
数列的前项和小于
【变式训练】
练2-1(2022·广东省模拟)已知函数．
若，恒成立，求的取值范围；
证明：；
证明：当时，．
练2-2(2022·福建省期中)已知函数在处的切线方程为．
求函数的解析式．
若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．
求证：．
【规律方法】
1.函数中证明与有关的求和问题，或不等式证明问题，要仔细观察不等式结构特点，往往会利用上一问中证明的不等式，或者推导过程中证明出的结论.利用已证结论，进行放缩，化繁为简，证明不等式的成立.
2.先放缩后求和型证明数列不等式：通过放缩将数列变为“可求和数列”，放缩为等比数列和能够裂项相消的数列的情况比较多见；放缩时，要注意从第几项适用，若不从第一项放缩，求和要分情况讨论，且放缩方式不唯一，放缩幅度大了，需调整.
探究3：常用不等式放缩
【典例剖析】
例3.( 2022·浙江省模拟)已知数列的前项和为，满足，，令，．
Ⅰ求证：数列为等比数列，并求；
Ⅱ记数列的前项和为，求证：．
【变式训练】
练3-1(2022·辽宁省模拟)已知函数．
若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
设直线与函数交于，直线的斜率为，证明：．
练3-2(2022·浙江省期中)设点在椭圆上，点在直线上，则的最小值为 ．
【规律方法】
常用不等式放缩有：
（1）三角函数放缩：①；②；③
（2）指数放缩：①；②（为函数图象的两条切线）；③；④
（3）对数放缩：①；②；③；
（为函数图象的两条切线）
指对放缩：，
若，则；
（6）已知不等结论或性质：，基本不等式，二项式定理.
注意：常见的不等关系要灵活运用，解题时函数结构复杂，可考虑运用上述不等式进行放缩，使问题简单化.但不等式，从图象的角度看，是以直代曲，放缩的程度大，容易出现误差，在使用时要注意.
专题6 放缩法——答案解析
例1【解析】Ⅰ当时，，，
相除得整理为：，即，
又，故，故也成立，
为等差数列；
由得整理为：，
Ⅱ，
，
因为，
所以，
而
，
即，因此．
综上所述，当时，．
练1-1【解析】当时，，得，
当时，，化简得，
是首项为，公比为的等比数列，则，
当时，，得，
当时，得，
由得，
是首项为，公差为的等差数列，则．
由知，
因为
，
，得证．
练1-2【解析】证明：因为，
所以当时，，
所以，
又因为，所以，所以，
所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，所以，
所以当时，．
又满足上式，所以的通项公式为．
解：因为，所以．
又当时，，
所以，
当时，，所以对任意的，都有，
又，所以，
所以．
例2【解析】证明：，，
设，则，
当时，，，
所以，单调递减，，即在上恒成立，
所以函数在上单调递增
证明：由可得当时，，，
令，
代入可得，
所以，，，，
上述不等式全部相加得：
，
所以．
练2-1【解析】解：，恒成立，
，即，令，，
时，，在上是单调减函数，
时，，在上是单调增函数，
，
证明：由得，，，，
当时，显然成立，
当时，显然成立，
故:当时，，．
由得，当时，，即，，
时，，，，，
则，，
，，
，
．
练2-2【解析】，．
又已知函数在处的切线为，即切点为，
，解之得，，
函数的解析式为．
，
“不等式在区间上恒成立”等价于“不等式在区间上恒成立”，
令，，
令，解得；令，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，故，
实数的取值范围为．
由知，，
，
，
，
，
．
例3【解析】Ⅰ，，
，即，
整理得：，
，，，，
由于，，是等比数列，
，；
Ⅱ，
，
，
，，．
练3-1【解析】
因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立
若在上恒成立，则恒成立，所以
设．
因为直线与函数交于，
此时不妨设．则有
对函数，其在处的切线方程为，
所以恒有．令，则有，即有，
所以， 即有，
所以
练3-2【解析】设，，
则有
，
当且仅当时取最小值，此时的最小值为，
故答案为．
2

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