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专题8 数形结合
探究1：解决不等式问题
【典例剖析】
例1.(2022·甘肃省期末)若不等式在上恒成立，则实数的取值范围为 ．
【变式训练】
练1-1(2022·山东省模拟)已知是定义在上的奇函数，且图象关于直线对称，当时，，则不等式成立的一个充分条件是( )
B. C. D.
练1-2(2022·江苏省联考)若关于的不等式有且只有个正整数解，则实数的取值范围为 ．
【规律方法】
在求解函数不等式问题，遇到含绝对值的函数、分段函数或者复杂又陌生的函数，转化成常见函数或者能够研究其性质的函数，利用图象去解不等式，往往会起到事半功倍的效果.
注意：针对复杂又陌生的函数函数图象无法直接画出来，可以先利用导数研究函数的单调性并结合函数可能有的“三性”（周期性、奇偶性、对称性)以后再画出来.
探究2：解决函数零点与方程根问题
【典例剖析】
例2.(2022·河北省期末)设函数关于的方程有个不同的实数根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·湖南省联考)已知函数，则函数的零点个数是( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·江西省期中)若方程在上的根从小到大依次为，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.主要策略：
用图象法（即数形结合思想）研究方程(特别是含参数的方程)的解的个数或零点个数时首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式(有时需要先作适当变形，变形要以便于作图为目标)，然后作出两个函数的图象，由图求解，达到“以形助数”的目的.
2.易错警示：
(1)作函数图象的时候要注意定义域；(2)要特别注意函数在临界点处的取值.
探究3：解决最值问题
【典例剖析】
例3.( 2022·重庆市联考)已知实数、满足，则的取值范围是 ．
【变式训练】
练3-1(2022·浙江省模拟)已知点是边长为的菱形内一动点包括边界，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·北京市模拟)已知三棱锥中，，且、、两两垂直，是三棱锥外接球球面上一动点，则到平面的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.几何中的问题，往往都要先画出图形，利用图形的直观性，并结合图形的性质去求解;
2.解题时要充分考虑几何关系，充分利用几何知识，特别注意要会利用坐标法进行转化.
专题8 数形结合—答案解析
例1.【解析】不等式在上恒成立，
即在上恒成立，可得，
作出函数与的图象，如图所示，
要使不等式在上恒成立，
则，解得，
即实数的取值范围为．
故答案为．
练1-1【解析】由题意得且，
则，所以以为周期．
因为为上的奇函数，故，，
故当时，．
作出在上的大致图象如图所示，
将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，
数形结合可知，当时．
由的周期性可得，使得成立的区间是，，结合选项知，符合．
故选C．
练1-2【解析】不等式即，
令，则，
当时，，为单调增函数，当时，，为单调减函数，
表示过点的直线，
画出图象如下：
由题意可知：，解得：，
故答案为．
例2【解析】因为 可画函数图象如下所示：
因为，
，或，
要使方程恰有个不同的实数根，则有个不同的实数根，
即函数与有个交点，由图可得，即．
练2-1【解析】令，
当时，，则，所以函数在上单调递增，
又，，
由零点存在定理可知，存在，使得．
当时，，令，得，，
作出函数，直线、、的图象，如图所示：
由图象可知，直线与函数的图象有两个交点，
直线与函数的图象有两个交点，
直线与的图象仅有一个交点，
综上所述：函数的零点个数为．
故选：．
练2-2【解析】根据题意，，，，，是与在上图象交点横坐标，
在同一直角坐标系下画出两个函数的图象如下所示：
数形结合可知，两个函数在区间上共有个交点，故
对函数，令，，解得，，
则在区间上，的对称轴分别为，，，，
则，，，，
上述等式累加可得：．
故选A．
例3【解析】设点为圆上的任意一点，
则到直线的距离，则，
，
设圆与直线相切，则，解得，
的最小值为，最大值为，
，
故答案为．
练3-1【解析】在菱形中，因为边长为，，所以，且，
如图，过作垂直于于，过作垂直于于，
因为点是边长为的菱形内一动点包括边界，所以由平面向量数量积的几何意义，有
，
所以当点在点处时最大为，即最大，
此时，
所以的最大值为，
故选：．
练3-2【解析】三棱锥，满足两两垂直，
且，
如图是棱长为的正方体上具有公共顶点的三条棱，
以为原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球，
是三棱锥外接球球面上一动点，
由正方体与球的几何性质可得，点点与重合时，
点到平面的距离最大，
点到平面的距离的最大值为
故选C
2

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