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专题9 分类与整合
探究1：由参数变化引起的分类讨论
【典例剖析】
例1.(2022·河北省模拟)已知函数，当实数的取值范围为 时，的零点最多．
【变式训练】
练1-1(2022·江苏省联考)已知函数．
若方程有个不相等的实数根，，，求证：．
是否存在实数，，使得在区间上单调，且的取值范围为？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由．
练1-2(2022·江苏省期中)已知函数当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是 ．
【规律方法】
1.讨论含参函数的单调性其本质是讨论含参不等式的解集，含参不等式的主要类型有：含参的一元一次不等式、含参的一元二次不等式、含参的指数型不等式（如）、含参的对数型不等式（如）、含参的三角不等式（如）及前面的若干类型相乘/除在一起的不等式如：；
2.在分类讨论时要注意分类对象彼此交集为空集,并集为全集.
探究2：由数学概念、性质、运算引起的分类讨论
【典例剖析】
例2.(2022·辽宁省期末)已知函数，则不等式的解集为 ．
【变式训练】
练2-1(2022·福建省月考)若角的终边落在直线上，则的值等于( )
A. B. C. 或 D.
练2-2(2022·湖南省月考)设数列满足，，且．
求证：数列为等差数列，并求的通项公式；
设，求数列的前项和．
【规律方法】
1.由数学运算要求引起的分类讨论
①绝对值：如求解含绝对值函数的问题、求数列 的前n项和等问题，为脱去绝对值号需要分类讨论.
②前n项和因奇偶性不同而不同的数列,应分类讨论.
③除法运算中除数不为零，不等式两边同乘以一个正数符号不变、同乘以负数符号改变，应分类讨论
2.数学概念本身就是分类的及某些数学性质、定理、公式是有限制的引起的分类讨论
①求解分段函数的值或者单调性及不等式相关问题时，应分类讨论.
②指数函数、对数函数的底数不确定时要分类讨论
③等比数列的前n项和公式，若公比q为参数,则需分q＝1和q≠1分类进行求和.
④对于通项公式为分段形式给出，应分类讨论.
⑤当直线的斜率不确定，设直线方程时需要分为斜率存在和不存在讨论；
3.由数学概念、性质、运算引起的分类讨论的解题步骤：
第一步：确定需要分类的目标（引起分类讨论的数学概念、公式、定理或者运算求解的对象）；
第二步：根据公式、定理、运算确定分类标准；
第三步：对分类出来的“分目标”分别进行处理；
第四步：将“分目标”问题进行汇总，并作进一步处理；
探究3：由图形位置或形状引起的分类讨论
【典例剖析】
例3.(2022·辽宁省模拟)把半椭圆：和圆弧：合成的曲线称为“曲圆”，其中点是半椭圆的右焦点，，分别是“曲圆”与轴的左、右交点，，分别是“曲圆”与轴的上、下交点，已知，过点的直线与“曲圆”交于，两点，则半椭圆方程为 ，的周长的取值范围是 ．
【变式训练】
练3-1(2022·浙江省月考·多选)如图，已知正四棱台的上、下底面边长分别为，，其顶点都在同一球面上，且该球的表面积为，则侧棱长为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·广东省联考)由曲线围成的曲线面积是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.由图形的位置或形状变化引发的讨论主要类型：
二次函数对称轴位置的变化；函数问题中区间的变化；函数图象形状的变化；直线由斜率引起的位置变化；圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．
2.由图形位置或形状引起分类讨论的解题步骤：
第一步：根据几何元素的形状、位置变化确定分类情况；
第二步：对不同类别分别求解；
第三步：归纳分类结果；
探究4：由实际意义引起的分类讨论
【典例剖析】
例4.(2022·河北省模拟)为检测出新冠肺炎的感染者，医学上可采用“二分检测法”假设待检测的总人数是，将个人的样本混合在一起做第轮检测检测一次，如果检测结果为阴性，可确定这批人未感染如果检测结果为阳性，可确定其中有感染者，则将这批人平均分为两组，每组人的样本混合在一起做第轮检测，每组检测次，如此类推每轮检测后，排除结果为阴性的那组人，而将每轮检测后结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直到检测出所有感染者感染者必须通过检测来确定若待检测的总人数为，采用“二分检测法”检测，经过轮共次检测后确定了所有感染者，则感染者人数的所有可能值为 人若待检测的总人数为，且假设其中有名感染者，采用“二分检测法”所需检总次数记为，则的最大值为 ．
【变式训练】
练4-1(2022·江苏省期末)某海湿地如图所示，，和，分别是以点为中心在东西方向和南北方向设置的四个观测点，它们到点的距离均为千米，曲线是一条观光长廊，其中段上的任意一点到观测点的距离比到观测点的距离多千米，段上的任意一点到中心点的距离都相等，段上的任意一点到观测点的距离比到观测点的距离多千米．以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系．
求观光长廊所在的曲线的方程；
在观光长廊的段上，需建一服务站，使其到观测点的距离最近，问如何设置服务站的位置？
练4-2(2022·福建省模拟)第届亚运会即将于年月日至月日在美丽的西子湖畔杭州召开，为了办好这一届“中国特色、浙江风采、杭州韵味、精彩纷呈”的体育文化盛会，杭州亚运会组委会决定进行赛会志愿者招募，此举得到在杭大学生的踊跃支持某高校男同学和位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求位女同学不安排一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数有( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.由实际意义引起分类讨论的主要类型：
①排列组合问题中的分类计数加法原理就是分类讨论思想的具体体现,讨论时应注意分类标准的统一；
②求解关于多项式与二项式的积以及两个以上二项式的和或差有关的某一项系数问题时,因不能由通项直接写出,需按条件进行分类讨论；
③求古典概型的概率时,涉及“至多”“至少”型的问题,可以用互斥事件以及分类讨论的思想求解.
④求实际问题的最值时，根据不同的情况取不一样的函数解析式.
2.由实际意义引起分类讨论的解题步骤：
第一步：根据实际问题确定分类情况；
第二步：对不同类别分别求解；
第三步：归纳分类结果；
专题9 分类与整合—答案解析
例1【解析】作出的图像：
因为，令，则，
令，
当时，，则恒过点，
当时，，的图像与的图像有个交点；
当时，的图像与的图像有个交点；
当时，与的图像相切时，切点为，则，
当时，与的图像相切时，设切点为，
又，则，切线方程为，
则，则，
当时，的图像与的图像有个交点；
当时，的图像与的图像有个交点；
当时，的图像与的图像有个交点；
当时，的图像与的图像有个交点，
故当实数的取值范围为时，的零点最多．
故答案为．
练1-1【解析】证明：令，方程有个不相等的实数根，，，，
即有个不相等的实数根，，，，其中，
即，所以，
即或，
因为方程有个不相等的实根，所以由根与系数的关系得，
所以，得．
解：如图，
可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当，时，在上单调递减，则
化简得，
因为，，所以上式不成立，即，无解，所以不存在．
当时，在上单调递增，则
所以关于的方程，即在内有两个不等的实根，
令，则，
结合图象可知，
当时，在上单调递减，则化简得，所以，
即．
由得
即关于的方程在内有两个不等的实根，
也即在内有两个不等的实根，
所以，即
当时，在上单调递增，则
关于的方程，即在内有两个不等的实根．
令，则，
函数在上单调递增，没有两解，不符合题意．
综上所述，的取值范围为，
练1-2【解析】等价于，
解得或，
因为，所以，，
如图，绘出函数的图象，
方程有三个不同的实数根，
等价于有一个实数解且有两个不同的实数解，
或有两个不同的实数解且有一个实数解，
当或时，无解，不符合题意；
当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；
当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；
当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意
综上，的取值范围为．
故答案为：．
例2【解析】，
当时，即，，
令，
，在上单调递增，
则，
则的解集为；
当时，即，
，
令，
，则在上单调递增，的最大值为，
则的解集为；
当时，即，
，则的解集为；
当时，即，
，解得，
则的解集为
综上所述，的解集为
故答案为：
练2-1【解析】角的终边落在直线上，角为第二或第四象限角．
，
当角为第二象限角时，原式；
当角为第四象限角时，原式．
综上可知：，
故选：．
练2-2【解析】由已知得，即，
，
是以为首项，为公差的等差数列，
，
当时，
，
当时，也满足上式，
．
，
当为偶数时，
．
当为奇数时，
．
所以
例3【解析】不妨设，则圆弧的半径为，，，
所以可得圆弧的半径为，即，所以，
所以曲圆的方程为：，，
则半椭圆方程为，，所以其实是椭圆的另一个焦点，
设，的周长为，
当时，在圆上，在椭圆上，
；
当时，、都在椭圆上，；
当时，在圆上， 在椭圆上，
；
所以的周长
的周长范围为：．
故答案为；．
练3-1【解析】设球半径为，由题意，解得，
设的外接圆半径为，的外接圆半径为，
由题意，，，
从而球心到面的距离，而球心到面的距离．
若面与面在球心的同侧，则棱台高，棱台的截面如图：
过作于，由于棱台高，故，
又由于正四棱台，
故为等腰梯形，而从而，
若面与面在球心的异侧，
则棱台高，同理可得，
故正四棱台的侧棱长为或．
故选：．
练3-2【解析】当，时，则可化成，即，
当，时，可化成，
当，时，可化成，
当，时，可化成，
综上可知，所求面积为在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积的倍，
曲线在第一象限内的图像如下图实线部分所示：
结合易知，点坐标为，点坐标为，且为等腰直角三角形，
所以在第一象限的曲线与坐标轴围成的面积为，
从而曲线围成的曲线面积为．
故选：．
例4【解析】若待检测的总人数为，
则第轮需检测次，第轮需检测次，第轮需检测次，第轮需检测次，
则共需检测次，此时感染者人数为人或人
若待检测的总人数为，且假设其中有不超过名感染者，
若没有感染者，则只需次检测即可
若只有个感染者，则只需次检测
若只有个感染者，若要检测次数最多，则第二轮检测时，个感染者不位于同一组，
此时相当两个待检测组人数均为，
每组个感染者，此时每组需要次检测，
所以此时两组共需次检测，
故有个感染者，且检测次数最多，共需次检测，
所以采用“二分检测法”所需检测总次数记为，
故的最大值为．
故答案为，；．
练4-1【解析】段上的任意一点到观测点的距离比到观测点的距离多千米， 所以为双曲线的一部分，且，，所以，所以曲线的方程为；
由段上的任意一点到中心点的距离都相等，可知为圆的一部分，其中圆的半径，圆心坐标为，所以曲线的方程为；
段上的任意一点到观测点的距离比到观测点的距离多千米，所以为双曲线的一部分，且，，所以， 所以曲线的方程为
综上，，时，曲线方程为；，时，曲线方程为；
，时，曲线方程为．
设点，其中，， 由，得，
则，
当且仅当时，取得最小值 此时，所以服务站的坐标为．
练4-2【解析】由题可得，参与志愿服务的项目人数为型，
若人中没有一人参与人的共同志愿服务，则不同的安排方法种数有种；
若人中有一人参与人的共同志愿服务，则不同的安排方法种数有种
若人中有两人参加人的共同志愿服务，则不同的安排方法种数有种，
由分类加法计数原理可知，满足要求的不同的安排方法种数有种故选D．
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