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专题10 函数与方程
探究1：函数思想
【典例剖析】
例1.(2022·新高考Ⅰ卷)已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2022·山西省月考)中，角，，所对的三边分别为，，，，若的面积为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·江西省月考)年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快．因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大．武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从月日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立，该家庭至少检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为，当时，最大，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
如果所给出的数学问题从表面上看是非函数问题,但其中有隐含的函数关系,这就要求我们将问题中隐含的函数关系凸显出来,从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解.
1.函数思想在解题中的应用主要表现在如下两个方面:
①借助于初等函数的性质:单调性、奇偶性、周期性解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题.
②在问题研究中通过建立函数关系或构造中间函数,其中构造函数关系进而利用函数思想解题是更高层次的体现,构造时要审时度势,充分发掘原题中可类比、联想的因素,促进思维迁移,—且构造成功,把研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易、化繁为简的目的.
2.基本解题思路如下：
观察（必要时需适当变形）→构造函数→结合具体问题和函数性质/最值等求解问题
探究2：方程思想
【典例剖析】
例2.(2022·福建省模拟)设等差数列的公差为，前项和为若数列也是公差为的等差数列，则数列的通项公式 ．
【变式训练】
练2-1(2022·湖北省模拟)在矩形中，，，在上，且，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·江苏省模拟)已知椭圆：的离心率为，短轴长为，过的直线与椭圆相切于第一象限的点．
求椭圆的方程和点坐标；
设为坐标原点，直线平行于直线，与椭圆交于不同两点，，且与直线交于点证明：为定值．
【规律方法】
方程思想的应用十分广泛,只要涉及含有等量关系的条件或结论时,都可考虑通过构建方程或方程组求解,其主要应用有以下几个方面:
(1)方程思想在三角函数求值问题中的应用.如:“切弦”互化问题,一般是将“弦”化“切”建立关于的方程求解，结合三角恒等式与已知条件构建方程组求解.
(2)方程思想在函数与导数中的应用.如:曲线的切点问题,一般是利用导数的几何意义和已知条件, 构建关于切点横坐标的方程求解.
(3)方程思想在数列中的应用.如:等差(比)数列的求值问题,一般利用其通项公式与前n项和公式,构建关于首项与公差(比)的方程组求解.
(4)方程思想在平面解析几何中的应用.如:椭圆或双曲线的离心率求值问题,一般是由已知条件构建关于a,b,c的方程求解.
探究3：联用函数与方程思想
【典例剖析】
例3.(2022·重庆市模拟)已知函数为自然对数的底数，若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是 ．
【变式训练】
练3-1(2022·河北省月考)已知函数，若方程在上有且只有四个实数根，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
练3-2(2022·辽宁省模拟)已知函数在定义域上有三个零点，则实数的取值范围是 ．
练3-3(2022·福建省模拟)设平面直角坐标系中，设二次函数的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为求：
求实数的取值范围；
求圆的方程用含的方程表示
问圆是否经过某定点其坐标与无关？请证明你的结论．
【规律方法】
有些较为复杂的数学问题,解决它常常不止需要一种数学思想,而且需要多种数学思想方法的联合应用，函数与方程思想常常和转化与化归思想及数形结合思想联用,特别是函数思想与方程思想就是在不断转换过程中使问题一步步获得解决，转换的途径为“函数→方程→函数”或“方程→函数→方程”，而且在转换过程中不等式知识发挥重要作用，在联用函数与方程思想解题时又常常需要借助函数图象的变换求解.
专题10 函数与方程——答案解析
例1【解析】设正四棱锥的高为，底面边长为，球心为，由已知易得球半径为，
所以，
因为，
故所以，求导，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，，
故该正四棱锥体积的取值范围是
练1-1【解析】设角为，因为，
由余弦定理得：，
又因为的面积为，所以，即，
因此，
设，
令，则，，则，
所以当，，函数单调递增；当，，函数单调递减，
因此当时，函数有最小值，，
所以的最小值为，即最小值为．
故选A．
练1-2【解析】检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为，
检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为，
所以，，
令，
则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，即，时，最大．
故选A．
例2【解析】 因为数列也是公差为的等差数列，
所以
即
即
即
所以，有解得，
所以，．
练2-1【解析】建立如图所示的直角坐标系：
则，，，，
设，所以， ，．
且，
，解得，
，，，
．
故选：．
练2-2【解析】解：由短轴长为，知，，
解得，，所以椭圆的方程为；
设直线的方程为，
则由，得：，
，解得：，
将代入方程得：，解得，
点坐标为．
证明：设直线的方程为，，，，
与的方程联立可得点坐标为，，
与椭圆方程联立得：，
则，，
，
同理，
则，
为定值．
例3【解析】设，可得，即有为偶函数，
由题意考虑时，有两个零点，
当时，，，
即有时，，
由，可得，
即函数与在上有两个交点．
由，相切，设切点为，，
的导数为，的导数为
可得切线的斜率为，
由解得或舍去，
可得切线的斜率为，
由图象可得时，直线与曲线有两个交点，
综上可得的范围是．
故答案为：．
练3-1【解析】函数，
作出函数的图象如图所示，
令，
解得或，，
解得或，
设与在上从左到右的第个交点为，第个交点为，
则，
方程在上有且只有四个实数根，
则，即，解得．
故选B．
练3-2【解析】函数
令，得
设
当时，，则，
设，则，所以单调递增，
所以，
所以，所以单调递增，
设，则，，
所以，所以在区间上单调递增，
所以，即，
所以，
当时，．
作出函数的图象，如图所示，
由图可知，当有三个零点时，的取值范围是．
故答案为：．
练3-3【解析】令，得二次函数图象与轴交点有一个为，
那么结合题意可得二次函数的图象必与轴有两个交点．
令，由题意 且，解得且．
设所求圆的一般方程为．
令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故D，．
令得，，由题意可得，此方程有一个根为且，代入得出，
所以圆的一般方程为
圆：方程为
不妨令，则，则圆必过定点和．
证明如下：将代入圆 的方程，得左边，右边，
所以圆 必定点．
同理可证圆 必过定点．
2

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