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专题11 转化与化归
探究1：特殊与一般的转化
【典例剖析】
例1.(2022·福建省模拟)过抛物线的对称轴上的定点，作直线与抛物线相交于两点．
证明：两点的纵坐标之积为定值；
若点是定直线上的任一点，设直线的斜率分别为，试探索之间的关系，并证明．
【变式训练】
练1-1(2021·江苏省月考)已知函数且在上的最大值与最小值之和为若，则 ．
练1-2(2021·浙江省月考)在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为．
求椭圆的标准方程；
已知过点的动直线与椭圆交于，两点，试判断以线段为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．
【规律方法】
1.特殊与一般之间的转化法是在解题的过程中将某些一般问题进行特殊化处理或是将某些特殊问题进行一般化处理的方法．常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．
2.对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案．
3.对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．
探究2：函数、方程、不等式之间的转化
【典例剖析】
例2.(2022·江苏省联考)设函数，若的整数有且仅有两个，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·河北省模拟)设函数，若对任意的正实数，，不等式恒成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·江苏省月考)已知函数．
若函数在上单调递增，求的取值范围；
若函数有两个不同的极值点，，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【规律方法】
1．函数与方程、不等式联系密切，解决方程、不等式的问题需要函数帮助．
2．解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数与方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，将方程的求解问题转化为函数的零点问题、两个函数图象的交点问题．
探究3：正难则反的转化
【典例剖析】
例3.(2022·上海市模拟)已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
【变式训练】
练3-1(2022·陕西省月考)设集合，，则满足且的集合的个数是( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·北京市月考)函数，，若存在，，使得，则的取值范围是 ．
练3-3( 2022·湖南省联考)从盒子中摸出一个黑球的概率是，从盒子摸出一个黑球的概率是，从两个盒子中各摸出一个球，则下列说法中错误的是( )
A. 个球都不是黑球的概率为 B. 个球中恰有个是黑球的概率为
C. 个球中至少有个黑球的概率为 D. 个球中至多有个黑球的概率为
【规律方法】
1.否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可.
2.一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对较少，从反面考虑较简单.因此，间接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命题情形的问题中.
3.若问题直接求解困难时，可考虑运用反证法或补集法间接地解决问题．
探究4：数与形的转化
【典例剖析】
例4.( 2022·福建省模拟)已知椭圆：的右顶点为点，直线交于，两点，为坐标原点．当四边形为菱形时，其面积为．
求的方程；
若；是否存在直线，使得，，，四点共圆？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
【变式训练】
练4-1(2022·福建省模拟)若实数，，，满足，则的最小值为___．
练4-2(2022·湖南省联考)长方体中，，，，为侧面内含边界的动点，且满足，则四棱锥体积的最小值为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
大量数式问题潜在着图形背景, 借助形的直观性解题是寻求解题思路的一种重要方法。有时画一个图形给问题的几何直观描述, 从数式形的结合中易于找出问题的逻辑关系.
专题11 转化与化归——答案解析
例1【解析】证明：设有，下证之：
因为直线与抛物线相交于两点，所以直线的斜率不为可设直线的方程为：．
把的方程与联立得，消去得．
由韦达定理得即两点的纵坐标之积为定值．
探索：当直线轴时，则，设点，
此时，，，所以．
猜想一般情况下，有，下证之：
设点，则直线的斜率为，直线的斜率为，
所以
．
又因为直线的斜率为，
所以．
练1-1【解析】因为函数且在上的最大值与最小值之和为，
所以，解得或舍．
所以，
所以，
设，
则，
则，即．
故答案为．
练1-2【解析】由题意，故，
又椭圆上动点到一个焦点的距离的最小值为，
所以，解得，，所以，
所以椭圆的标准方程为．
当直线的斜率为时，令，则，此时以为直径的圆的方程为．
当直线的斜率不存在时，以为直径的圆的方程为，
联立解得，即两圆过点．
猜想以为直径的圆恒过定点．
对一般情况证明如下：
设过点的直线的方程为，与椭圆交于，则
整理得，
所以．
因为，
所以．
所以存在以为直径的圆恒过定点，且定点的坐标为．
例2【解析】，即，整理得．
又，，
令，，
，令得，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
且，且时，，作出函数的图象，如图所示，
若的整数有且仅有两个，即的整数有且仅有两个，
显然，且需满足，即
解得，即的取值范围是
故选：．
练2-1【解析】函数，，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，又，
所以当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以，
若对任意的正实数，，不等式恒成立，
则恒成立，
所以在上恒成立，
设，则，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
所以，
所以，即的最小值为．
故选C．
练2-2【解析】由函数在上单调递增，
则对恒成立，即对恒成立，
又在上单调递增，，
故的取值范围为．
函数，，
，
若有两极值点，即在上有两根，，，
则
，，，
又，，
令，，，
令，，，
，，，在上单调递减，
，即，
在单调递减，，，
故的取值范围为．
例3【解析】．
若函数在区间上单调递增，则在上恒成立，
所以恒成立，得
因为，
所以，由可知，．
若函数在区间上单调递减，则在上恒成立，
所以，得，结合可知，．
综上，若函数在区间上单调，则实数的取值范围为或．
所以若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为．
故答案为．
练3-1【解析】集合的子集有个；
又，
所以不能为：，，，，共个，
则满足且的集合的个数是．
故选B．
练3-2【解析】因为， 所以当时，，
因为， 所以当时，，
由题意可知，
当时，或， 即或，
故当时，．
故答案为．
练3-3 【解析】设从盒子摸出一个黑球“为事件”，从盒中摸出一个黑球“为事件”，则，，且，相互独立，
在选项中个都不是黑球，则，A正确
在选项中个球中恰有一个是黑球的概率为，B正确
在选项中个球至少有一个黑球的概率为，C错误
在选项中个球至多有个黑球的概率为，D正确．
例4【解析】因为四边形为菱形，所以垂直平分，
不妨设为轴上方的点，则点的横坐标为，
代入椭圆方程，得的纵坐标为，所以，
菱形的面积为，解得，
则的方程为．
设直线，，，
联立方程，得，
，
，，
因为，，，四点共圆，则，
所以，
即，
得，即
由得，即，
由得，
即，
联立，解得，此时直线过点，舍去，
将代入，解得，即，
所以直线的方程为．
练4-1【解析】实数，，，满足，
，，
令，，
所以 的最小值就是曲线与直线之间的最小距离的平方值，
设直线与曲线相切于点，
由，得，
则，由，解得或舍去，
求得，
则到直线的距离，
所以的最小值为．
故答案为：．
练4-2【解析】取的中点，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设点，其中，，则、，
因为平面，平面，则，
所以，同理可得，
所以，
所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为的椭圆的一部分，
则，，，
所以点的轨迹方程为，
点到平面的距离为，当点为曲线
与棱或棱的交点时，点到平面的距离取最小值，
将代入方程，得，
因此，四棱锥体积的最小值为．
故选：．
2

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