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专题19 数学文化
探究1：以数学名著为背景
【典例剖析】
例1.(2022·全国甲卷理科)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：当，时，( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练1-1(2022·湖南省益阳市联考)南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，二阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项之差成等差数列现有二阶等差数列，其前项分别为，，，，，，，则该数列的第项为( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·山东省潍坊市模拟)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》里给出了托勒密定理，即圆的内接凸四边形的两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积已知，为圆的内接四边形的两条对角线，，，则面积的最大值为___．
练1-3(2022·江苏省苏州市联考)“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何现有这样一个相关的问题：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，构成数列，记数列的前项和为，则的最小值为 ．
练1-4(2022·江淮十校联考)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何？”其意思为“今有人持金出五关，第关收税金为持金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，第关收税金为剩余金的，关所收税金之和恰好重斤．问原来持金多少？”记这个人原来持金为斤，设，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
在数学发展的历史中，有很多的数学著作问世，它们起着数学传播的作用，使得前人的思想和方法得以传承，如中国古代的《九章算术》、欧洲的《圆锥曲线论》等，而且这些书籍中的思想和方法在高中数学中也有所体现。
探究2：以现代科技或数学时事为背景
【典例剖析】
例2.(2022·全国乙卷理科)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列，，，，依此类推，其中则( )
A. B. C. D.
【变式训练】
练2-1(2022·四川省成都市模拟)航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基于年给出火箭最大速度的计算公式其中，是燃料相对于火箭的喷射速度，是燃料的质量，是火箭除去燃料的质量，是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．已知，则当火箭的最大速度可达到时，火箭的总质量含燃料至少是火箭除去燃料的质量的倍( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·重庆市联考)北京时间年月日时分，搭载神舟十三号载人飞船的长征二号遥十三运载火箭，在酒泉卫星发射中心按照预定时间精准点火发射，约秒后，神舟十三号载人飞船与火箭成功分离，进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富名航天员送入太空，飞行乘组状态良好，发射取得圆满成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量单位：千米秒可以用齐奥尔科夫斯基公式来表示，其中，单位：千米秒表示它的发动机的喷射速度，单位：吨表示它装载的燃料质量，单位：吨表示它自身除燃料外质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为千米秒，要使得该火箭获得的最大速度达到第一宇宙速度千米秒，则火箭的燃料质量与火箭自身质量之比约为( )
A. B. C. D.
练2-3(2022·广东省佛山市模拟)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积．球冠即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得较短的一段叫做球冠的高．设球面半径为，球冠的高为，则球冠的表面积为已知一颗地球静止同步通信卫星距地球表面的最近距离与地球半径之比为，则它的信号覆盖面积与地球表面积之比为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
以现代科技或数学时事为背景的数学文化考题特别关注科普知识，注重传统文化在现实中的创造性和创新性发展，体现中国传统科技文化对人类发展和社会进步的贡献，践行社会主义核心价值观。
探究3：以数学家为背景
【典例剖析】
例3.(2022·浙江卷)我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白如果把这个方法写成公式，就是，其中，，是三角形的三边，是三角形的面积设某三角形的三边，，，则该三角形的面积 ．
【变式训练】
练3-1(2022·江苏省南京市联考)世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”已知，，设，则所在的区间为( )
A. B. C. D.
练3-2(2022·湖南省长沙市联考)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明经过了年，到了世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为双曲线现有方程表示的曲线是双曲线，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
练3-3(2022·河北省名校联盟)德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足，若，则的前项和 ．
【规律方法】
数学历史名题或者直接提供了相应数学内容的现实背景，或与深刻的数学内容相结合，或者深刻揭示了实质性的数学思想，或者与经典的解法相互关联，以中外数学家发现的数学名题为背景命题，也是以数学文化为背景的高考试题的一大特色.
专题19 数学文化--答案解析
例1.【解析】，，，
是的中点，在上，，可得在的延长线上，，
．
故本题选B．
练1-1.【解析】设该数列为，则由，，
，，
可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为，公差为，故，
故，则，，，，，
上式相加，得，
即，故
故选C．
练1-2.【解析】如图所示：
因为圆内接四边形的对角互补，所以，所以，
因为，
所以，
在中，由正弦定理得，：：，
故设，，，
所以，
因为，所以，
因为，又，
所以，即，
因为，所以，
当且仅当时，等号成立，
所以，所以面积的最大值为．
故答案为： ．
练1-3.【解析】法一：由题意可知，，
所以，当且仅当时，即时取等号，
故答案为．
法二：被除余且被除余的正整数按照从小到大的顺序排成一列，
构成首项为，公差为的等差数列，所以，
，
当且仅当，即时取“”，
故答案为．
练1-4.【解析】由题意知：这个人原来持金为斤，
第关收税金为：斤第关收税金为斤
第关收税金为斤；
以此类推可得第关收税金为斤，第关收税金为斤，
所以，
即，解得．
由，所以．
故选C．
例2.【解析】由已知 ，，，故同理可得，
又因为，故，
于是得，排除．
，故，排除，而，排除．
故选.
练2-1.【解析】由题意可知，，，
代入，可得，
所以，解得，
所以，
则，
所以，
则火箭的总质量含燃料至少是火箭除去燃料的质量的倍．
故选A．
练2-2.【解析】由题意，，代入可得，
，故．
故选A．
练2-3.【解析】如下截面图，若为球心，为卫星位置，
故，，，所以，所以，
即，所以．
故选D．
例3.【解析】由题意，
．
故答案为．
练3-1.【解析】因为，
，
所以
故选.
练3-2.【解析】方程，，即为，
可得，则，
可得动点到定点和定直线的距离的比为常数，
由双曲线的定义，可得，解得．
故选.
练3-3.【解析】，
，
又，
，，
故，，
，
两式相减得，
故，
故答案为：．
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