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专题20 计数原理
探究1：排列与组合问题
【典例剖析】
例1.(2022·河北省保定市模拟)年北京冬奥会的某滑雪项目中有三个不同的运动员服务点，现需将名志愿者分配到这三个运动员服务点处，每处需要至少名至多名志愿者，则不同的安排方法一共有 种．
【变式训练】
练1-1(2022·湖南省衡阳市模拟)年月日，中国北京第届奥林匹克冬季运动会开幕式以二十四节气的方式开始倒计时创意新颖，惊破了全球观众，衡阳市某中学力了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“惊蛰”、“清明”、“立夏”、“芒种”、“小暑”六张知识展板分别放置在六个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰”两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板不相邻，则不同的放置方式有多少种( )
A. B. C. D.
练1-2(2022·江苏省南京市·多选) 把，等本不同的书全部分给人，则下列正确的是( )
A. 共有种不同的分法
B. 若把本不同的书平均分成三组，则有种不同的分组方法
C. 若恰有一人没有分到书，则有种不同的分法
D. 若每人至少一本，且，分给同一人，则有种不同的分法
练1-3(2022·江苏省常州市月考) 现有名师范大学毕业生主动要求到西部某地的甲、乙、丙三校支教，每个学校至少去人，则恰好有名大学生分配到甲校的概率为 ．
练1-4(2022·河北省月考) 在一个密闭的箱子中，一共有个大小、质量、体积等完全相同的个小球，其中有个黄球，其余全为蓝球，从这一个密闭的箱子中一次性任取个小球，将“恰好含有两个黄球”的概率记为，则当 时，取得最大值．
【规律方法】
对于排列、组合的问题,首先要把握问题的实质,分清是排列问题、组合问题还是综合性问题,分清分类与分步的标准和方式,并且要遵循两个原则,即按元素的性质进行分类、按事情发生的过程进行分步.探究一重点说明排列组合的综合应用中常见问题：
1.相邻与相间问题
①捆绑法：对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大元素”与其他元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列．
②插空法：对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可．
2.分组与分配问题：解决这类问题常用的思路是先分组后分配，即把个不同元素先按照某些条件分成个组，再分配给个不同的对象.其中分组问题，有①整体均分问题、②部分均分问题、③不等分问题，只要有一些组中元素的个数相等，就存在均分问题，在遇到均匀分组时，注意不要重复计数.
①整体均分问题：分组后不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 (为均分的组数)，避免重复计数，再分配给个对象；
②部分均分问题：分成的个组中若有组元素个数相等，则分组时应除以，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数；
③不等分问题：只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.
3.定序问题除法处理：对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数．
4.隔板法：个相同小球放入个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于个相同小球串成一串从间隙里选个结点剪成段（插入块隔板），有种方法
5.正难则反,等价转化：当从正面考虑情况复杂，可考虑从反面入手，将其等价转化为一个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从而使问题获得解决的方法.
探究2：二项式定理
【典例剖析】
例2.(2021·江苏省南京市联考·多选) 在的展开式中，各项系数与二项式系数之和为，则下列结论正确的是( )
A. B. 各项系数的绝对值之和为
C. 系数最大项为 D. 有理项有项
【变式训练】
练2-1(2022·安徽省亳州市期末) 已知，若与的展开式中的常数项相等，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·湖南省期中) 已知，设，则( )
A. B. C. D.
练2-3(2022·福建省模拟) 若的展开式中含有常数项，则的最小值等于 ．
练2-4(2021·山东省潍坊市模拟) 若，则
被整除的余数为 ．
【规律方法】
二项式定理的考查多以选择题和填空题的形式出现,难度基础或中等,主要体现在以下方面：
1.应用通项公式：的通项公式是(其中,,),对于求二项展开式的特定项或系数、两个二项式之积中特定项（或系数）问题、三项展开式中特定项（或系数）问题、已知特定项或特定项之间的关系求参数的值等问题，都可考虑用通项公式求解.
2.二项式系数与各项的系数和问题：涉及二项式系数和与系数和、展开式的逆应用、求解几个二项式和（或差）的相关问题.
⑴展开式的各二项式系数和：；
⑵奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等：.
3.应用二项式系数的性质：的展开式的二项式系数，有如下性质
(1)；
(2)当时,随的增加而增大；当时,随的增加而减小.当是偶数时,中间的一项取得最大值；当是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值.
利用二项式系数的性质解决二项式系数最大问题、系数最大问题等.
4.应用转化与化归思想：遇到比较复杂的二项式问题,可先设法将其转化为常规的二项式问题,再应用相应的方法求解.
专题20 计数原理—答案解析
例1. 【解析】根据题意，分步进行分析：
①将名志愿者分为组，若分为、、的三组，有种分组方法，
若分为、、的三组，有种分组方法，
则有种分组方法；
②将分好的三组安排到三个运动员服务点，有种安排方法，
则有种不同的安排方法；
故答案为：．
练1-1.【解析】由题意，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到，
当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时，只有种排法，
即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再用捆绑法，将三者捆在一起即，
所以最终满足题意的排法为．
故选A．
练1-2.【解析】由题意，本书分给个人，每本书有种分法，
从而共有种不同的分法，从而A错误；
若将本不同的书平均分为三组，从而共有种不同的分法，从而B正确；
从人中选人不分到书有种选法，
则其余人共有种分法，其中有种会出现人无书的情况，
从而，其余人每人都分到书的分法有种，
故共有种不同的分法，故C正确；
先将打包，则有组对象，将其分给个人，
有或两种分组方式，
从而共有种不同的分法，故D正确．
练1-3.【解析】按分组：种，从而有
按分组：种，从而有，
故所有的分配方法有种，
甲校恰好分配到两人的分配方法有种，
则概率为．
练1-4．【解析】根据题意可得，其中，，
取得最大值，也即是取最大，
设，，，
则
，
当时，；当时，，
所以最大，
因此，当时，取得最大值．
故答案为：．
例2. 【解析】由题意可得，解得，故A正确；
故各项系数的绝对值之和为，故B正确；
展开式的通项为，
要使系数最大，则为或为偶数，
，，
， ，
故系数最大项为，故C正确；
由展开式的通项，可得有理项有项，故D错误．
故选：．
练2-1.【解析】的通项为，，，，，，
令，则，
故常数项为，
同理可知的展开式中的常数项为，
，
又，．
故选C．
练2-2.【解析】已知，故，
，
即，
令，可得，
令，可得，
所以．
故选D．
练2-3．【解析】 因为的展开式中含有常数项，
所以的展开式中有常数项或项，
而展开式的通项公式为，
①若的展开式中有常数项，则，即，当时，的最小值为，
②若的展开式中有项，则，即，当时，的最小值为．
所以的最小值为．
故答案为．
练2-4．【解析】在已知等式中，取得，①
取得，②
①-②得：，
因为

所以
，
所以能被整除，
所以被整除的余数为．
故答案为．
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