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专题20 重要结论应用
探究1：数列常用结论
【典例剖析】
例1.(2022·北京卷) 和是两个等差数列，其中为一固定常数值，，，，则( )
A. B. C. D.
(
选题意图:
高考
对
数列
的考查以基础知识为主
,本题主要考查等差数列的性质
.
考查学生简单的运算求解能力
.
思维引导：
结合题意和等差数列的性质进行求解即可
.
)
【变式训练】
练1-1(2022·山西省沂州市联考)设等差数列的前项和分别是，且，则 ．
练1-2(2022·天津市模拟) 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，
，则的值是
A. B. C. D.
【规律方法】
1.通项性质:若，
则对于等差数列，有，对于等比数列有.
2.前项和的性质：
(1)对于等差数列有成等差数列；
对于等比数列有,,，…成等比数列(且为偶数情况除外)．
(2)对于等差数列，有.
探究2：三角函数常用结论
【典例剖析】
例2.(2021·新高考1卷)若，则( )
A. B. C. D.
(
选题意图：
高考真题,
以齐次式为背景依托，考查学生对问题本质的理解，此题既可以分情况讨论，也可以利用倍角公式将已知条件转化为熟悉的结构，还可以直接
齐次化
处理，将分子和分母都变为二次式，给了学生更多灵活处理的空间.
思维引导：
由题意化简所给的三角函数式，然后利用齐次式的特征将其“弦化切”即可求得三角函数式的值
.
)
【变式训练】
练2-1(2022·河北省唐山市联考)已知，，且，则( )
A. B. C. D.
练2-2(2022·湖南省长沙市联考)已知为三角形的内角，且，则 ．
练2-3(2022·天津市模拟)若，且，则( )
A. B. C. D.
练2-4(2022·四川省泸州市模拟)已知，若是第二象限角，则( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.半角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin＝±.(2)cos＝±.(3)tan＝＝.
2. 升幂公式：;;;
3. 降幂公式：;
4.关于,的齐次式问题求解策略
分式齐次式：将分子、分母同时除以,将其转化为关于的式子进行求解.若为二次齐次式,则分子、分母同时除以.
整式齐次式：将原式看作分母为1的表达式,把1换成,分子、分母同时除以,转化为关于的式子进行求解.
探究3：解析几何常用结论
【典例剖析】
例3.(2022·江苏省泰州市期中)已知椭圆，点为直线上一动点，过点向椭圆作两条切线、，、为切点，则直线过定点 ．
(
选题意图：
最新模考题,
本题考查椭圆的简单性质
,
椭圆的切线方程
,
圆锥曲线中定点问题
.可直接利用椭圆切线方程的二级结论快速答题.考查了数学抽象、数学运算的核心素养.
思维引导：
根据椭圆的切线方程的结论
可得
、
都在直线
上，结合
，根据直线过定点求解即可．
)
【变式训练】
练3-1(2022·湖南省衡阳市模拟·多选)圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角．请解决下面问题：已知，分别是双曲线：的左、右焦点，点为在第一象限上的点，点在延长线上，点的坐标为，且为的平分线，则下列正确的是( )
A. B.
C. 点到轴的距离为 D. 的角平分线所在直线的倾斜角为
练3-2(2022·江苏省镇江市联考)已知椭圆，抛物线，且与在第一象限的交点为，且和在处的切线斜率之积为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
2.若在双曲线上，则过的双曲线的切线方程是
3.若在椭圆外,则过作椭圆的两条切线切点为、,则切点弦的方程是.
4.若在双曲线外 ，则过作双曲线的两条切线切点为、,
则切点弦的直线方程是.
探究4：函数常用结论
【典例剖析】
例4.(2022·全国乙卷理科)已知函数，的定义域均为，且，，若的图像关于直线对称，，则( )
A. B. C. D.
(
选题意图：
高考真题,试题以两个抽象函数为载体
,
通过考查函数的奇偶性、对称性和周期性培养学生的逻辑推理能力、运算求解能力,以及灵活的分析问题、转化问题、解决问题的能力.
思维引导：
试题的基本条件主要是针对函数
给出的,但设问是对函数
提出．因此解题的关键是如何利用两个函数之间的关系,将
的信息转移到
上.
)
【变式训练】
练4-1(2021·新高考2卷)设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，则 ( )
A. B. C. D.
练4-2(2022·辽宁省抚顺市一模)已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，当时，都有，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.
【规律方法】
1.常见的与周期函数有关的结论如下：
(1)如果,那么是周期函数,其中的一个周期.
(2)如果,那么是周期函数,其中的一个周期.
(3)如果,那么是周期函数,其中的一个周期.
2.函数的对称性
已知函数是定义在R上的函数.
(1)若恒成立,则的图象关于直线对称，
特别地，若恒成立，则的图象关于直线对称.
(2)若函数满足,即,
则的图象关于点对称.
(3)若恒成立，则的图象关于点对称.
专题20 重要结论应用--答案解析
例1.【解析】由题意可得，其中，，，解得，
因为是等差数列，所以是与的等差中项，故．
故本题选D．
练1-1.【解析】由等差数列的性质可知：，
由等差数列前项和公式可知：，，则．
故答案为．
练1-2.【解析】在等差数列中，由，得，，，
在等比数列中，由，得，，，
则．
故选D．
例2. 【解析】由题意可得：
．
故选C．
练2-1.【解析】由题意得，，
因为，所以，,
所以，即，
故选A．
练2-2.【解析】因为为三角形的内角，且，
所以，，所以，可得，
，
故答案为：．
练2-3.【解析】由，，可得
，，
故选D．
练2-4.【解析】由，得，即，
又是第二象限角，，．
故选B．
例3.【解析】设，则，，，则切线的方程为，
切线的方程为，可得、都在直线上，
即，整理得，令，解得故直线过定点．
故答案为：．
练3-1.【解析】由已知可得是双曲线的一条切线，设点，则切线为，
将点代入切线方程可得：，所以，即点到轴的距离为所以C错误；
又双曲线的方程可得，由角分线定理知，，即选项A正确：
因为，故B错误：
又因为直线的斜率为，所以的角平分线所在直线的斜率为 ，
即倾斜角为，即选项D正确：
故选：．
练3-2.【解析】设切点为，依题意抛物线上半部分函数解析式为，则，
则抛物线在处的切线斜率，且，
依题意过点椭圆的切线斜率存在，
设切线方程为，联立椭圆方程，可得，
化简可得： ，
由题可得：，
化简可得：，式只有一个根，记作，，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，所以，所以，
所以切线方程为，化简得．
即椭圆上一点的切线方程为，此时切线的斜率，
所以，
所以，所以椭圆的离心率．
故选：．
例4.【解析】若的图像关于直线对称，则，
因为，所以，故，为偶函数
由，，得
由，得，
代入，得，
关于点中心对称，所以
由，，得，所
以，故，
周期为由，得，又，
所以．
故选：．
练4-1.【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知．
故选B．
练4-2.【解析】因为是定义在实数集上的函数，且的图象关于直线对称，
则函数的图象关于对称，所以函数是偶函数，
又对任意都有，
令，则，所以对任意都有，
即得函数是以为周期的偶函数，
所以，，，
因为对任意的，，当时，，，
则当时，为增函数，
因为，所以，
即得，所以．
故选C．
2
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