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能力专题13 推理论证能力
探究1：代数推理证明
【典例剖析】
例1. (2022·山东省烟台市·月考) 设函数，．
若直线是曲线的一条切线，求的值；
证明：当时，；
，是自然对数的底数，
【变式训练】
练1-1. (2022·湖北省武汉·联考) 已知，为自然对数的底数．
讨论函数的单调性；
若函数有两个不同零点，求证：．
练1-2. (2022·福建·模拟) 如图，已知双曲线，曲线是平面内一点，若存在过点的直线与、都有公共点，则称为“型点”．
在正确证明的左焦点是“型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程不要求验证；
设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“型点”；
求证：圆内的点都不是“型点”．
【规律方法】
推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力.解决代数推理论证类问题涉及函数、方程、不等式等，常用的方法有综合法、分析法、反证法、归纳法、演绎法等.
探究2：几何推理论证
【典例剖析】
例2. (2022·浙江省·月考) 如图，在直三棱柱中，是等腰直角三角形，，点，分别是，的中点，求证：
平面；
平面．
【变式训练】
练2-1. (2022·山东省·联考) 如图所示，已知四边形是正方形，四边形是矩形，是线段的中点．
求证：平面
若平面平面，平面平面，试分析与的位置关系，并证明你的结论．
练2-2. (2022·全国·联考) 如图所示，四边形是正方形，点，满足，，将沿折起，顶点与分别折到，，折叠时二面角为钝角．
证明：平面平面；
当二面角等于时，判断直线和直线是否异面，并求它们夹角的余弦值．
【规律方法】
代数推理与几何推理是学习数学的两大重点领域，二者侧重知识点不同，根据解题的需要，二者可以相互转化（如用空间向量解决立体几何问题），培养推理论证能力的途径：
明确对基本事实、定理、概念的理解，为推理论证打基础；
课堂上积极创设问题情境，启发思考，诱发大胆猜想；
精心编制例题，让学生牢固掌握推理论证的方法与技巧；
规范数学表达，培养推理论的严密性、条理性.
能力专题13 推理论证能力—答案与解析
例1.【解析】解：，
设切点为，则，即，
所以切点坐标为，
代入直线，得．
要证，即证，
设，，
则，
所以在上单调递减．
所以，即得证，
所以当时，；
要证，，即证，
先证，即证，
设，则，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以得证．
再证，即证，
设，
由于
，
所以成立，即得证．
综上，，得证．
练1-1.【解析】解：，，，
当时，在上是增函数，在上是减函数
当，在上是减函数，在上是增函数．
证明：有两个不同零点，，则，，
因此，即．
要证，只要证明，即证，
不妨设，记，则，，因此只要证明，即．
记，，令，则，
当时，，所以函数在上递增，则，
即，则在上单调递增，，
即成立，．
练1-2.【解析】解：（1）的左焦点为，写出的直线方程可以是以下形式：
或，其中．
证明：因为直线与有公共点，
所以方程组有实数解，因此，得，
若原点是“型点”，则存在过原点的直线与、都有公共点，
考虑过原点与有公共点的直线或，
显然直线与无公共点，
如果直线为，则由方程组，
得，矛盾，
所以直线与也无公共点，
因此原点不是“型点”．
证明：记圆：，取圆内的一点，
设有经过的直线与，都有公共点，显然不与轴垂直，故设，
若，由于圆夹在两组平行线与之间，
因此圆也夹在直线与之间，
从而过且以为斜率的直线与无公共点，矛盾，所以，
因为与有公共点，所以方程组有实数解，
得，
因为，所以，
因此，
即，
因为圆的圆心到直线的距离，
所以，从而，得，与矛盾．
因此，圆内的点不是“型点”．
例2.【解析】解：证明：连接交于点，连接，
点，分别为，中点，
，
平面，平面，
平面；
设与交于点，
在直三棱柱中，平面，平面，
，
是等腰直角三角形，，
，、平面，
平面，
，
平面，又平面，
，
，
又为中点，，
∽，，即，
，平面，平面，
平面．
练2-1.【解析】证明：如图，记与的交点为，连接．
因为，分别是，的中点，四边形是矩形，
所以四边形是平行四边形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
，证明如下：
由知平面，
又平面，平面平面，
所以，
同理，平面，
又平面，平面平面，
所以，所以．
练2-2.【解析】解：由正方形和折叠的性质，可得，．
又因为，平面，，平面，且，
所以平面平面．
由于平面，平面，且平面平面，
所以直线与直线异面等价于直线与直线不平行，故直线和直线异面．
设为折叠前正方形的中心即为中点，点，满足，，
则由正方形的对称性可知，，
则就是二面角的平面角，即．
以为原点，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
设，由条件得，则，．
到轴的距离为，且，所以同理
，，
两直线的方向向量不平行，从而直线与直线异面
它们夹角的余弦值．
2

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