资源简介

能力专题14 空间想象能力
探究1：空间几何体中的截面问题
【典例剖析】
例1. (2022·湖南·模拟) 如图，长方体中，，点为的中点，过作长方体的截面交棱于点，则( )
A. 不存在点，使得
B. 当截面为平行四边形时，截面面积的最大值为
C. 截面可能是六边形
D. 随的增大，直线与截面所成角的大小先增大再减小
【变式训练】
练1-1. (2022·广东省·联考) 已知四面体为正四面体，，，分别是，的中点．若用一个与直线垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积的最大值为( )
A. B. C. D.
练1-2. (2022·安徽省·月考) 在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，，，两两垂直，单位：，小明同学计划通过侧面内任意一点将木块锯开，使截面平行于直线和，则该截面面积单位：的最大值是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
熟练掌握正六面体横截、竖截、斜截后的平面图形，圆柱体经过横截、竖截、斜截后的平面图形.
结合线、面平行的判定与性质求截面问题，结合线、面垂直的判定与性质求截面问题
有关截面最值问题求解策略：（1）转化为建立函数模型求解最值问题，或利用基本不等式求解；（2）猜想法求最值，需要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等.
探究2：几何体折叠问题
【典例剖析】
例2. (2022·全国·联考) 为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了诵经典，获新知的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图，已知球的体积为，托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图则下列结论正确的是( )
A. 经过三个顶点的球的截面圆的面积为
B. 异面直线与所成的角的余弦值为
C. 多面体的体积为
D. 球面上的点离球托底面的最小距离为
【变式训练】
练2-1. (2022·全国·模拟) 平行四边形，点分别在上，且，点是上的动点，和中点分别是和，把四边形沿折起，则( )
A. 直线和直线是异面直线 B. 直线和直线是异面直线
C. 存在点，使得直线面 D. 存在点，使得平面面
练2-2. (2022·湖北省·模拟) 在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开得到平面图如图所示，，，为的中点，为的中点，则在原直三棱柱中，下列说法正确的是( )
A. ，，，四点共面
B.
C. 几何体和直三棱柱的体积之比为
D. 当时，与平面所成的角为
【规律方法】
解决与折叠有关问题的关键是搞清折叠前后的变化量与不变量，一般情况下，折现同一侧的线段长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口；
在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，善于将折叠后的量放在原平面图形中进行分析求解.
探究3：动态问题
【典例剖析】
例3. (2022·湖北省·联考) 如图，已知，是相互垂直的两条异面直线，直线与，均相互垂直，垂足分别为，，且，动点，分别位于直线，上，且异于，异于若直线与所成的角，线段的中点为，下列说法正确的是( )
A. 的长度为定值
B. 三棱锥的外接球的半径长为定值
C. 三棱锥的体积为定值
D. 点到的距离为定值
【变式训练】
练3-1.(2022·广东省·模拟) 如图所示，在四棱锥中，底面，且底面各边都相等，，是上的一动点，当点满足 时，平面平面只要填写一个你认为正确的条件即可
练3-2. (2021·湖南省·联考) 正方体的棱长为，，的中点分别是，，直线与正方体的外接球相交于，两点，点是球上的动点，则面积的最大值为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
立体几何中空间动点轨迹的判断会求轨迹的长度，一般根据线面平行、线面垂直的判断和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义判断出动点的轨迹（也可以借助空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程）
探究、确定位置关系问题，其求解策略是：①观察-猜想-证明；②类比联想；③赋值判断；④特殊-一般-特殊.
能力专题14 空间想象能力—答案与解析
例1.【答案】AD
【解析】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
设，，，
设平面的法向量为，
，令，，
对于，假设存在点使得，
与共线，，即
于是，此方程组无解，所以对
对于，，，
当时，截面面积为，所以错
对于因为截面与每面至多有一条交线，截面不能与六个面同时相交，所以错
对于，直线与截面所成角的正弦值为
，
再结合正弦函数的单调性知直线与截面所成角的大小先增大再减小，所以对
故选：．
练1-1.【答案】A
【解析】解：补成正方体，如图．
截面为平行四边形，
可得，
又，且，
，
可得
当且仅当时取等号，
故选A．
练1-2.【答案】B
【解析】解：根据题意，在平面内，过点作分别交于，
在平面内，过作交于，
在平面内，过作交于，连接，作图如下，
因为，则，
所以∽，设其相似比为，
则，
因为，所以在中，，
因为，所以，即，
因为，则，
所以，∽，即，
因为，
所以，即，
同理∽，即，
因为，平面，平面，
所以平面，
因为，
所以平面，平面，又平面，
所以，
因为
所以
因为，所以∽，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以四边形是矩形，即，
所以，由二次函数的性质知，当时，有最大值．
故选：．
例2.【答案】BCD
【解析】解：因为托盘由边长为的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，
所以连接、和得几何体，
因此构建一个底面边长为，高为的正三棱柱，
取、和的中点分别为、和，
则几何体就是题意中的几何体，如图：
这个几何体的上底面是边长为的正三角形，
下底面是边长为的正三角形，高为．
因为铜球的体积为，所以由球的体积公式得铜球的半径．
对于、因为经过三个顶点，，的球的截面圆就是正的外接圆，
所以若边长为的正三角形的外接圆半径为，则，解得，
因此经过三个顶点，，的球的截面圆的面积为，所以不正确；
对于、取的中点，连接，则由几何体的构成知，
因此四边形是平行四边形，所以，
因此就是异面直线与所成的角．
连接，在中，，，
因此，
即异面直线与所成的角的余弦值为，所以B正确；
对于、因为由几何体的构成知：
多面体的体积为三棱柱的体积减去个三棱锥的体积，
即，此C正确；
对于、由知：经过三个顶点，，的球的截面圆的半径，
所以铜球的球心到截面的距离为，
因此球离球托底面的最小距离为，所以D正确．
练2-1.【答案】BC
【解析】如图，因为，，所以四边形是平行四边形，连接，则交于点，即是的中点，连接，因为中点是，所以，因此直线和直线是共面，故A错误．
如图，连接和，直线在面中，点不在平面内，点不在直线上，所以直线和直线是异面直线，故B正确．
如图，当点是线段的中点时，直线面，证明如下：取的中点，连接，则，且，所以四边形时平行四边形，，因此直线面，故C正确．
如图，点在直线上，所以点在平面内，根据点和点在平面内，得直线在平面内，又直线经过点，所以点在平面内，于是点是平面于平面的公共点，即两平面相交，故D错误．
练2-2.【答案】ABD
【解析】解：如图的三棱柱，连接，相交于点，
因为，分别为的中点，所以，所以，，，四点共面，故A正确；
B.因为直三棱柱中，易知平面，平面，
所以，又，所以四边形为正方形，所以，
，是平面内的两条相交的直线，故平面，平面，
所以，故B正确；
C.
，故C错误；
D.因为平面，所以与平面所成的角为，
因为，所以，所以，故D正确．
例3.【答案】ABD
【解析】解：将图形还原为长方体，如图所示，
因为，所以易知其为锐角是与所成的角，即，
易知，则，，故A正确；
对，易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，
则其直径，半径为，故B正确；
对，
，不为定值，故C错误；
对，设，交于，则为的中点，连接，取的中点，连接，
又因为为的中点，所以，而，
故，，所以四边形是平行四边形，
则，，因为，则．
因为平面，平面，
所以，则，所以点到的距离为，故D正确．
故本题选ABD．
练3-1.【答案】或
【解析】解：连接，，则，
底面，底面，
，
又，平面，
平面，又平面，
，
当或时，即有平面，
而平面 ，
平面平面．
故答案为：或．
练3-2.【答案】C
【解析】解：如图，设正方体外接球球的半径为，过球心作，垂足为，易知为的中点．
因为正方体的棱长为，所以，，，，
所以，，
所以．
因为点是球上的动点，所以点到的最大距离为，
故面积的最大值为．
故选C．
2

展开更多......

收起↑