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能力专题15 运算求解能力
探究1：定义、公理公式及其变形中的运算技巧
【典例剖析】
例1. (2022·广东揭阳市·联考) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点且不与轴重合的直线交椭圆于，两点当直线与轴垂直时，．
求椭圆的标准方程．
求内切圆半径的最大值．
【变式训练】
练1-1. (2022·辽宁省·模拟) 设，，则( )
A. B. C. D.
练1-2. (2022·江苏扬州市·月考) 分子间作用力只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为，这两个相距的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能其计算式子为，其中，为静电常量，、分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移已知，，，且，则的近似值为( )
A. B. C. D.
练1-3. (2021·湖北荆州市·模拟) 已知函数的最大值为，若存在实数，使得对任意实数，总有成立，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.牢固掌握运算所需要的概念、性质、公式、法则、定理等是进行数学运算的基础，对公式、法则的使用做到会顺用、逆用、变形用.
2.圆锥曲线的定义反映了圆锥曲线的本质特征，揭示了曲线存在的条件及其包含的几何性质，灵活运用性质，灵活运用圆锥曲线的定义常常会给解题带来极大方便.圆锥曲线中未知直线的巧妙设置，可以避开分类讨论，运算过程中巧妙使用点差法设而不求，面积转化法，化齐次方程等，可以简化复杂的计算.
3.三角函数部分公式的正用、逆用与变形用主要是从公式的结构方面着手考虑问题的，因此必须要熟悉每个三角公式的特点，同时解题时要善于观察所给三角函数式的结构特点与已知公式的结构的差异，在局部上寻求共同点.
探究2：建系解决几何问题
【典例剖析】
例2. (2022·湖北·联考) 在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
求；
如图，圆是的外接圆，延长交于点，过圆心作交于点，且求的长．
【变式训练】
练2-1. (2022·湖北·月考) 在一个半圆中有两个互切的内切半圆，由三个半圆弧围成“曲线三角形”，作两个内切半圆的公切线把“曲线三角形”分隔成两块，且被分隔的这两块中的内切圆是同样大小的，如图，若，则阴影部分与最大半圆的面积比为( )

A. B. C. D.
练2-2. (2022·全国·联考) 在正三角形中，为中点，为三角形内一动点，且满足，则最小值为( )
A. B. C. D.
练2-3. (2022·湖北襄阳市·月考) 在平面内，定点满足，，动点，满足，，则的最大值是( )
A. B. C. D.
【规律方法】
1.数形结合思想通过“以形助教，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，是数学的规律性与灵活性的有机结合.
2.运算求解能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等．运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力.
能力专题15 运算求解能力—答案与解析
例1.【解析】解：由直线垂直轴时，，
可设，，
由，解得，
所以椭圆的标准方程为；
法：设，，直线的方程为，
联立，消去并化简得，
由韦达定理得，
即有，
所以，
而
，
当且仅当，即时等号成立，
又因为，
所以内切圆半径的最大值为．
法：当直线的斜率不存在时，，
又因为，
所以这时，
当直线的斜率存在时，设，，，
把代入得，，
得，
由韦达定理得，
，
点到直线的距离为，
=
，
当且仅当即时等号成立，
由
得解得．
又因为，所以内切圆半径的最大值为．
练1-1.【答案】D
【解析】解：，，，
，
故选：．
练1-2.【答案】D
【解析】解：
．
故选：．
练1-3.【答案】B
【解析】解：
，
当时，
取得最大值为．
当时，
取得最小值为．
依题意，存在实数，使得对任意实数，总有成立，
，
，
是整数，为奇数，所以的最小值为．
故选：．
例2.【解析】解：因为，由正弦定理，得，
由，得，
由，得，所以，由，得．
由正弦定理，得．
由，得．
解法一：由，得．
在中，由余弦定理，得，所以．
由正弦定理，得，
则，
，，
所以．
解法二：以为原点，以，方向分别为轴、轴正方向建立平面直角坐标系，
则，由可知．
设点的坐标为，则，．
因为，所以，解得所以．
练2-1.【答案】B
【解析】解：设，则，，
记最大半圆的圆心为，的中点为，的中点为，
两个内切圆的圆心分别为，．
建立如图所示的坐标系，
，，，，
设，，
则，得，所以，
由圆与圆内切，得，解得，
同理，得，所以，
由圆与圆内切，得，解得，
所以 ，
故选B．
练2-2.【答案】D
【解析】解：以为坐标原点，，正方向为，轴，建立平面直角坐标系，
不妨设正三角形的边长为，则，，，
设，则，，
，，
，即
点轨迹为：，
当时，，
当时，令，则表示与连线的斜率，
设直线与圆相切，
则圆心到直线距离，解得：或，
，
则当时，取得最小值，
综上所述，最小值为．
故选D．
练2-3.【答案】B
【解析】解：由，可得为的外心，
又，
可得，，
即，
即有，，可得为的垂心，
则为的中心，即为正三角形．
由，即有，
解得，的边长为，
以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，
可得，，，
由，可设，，
由，可得为的中点，即有，
则
，
当，即时，取得最大值，且为．
故选：．
2

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