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5.1 导数的概念及其意义
新课学习
问题1 高台跳水运动员的速度
在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11．
如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？
阅读课本59-61页，思考并回答以下几个问题。
(1)如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？
(2)如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？
(3)计算运动员在0 ≤ t ≤这段时间内的平均速度你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
(4)瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在t=1时的瞬时速度吗？
答案：（小组交流并写出答案）
观察课本60中的表格5.1-1，发现规律：
（1）发现无论t从 ，还是从 无限趋近于1，平均速度都无限趋近于 。
（2）由 可知，
无论Δt的正负，只要无限趋近于 ， －4.9Δt也无限趋近于 ，平均速度都无限趋近于－5 。
极限的定义：我们把－5叫做“当Δt无限趋近于0时， 的极限”，记为
跟踪练习
1.你能用上述方法，计算当t＝2s 时的瞬时速度吗？
2.你能推导出任意时刻t0时瞬时速度的表达式吗？
方法技巧：
求物体在t0刻的瞬时速度一般步骤：
(1) 平均速度：
(2) 瞬时速度：
问题2. 抛物线的切线的斜率
你认为应该如何定义抛物线 在点处的切线？
阅读课本62-64页，思考并回答以下几个问题。
斜率是确定直线的一个要素，如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？
如何求抛物线在点处的割线的斜率呢？
(3)从切线的定义可见，抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有什么样的联系.
答案：（小组交流并写出答案）
观察课本63中的表格5.1-2，发现规律：
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点P无限趋近于点P0，于是割线无限趋近于 ，这时割线的斜率无限趋近于 ，因此切线的斜率x＝x0处的 。
知识点总结
1.平均变化率的定义：
函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝____________,我们把比值 ＝________________叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率．
注：(1)△x可以是正值,也可以是负值,但不为
(2)平均变化率的几何意义是 。
2.求函数平均变化率的一般步骤：
对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：
(1)自变量的改变量：Δx＝_______.
(2)函数值的改变量：Δy＝_____________．
(3)平均变化率＝ ＝ .
3.瞬时变化率的定义：
函数f (x)在x＝x0处的瞬时变化率是函数f (x)从x0到x0＋Δx的平均变化率在Δx→0时的极限，即 =
注：瞬时变化率的几何意义是 。
典型例题
例1 已知函数y＝x－，求该函数图象在点x＝1处的切线斜率.
变式训练 求抛物线y＝x2+1，在点（0,1）处的切线方程.
例2 已知火箭发射t秒后，其高度（单位：m）为h(t)=0.9t2。
求：（1）在这段时间里，火箭爬高的平均速度；
发射后第10秒时，火箭爬高的瞬时速度。
检测练习
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)Δx趋近于零时表示Δx＝0． (　　)
(2)平均变化率与瞬时变化率可能相等． (　　)
(3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． (　　)
(4)函数y＝f (x)在某x＝x0的瞬时变化率可写成 (　　)
2.函数y＝－2x2＋1在区间[1，1＋Δx]内的平均变化率为________．
3.函数y＝－2x2＋1在x=1瞬时变化率为________．
课后小结
这节课你学会了什么内容？（学生自由总结，教师点评）
课后作业
必做题：课本第64页练习1,2题
选做题：习题5.1 1-4

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