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第二十六章 反比例函数
26.1.2 反比例函数的图象和性质
第2课时 反比例函数的图象和性质的应用
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
回顾与思考
1 反比例函数的图象是什么？
2 反比例函数的性质与k有怎样的关系？
反比例函数的图象是双曲线
当k>0时，两条曲线分别位于第一、三象限；
在每个象限内，y随x的增大而减小
当k<0时，两条曲线分别位于第二、四象限；
在每个象限内，y随x的增大而增大
讲授新知
贰
1、已知反比例函数的图象经过点 A（2，6）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
（2）点B（3，4）， ，D（2，5）是否在这个函数的图象上？
解：（1）∵点A（2，6）在第一象限，
∴这个函数的图象位于第一、第三象限，
在每一个象限内，y随x的增大而减小；
讲授新知
知识点1　用待定系数法求反比例函数的解析式
当x＝3时，y＝4，所以点B在这个函数的图象上；
讲授新知
（2）设这个反比例函数的解析式为 .
∵点A（2，6）在其图象上，即
∴解得：k＝12.
∴这个反比例函数的解析式为
当x＝ 时，y＝ ，所以点C在这个函数的图象上；
当x＝2时，y＝6≠5，所以点D不在这个函数的图象上.
例1：已知反比例函数 的图象经过点A(2,3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由；
(3)当-3＜x＜-1时,求y的取值范围．
范例应用
（3）－6＜y ＜－2
（2）当x＝-1时，y＝-6≠6，所以点B不在这个函数的图象上；
解：（1）设这个反比例函数的解析式为 .
∵点A（2，3）在其图象上，即
∴解得：k＝6.
∴这个反比例函数的解析式为
当x＝3时，y＝2，所以点C在这个函数的图象上.
讲授新知
2、 如图，它是反比例函数 图象的一支，根据图象，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？　　
解：（1）反比例函数的图象只有两种可能：位于第一、第三象限，或者位于第二、第四象限.
∵这个函数的图象的一支位于第一象限，
∴另一支必位于第三象限.
∵这个函数的图象位于第一、第三象限，
∴m－5＞0，解得m ＞ 5.
知识点2　反比例函数解析式中k值的意义
（2）在这个函数图象的某一支上任取点 A（x1，y1）和点B（x2，y2），如果x1＞x2，那么y1和y2有怎样的关系？
（2）∵m－5 ＞ 0，
讲授新知
∴在这个函数图象的任一支上，
y随x的增大而减小，
∴当x1＞x2时，y1＜y2 .
【例2】如图,是反比例函数 的图象,则k的值可以是( )
A.-1 B.4 C.2 D.0
解析：由图象知该反比例函数位于第一、三象限，则k-3>0，故k>3，所以k可以是4．
范例应用
x
y
B
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系
P（2,2） Q（4,1）
合作探究
3.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
5
x
y
O
Q
P
S1
S2
讲授新知
4
S1=S2
S1=S2=k
4
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想与k的关系
P（-1,4）Q（-2,2） 4
4
S1=S2
S1=S2=-k
y
x
o
P
Q
S1
S2
讲授新知
由前面的探究过程，可以猜想:
若点P是 图象上的任意一点，作PA垂直于x轴，作PB垂直于y轴，矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形 AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就k<0的情况给出证明：
设点P的坐标为(a,b)
A
B
∴S矩形 AOBP=PB·PA=-a·b=-ab=-k；
若点P在第二象限，则a<0，b>0
若点P在第四象限，则a>0，b<0
∴S矩形 AOBP=PB·PA=a·（-b）=-ab=-k.
B
P
A
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明k>0的情况。
讲授新知
∵点P(a,b)在函数 的图象上，
∴ ，即ab=k
点Q是其图象上的任意一点，作QA垂直于y轴，作QB垂直于x轴，矩形AOBQ的面积与k的关系是
方法归纳
Q
对于反比例函数 ，
A
B
反比例函数的面积不变性
y
x
O
讲授新知
|k|
S矩形 AOBQ =
推理：△QAO与△QBO的面积和k的关系是S△QAO=S△QBO=
【例3】如图，在函数 的图象上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为SA ，SB，SC，则（ ）
范例应用
A.SAC. SA >SB>SC D.SAy
x
O
A
B
C
B
4、在同一坐标系中,函数 　和y=k2x+b的图象大致如下,则 k1、k2、b各应满足什么条件？
k2＞0,b＞0
k1＞0
k2＞0,b＜0
k1＞0
①
x
y
O
x
y
O
②
k2＜0,b＜0
k1＜0
k2＜0,b＞0
③
x
y
O
k1<0
④
x
y
O
讲授新知
知识点3　反比例函数与一次函数的综合
【例4】函数y=kx-k与 的图象大致是( )
B
B
x
y
O
A
y
x
O
C
y
O
x
范例应用
D
x
y
O
点拨：应分情况讨论，若k>0,一次函数y=kx-k中的b=-k<0，则y随x的增大而增大，且该图象应与y轴负半轴相交；反比例函数图象应在第一、三象限，所以不成立 。
若k<0,一次函数y=kx-k中的b=-k>0，则y随x的增大而减小，且该图象应与y轴正半轴相交，；反比例函数图象应在第二、四象限，所以选B 。
【例5】反比例函数 的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),求反比例函数的解析式。
范例应用
解：∵ 与y=2x+1的交点是（1，k)
则点A（1，k）在其一次函数y=2x+1图象上，
即k=2+1=3
∴这个反比例函数的解析式为
当堂训练
叁
1.如图,直线y=k1x+b与反比例函数 (x<0)交于A,B两点,其横坐标分别为-5和-2,则不等式k1x+b＞ 的解集是________.
-5＜x＜-2
y
O
B
A
x
-5
-2
当堂训练
2、如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为4,则k= .
y
x
O
P
A
8
当反比例函数图象在第一、三象限时，注意k>0.
点拨
当堂训练
3.如图，函数 y＝-x 与函数 的图象相交于A，
B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，
D，则四边形ACBD的面积为(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
D
当堂训练
反比例函数面积不变性：S△ACO=S△BDO= =2, AC OC=4, A点与B点关于原点对称，OC=OD，AC=DB,则AC CD=8
点拨
·
·
4、已知：如图反比例函数 的图象与一次函数y=x+b的图象交于点P(2,4),点Q(-4，m).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OQP的面积；
(3)直接写出反比例函数值大于
一次函数值时自变量x的取值范围。
x
P(2,4)
y
O
Q(-4,m)
D
C
当堂训练
当堂训练
解：(1)∵ 与y=x+b的交点是P（2，4)
∴反比例函数的解析式为 ,一次函数解析式为y=x+2
即
(2)Q(-4,m)在y=x+2上，则有m=-4+2=-2
∴Q(-4,-2)
∵一次函数y=x+2分别交x轴、y轴于C点、D点
∴C(-2,0)，D（0，2）
（3）0课堂小结
肆
课堂小结
1.反比例函数的 图象与性质:
当k>0时,图象位于_______象限，y的值随x的__________；
当k<0时，图象位于________象限，y的值随x的__________;
2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的________图形;
3.在反比例函数 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的矩形的面积为___________.
第一、三
增大而减小
第二、四
增大而增大
中心对称
课后作业
基础题：1.课后练习册。
提高题：2.请学有余力的同学采取合理的方式，搜集整理与本节课有关的“好题”，被选中的同学下节课为全班展示。
谢
谢
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26.1.2 反比例函数的图象和性质
26.1.2.2 反比例函数的图象和性质的应用
教学目标
1.掌握用待定系数法求反比例函数解析式。
2.经历观察、思考、分析、交流等学习过程,理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义。
3.能利用反比例函数的图象与性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.培养学生学习的兴趣,提高学生综合运用知识解决问题的能力。
教学重、难点
重点:掌握用待定系数法求反比例函数解析式,能利用反比例函数的图象与性质解决与其他函数或几何知识综合的问题。
难点:理解并掌握反比例函数的系数k的几何意义。
学习过程
一、温故知新
回顾与思考:1 反比例函数的图象是什么？(反比例函数的图象是双曲线)
2 反比例函数的性质与k有怎样的关系？
二、新知导学
探究1　用待定系数法求反比例函数的解析式
1、已知反比例函数的图象经过点 A（2，6）．
（1）这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？
（2）点B（3，4）, ，D（2，5）是否在这个函数的图象上？
探究2　反比例函数解析式中k值的意义
2、 如图，它是反比例函数 图象的一支，根据图象，回答下列问题：
（1）图象的另一支位于哪个象限？常数m的取值范围是什么？
（2）在这个函数图象的某一支上任取点和点，如果，那么和有怎样的关系？
合作探究:
3.在反比例函数 的图象上分别取点P，Q向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为，的矩形，填写表格：
的值 的值 与的关系 猜想与k的关系
P（2,2）Q（4,1）
若在反比例函数 中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：
的值 的值 与的关系 猜想与k的关系
P（2,2）Q（4,1）
猜想：
我们就k<0的情况给出证明：
综上所述：
探究3　反比例函数与一次函数的综合
4、在同一坐标系中,函数 和y=x+b的图象大致如下,则 、、b各应满足什么条件？
三．典例分析
例1：已知反比例函数 的图象经过点A(2,3)．
(1)求这个函数的表达式；
(2)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由；
(3)当-3＜x＜-1时,求y的取值范围．
例2:如图,是反比例函数的图象,则k的值可以是( B )
A.-1 B.4 C.2 D.0
例3、如图，在函数 的图像上有三点A、B 、 C，过这三点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x轴、 y轴围成的矩形的面积分别为 ，，，则（ ）
A. B.
C. D.
例4、函数y=kx-k与 的图象大致是( )
例5、反比例函数的图象与一次函数y=2x+1的图象的一个交点是(1,k),求反比例函数的解析式。
四、当堂检测
1.如图,直线y=x+b与反比例函数(x<0)交于A,B两点,其横坐标分别为-5和-2,则不等式x+b＞的解集是 。
2、如图,过反比例函数 图象上的一点P,作PA⊥x轴于A.若△POA的面积为4,则k= .
3.如图，函数 y＝-x 与函数 的图象相交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C、D，则四边形ACBD的面积为( 　)
A．2 B．4 C．6 D．8
4、已知：如图反比例函数的图象与一次函数y=x+b的图象交于点P(2,4),点Q(-4，m).
(1)求一次函数和反比例函数的解析式；
(2)求△OQP的面积；
(3)直接写出反比例函数值大于一次函数值时自变量x的取值范围。
五、课堂小结
1.反比例函数的 图象与性质:
当k>0时,图象位于第一、三象限，y的值随x的增大而减小；
当k<0时，图象位于第二、四象限，y的值随x的增大而增大;
2.反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形;
3.在反比例函数 的图象上任取一点，分别作坐标轴的垂线（或平行线），与坐标轴所围成的。
4.反比例函数与一次函数的综合 注意点：
学生在解有关函数问题时，要数形结合，在分析反比例函数的增减性时，函数y随x的增减性就不能连续的看，一定要注意强调在哪个象限内.
数学思想：数形结合
六.达标测试
一、选择题
1.在反比例函数y＝的每一条曲线上，y都随着x的增大而减小，则k的值可以是（　　）
A．-1 B．1 C．2 D．3
2.已知反比例函数y=，当2.5＜x＜5时，y的取值范围是（　　）
A．2＜y＜4 B．2.5＜x＜5 C．5＜y＜10 D．y＞10
3. 已知A（-1，y1），B（2，y2）两点在双曲线上，且 y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A．m＜0 B．m＞0 C．m＞- D．m＜-
4. 如图，点A在双曲线y＝上，点B在x轴上，AD⊥y轴于点D，DC∥AB，交x轴于点C，若四边形ABCD的面积为6，则k的值为（　　）
A．3 B．6 C．-3 D．-6
4题图 5题图
5. 如图，正方形ABCD的顶点B，C在x轴的正半轴上，反比例函数y=（k≠0）在第一象限的图象经过顶点A（m，2）和CD边上的点E（n，），过点E的直线l交x轴于点F，交y轴于点G（0，-2），则点F的坐标是（　　）
A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0）
二、填空题
6.存在两个变量x与y，y是x的函数，该函数同时满足两个条件：①图象经过（1，1）点；②当x＞0时，y随x的增大而减小，这个函数的解析式是__________（写出一个即可）．
7.如图，一次函数y1=k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数y2=（k2≠0）的图象交于A，B两点，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是__________.
8. 反比例函数y1、y2在第一象限的图象如图所示，已知y1= ，过y1上的任意一点A，作x轴的平行线交y2于B，交y轴于C，若△AOB的面积是2，则y2的解析式是y2=________.
7题图 8题图
三、解答题
9.一次函数y=kx+1的图象与反比例函数y＝的图象交于点M（2，3）和另一点N．（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）求点N的坐标；
（3）求△MON的面积.
10.如图，直线y=mx与双曲线y=相交于A、B两点，A点的坐标为（1，2）
（1）求反比例函数的表达式；
（2）根据图象直接写出当mx＞时，x的取值范围；
（3）计算线段AB的长.
参考答案
1.A 2.A 3.D 4.D 5.C
6.y=（答案不唯一）
7.-1＜x＜0或x＞2
8.
9.解：（1）∵y=kx+1的图象过点M（2，3），∴3=2k+1，∴k=1，∴y=x+1，∵反比例函数y＝的图象过点M（2，3），∴m=6，∴反比例函数y＝；（2）解方程组得，，
∴N（-3，-2）；
（3）设直线MN交x轴于P，则P（-1，0），S△MON=S△OPN+S△OPM=×1×2+×1×3=2.5.
10.解：（1）把A（1，2）代入y=得：k=2，即反比例函数的表达式是y=；
（2）把A（1，2）代入y=mx得：m=2，即直线的解析式是y=2x，解方程组得出B点的坐标是（-1，-2），∴当mx＞时，x的取值范围是-1＜x＜0或x＞1；
（3）过A作AC⊥x轴于C，∵A（1，2），∴AC=2，OC=1，由勾股定理得：AO==，同理求出OB=，∴AB=2．
1
2
3
4
5
-1
-3
-2
-4
-5
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
-5
5
x
y
O
Q
P
S1
S2
4
y
x
o
P
Q
④
x
y
O
③
x
y
O
x
y
O
②
①
x
y
O
x
y
y
x
O
A
B
C
C
y
O
x
D
x
y
O
B
x
y
O
A
y
x
O
C
y
O
x
y
x
O
P
A
x
P(2,4)
y
O
Q(-4,m)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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